2023-2024學(xué)年福州市二中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年福州市二中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試卷(試卷滿分150分,考試時間120分鐘)2024.04一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．3．兩人進行乒乓球比賽，先贏三局著獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有A．10種 B．15種 C．20種 D．30種4．若則（

）A． B． C． D．5．某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.46．從裝有個白球，個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球.若每取出個紅球得分，每取出個白球得分.按照規(guī)則從容器中任意抽取個球，所得分數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．7．設(shè)數(shù)列的前項之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．8．如圖，已知正方形的邊長為4，若動點P在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．若袋子中有2個白球，3個黑球（球除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別），現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為X，則（

）A． B．C． D．10．下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．11．已知拋物線的焦點為F，準線交x軸于點D，過F的直線交C于A，B兩點，AF的中點M在y軸上的射影為點N，，則（）A． B．∠ADB是銳角C．是銳角三角形 D．四邊形DFMN是菱形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．二項式展開式中的系數(shù)為.13．過原點的直線與相切，則切點的坐標是.14．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中，令，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且.(1)求角C；(2)若，求c的取值范圍.16．某學(xué)校安排甲、乙、丙三個班級同時到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機從場下學(xué)生中選一人參與互動．(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來自哪個班的可能性最大．17．如圖，在三棱臺中，平面，為中點.，N為AB的中點，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．18．已知函數(shù).(1)若是的極值點，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在上有且僅有個零點，求的取值范圍.19．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.1．A【分析】化簡，根據(jù)真子集關(guān)系可得答案.【詳解】因為，且是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．A【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．3．C【詳解】試題分析：第一類：三局為止，共有種情形；第二類：四局為止，共有種情形；第三類：五局為止，共有種情形；故所有可能出現(xiàn)的情形共有種情形故選C.考點：1、分類計數(shù)原理；2、排列組合.【易錯點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理、排列組合，屬容易題.根據(jù)題意，可得分為三種情況：三局結(jié)束比賽、四局結(jié)束比賽和五局結(jié)束比賽，故用到分類計數(shù)原理，當三局結(jié)束比賽時，三場都同一個人勝，共2種情況；當四局結(jié)束比賽時，若甲勝時，則前三局甲勝2場，最后一場甲勝，共有種方法，同理乙勝利時，有種方法；當五局結(jié)束比賽時，若甲勝，則前四局甲勝2場，最后一場甲勝，共有種方法，同理乙勝利時，有種方法；此類問題中一定要注意，若甲勝，則最后一場必須是甲勝，前面只能勝2場，否則容易出錯.4．C【分析】使用賦值法，當分別取和時，得到和，聯(lián)立解得.【詳解】令，得①；令，得②；得：.故選：C5．A【分析】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.【詳解】同時愛好兩項的概率為，記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，則，所以.故選:.6．A【分析】根據(jù)取出小球的所有情況寫出得分的所有可能，根據(jù)超幾何公式求得各個取值對應(yīng)的概率，進而得到其分布列，求出期望.【詳解】解：設(shè)得分為，根據(jù)題意可以取，，.則，，，則分布列為：432所以得分期望為.故選：.7．C【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進而可得的值．【詳解】因為，所以，即，所以，所以，顯然，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以．故選：C．8．B【分析】作出輔助線，利用極化恒等式得到，結(jié)合的最值得到答案.【詳解】取的中點，連接，則，，兩式分別平方再相減得，設(shè)中點為，連接交圓弧于點，則當與重合時，最小，最小值為2，當當與或重合時，最大，最大值為，所以.故選：B【點睛】思路點睛：平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.9．BCD【分析】分析可知，可判斷A選項；利用獨立重復(fù)試驗的概率可判斷B選項；利用二項分布的期望公式可判斷C選項；利用二項分布的方差公式可判斷D選項.【詳解】由題意知，每次取到白球的概率為，取到黑球的概率為，由于取到白球記1分，取到黑球記0分，所以X為4次取球取到白球的個數(shù)，易知，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD．10．BC【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)公式可得正確結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,不妨令,當時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.11．ABD【分析】設(shè)出點，，由題意分析可知三角形為正三角形，聯(lián)立方程組，解出點的坐標，逐項判斷即可.【詳解】由拋物線，可知，，設(shè)點，，則，所以，而，所以，所以，所以三角形為正三角形，所以，又軸，所以，，則，所以，，，所以直線的方程為：，聯(lián)立方程，可得，所以，則，所以，所以，故A正確；，且，，所以四邊形DFMN是菱形，故D正確；由于以為直徑的圓與準線相切，點在圓外，所以∠ADB是銳角，故B正確；，，，所以，，所以，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，故C錯誤.故選：ABD.12．【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對，有，令，則，則，即二項式展開式中的系數(shù)為.故答案為：.13．【分析】設(shè)切點坐標為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將代入，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)切點坐標為，由，得，故直線的斜率為，則直線l的方程為，將代入，得，則切點的坐標為，故答案為：14．##【分析】從萊布尼茨三角形可看出，下一行的兩個分數(shù)之和等于肩上的上一行的那個分數(shù)，進而得，再根據(jù)求和得，再求解極限即可.【詳解】解：從萊布尼茨三角形可看出，下一行的兩個分數(shù)之和等于肩上的上一行的那個分數(shù)，所以，，即，所以……，所以，故答案為：；.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將邊化角，利用三角恒等變換以及三角形內(nèi)角關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）利用余弦定理以及已知條件，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理得，即，，因為，所以，所以，又因為，所以；（2）由得，且由（1）知：，由余弦定理得：當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：的值域為，當且僅當時取等號，此時，所以，即所以c的取值范圍為.16．(1)(2)來自丙班的可能性最大【分析】（1）依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計算即可；（2）根據(jù)條件概率公式分別計算，即可判斷.【詳解】（1）設(shè)“任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，“所選學(xué)生來自甲班”，“所選學(xué)生來自乙班”,“所選學(xué)生來自丙班”．由題可知：，，，，，

.（2）；

所以其來自丙班的可能性最高．17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設(shè)點到平面的距離為.，.由，即.18．(1)1(2)答案見解析(3).【分析】（1）由題意，求導(dǎo)得，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果；（2）由題意，求導(dǎo)得，然后分與兩種情況討論，即可得到結(jié)果；（3）由題意，構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為則，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意（2），則.當時，，在上單調(diào)遞增；當時，由，得，若，則；若，則.當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）當時，由可得，令，其中，則直線與函數(shù)在上的圖像有兩個交點，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)的極大值為，且，，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)在上的圖像有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.19．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別