2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試專題35復數(shù)學生版

專題35復數(shù)一、【知識梳理】【考綱要求】1.理解復數(shù)的基本概念.2.理解復數(shù)相等的充要條件.3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.4.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.5.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.【考點預測】1．復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a是實部，b是虛部，i為虛數(shù)單位．(2)復數(shù)的分類：復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0其中，當a＝0時為純虛數(shù).))(3)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內(nèi)的點Z(a，b)．(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).【常用結論】1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.復數(shù)的模與共軛復數(shù)的關系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.【方法技巧】1.解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．2.復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算．3.復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)．4.由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀．二、【題型歸類】【題型一】復數(shù)的概念【典例1】如果復數(shù)eq\f(2＋bi,i)(b∈R)的實部與虛部相等，那么b＝()A.－2 B.1 C.2 D.4【典例2】(多選)若復數(shù)z＝eq\f(2,1＋i)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是()A.z的虛部為－1B.|z|＝eq\r(2)C.z2為純虛數(shù)D.z的共軛復數(shù)為－1－i【典例3】(多選)設z1，z2是復數(shù)，則下列命題中的真命題是()A.若|z1－z2|＝0，則eq\o(z,\s\up6(－))1＝eq\o(z,\s\up6(－))2B.若z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，則eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2C.若|z1|＝|z2|，則z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq\o(z,\s\up6(－))2D.若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)【題型二】復數(shù)的四則運算【典例1】(多選)設z1，z2，z3為復數(shù)，z1≠0.下列命題中正確的是()A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3C．若eq\x\to(z)2＝z3，則|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，則z1＝z2【典例2】在數(shù)學中，記表達式ad－bc為由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))所確定的二階行列式．若在復數(shù)域內(nèi)，z1＝1＋i，z2＝eq\f(2＋i,1－i)，z3＝eq\x\to(z)2，則當eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1z2,z3z4))＝eq\f(1,2)－i時，z4的虛部為________．【典例3】若z＝eq\f(i2023,1－i)，則|z|＝________；z＋eq\x\to(z)＝________.【題型三】復數(shù)的幾何意義【典例1】已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)eq\f(1－i,1＋2i)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【典例2】設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i(i為虛數(shù)單位)，則z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i【典例3】已知復數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________．三、【培優(yōu)訓練】【訓練一】在復數(shù)列{an}中，已知a1＝－i，an＝aeq\o\al(2,n－1)＋i(n≥2，n∈N*)，則eq\f(a1＋a3＋…＋a2019,a2＋a4＋…＋a2020)＝________．【訓練二】在數(shù)學中，記表達式ad－bc是由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))所確定的二階行列式．若在復數(shù)域內(nèi)，z1＝1＋i，z2＝eq\f(2＋i,1－i)，z3＝eq\o(z,\s\up6(－))2，則當eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1z2,z3z4))＝eq\f(1,2)－i時，z4的虛部為________．【訓練三】(2022·青島模擬)已知復數(shù)z滿足|z－1－i|≤1，則|z|的最小值為()A．1B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)D.eq\r(2)＋1【訓練四】已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，且滿足|z－2|＝1，則eq\f(y,x)的取值范圍是________.【訓練五】已知復數(shù)z滿足z2＝3＋4i，且z在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限．(1)求復數(shù)z；(2)設a∈R，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋z,1＋\x\to(z))))2021＋a))＝2，求實數(shù)a的值．【訓練六】若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：①z＋eq\f(5,z)是實數(shù)；②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)．這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由．四、【強化測試】【單選題】1.設z＝－3＋2i，則在復平面內(nèi)eq\o(z,\s\up6(－))對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.若復數(shù)z＝eq\f(a,1＋i)＋1為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝()A．－2 B．－1C．1 D．23.已知復數(shù)z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，則實數(shù)a＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－24.如圖，已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))，O為坐標原點，則|z|為()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．25.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點與1＋i對應的點關于實軸對稱，則z等于()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i6.若復數(shù)z滿足z(1－i)＝|1－i|＋i，則z的實部為()A.eq\f(\r(2)－1,2) B.eq\r(2)－1C．1 D.eq\f(\r(2)＋1,2)7.已知i是虛數(shù)單位，則“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8.在復數(shù)范圍內(nèi)，已知p，q為實數(shù)，1－i是關于x的方程x2＋px＋q＝0的一個根，則p＋q等于()A．2B．1C．0D．－1【多選題】9.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝eq\f(3＋2i,2－i)，則以下說法正確的是()A.z在復平面內(nèi)對應的點在第一象限B.z的虛部是－eq\f(7,5)C.|z|＝3eq\r(5)D.若復數(shù)z1滿足|z1－z|＝1，則|z1|的最大值為1＋eq\f(\r(65),5)10.若復數(shù)z滿足(1＋i)·z＝5＋3i(其中i是虛數(shù)單位)，則()A．z的虛部為－iB．z的模為eq\r(17)C．z的共軛復數(shù)為4－iD．z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限11.下面是關于復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題，其中真命題的是()A．|z|＝2 B．z2＝2iC．z的共軛復數(shù)為1＋i D．z的虛部為－112.在復平面內(nèi)，下列命題是真命題的是()A．若復數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈RB．若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈RC．若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2D．若復數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R【填空題】13.設復數(shù)z滿足eq\o(z,\s\up6(－))＝|1－i|＋i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z＝________．14.已知復數(shù)z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在直線x－2y＋m＝0上，則m＝________．15.當復數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小時，eq\f(4i,z)＝________．16.已知復數(shù)z1＝1－i，z2＝4＋6i(i為虛數(shù)單位)，則eq\f(z2,z1)＝________；若復數(shù)z＝1＋bi(b∈R)滿足z＋z1為實數(shù)，則|z|＝________．17.設復數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))滿足z＝|1－i|＋i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z＝________．18.已知復數(shù)z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在直線x－2y＋m＝0上，則m＝________．19.已知a∈R，則復數(shù)z＝