2024年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)】專練熱點(diǎn)08圓的有關(guān)計(jì)算與證明(江蘇專用)(原卷版+解析)

2024年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（江蘇專用）熱點(diǎn)08.圓的有關(guān)計(jì)算與證明備注：A卷為真題過關(guān)卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，共計(jì)25道，針對(duì)性強(qiáng)，可作為一輪、二輪復(fù)習(xí)必刷真題過關(guān)訓(xùn)練.B卷為模擬提升卷，所選題目多數(shù)為近江蘇省各地區(qū)中考模擬，共計(jì)25道，是中考命題的中考參考，考生平時(shí)應(yīng)針對(duì)性的有選擇的訓(xùn)練，開拓眼界，舉一反三，使自己的解題水平更上一層樓！【考綱解讀】1．了解：圓、圓心角、圓周角的概念，垂徑定理及其逆定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弧長和扇形面積，圓錐側(cè)面積.2．理解：圓周角定理及推論，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其運(yùn)用，切線的性質(zhì)與判定定理，切線長定理．3．會(huì)：利用弧、弦、圓心角的關(guān)系進(jìn)行證明和計(jì)算，運(yùn)用切線的性質(zhì)與判定定理、切線長定理解決一些實(shí)際問題，求n°的圓心角所對(duì)的弧長，求圓心角為n°的扇形面積.4．掌握：圓周角定理及其推論的靈活運(yùn)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弧長和扇形面積，圓錐側(cè)面積.5．能：運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)問題，切線的性質(zhì)與判定定理、切線長定理解決一些實(shí)際問題，利用點(diǎn)、直線的位置關(guān)系解決問題，根據(jù)公式中的已知量求圓錐中的未知量，運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)與位置關(guān)系進(jìn)行綜合性質(zhì)計(jì)算與實(shí)際問題的解決.【命題形式】1．從考查的題型來看，填空題、選擇題、解答題三種形式都有所考查,多數(shù)題目較難,屬于中、高檔題.2．從考查的內(nèi)容來看，主要涉及的有:圓的有關(guān)性質(zhì)(垂徑定理、圓周角定理及推論)，圓的有關(guān)位置關(guān)系(直線與圓的位置關(guān)系，切線長定理，切線的性質(zhì)與判定定理)，圓的有關(guān)計(jì)算(弧長與扇形面積,圓錐的側(cè)面積).3．從考查的熱點(diǎn)來看，主要涉及的有:圓的有關(guān)性質(zhì)(垂徑定理、圓周角定理及推論)；圓的有關(guān)位置關(guān)系(直線與圓的位置關(guān)系，切線長定理，切線的性質(zhì)與判定定理)，圓的有關(guān)計(jì)算(弧長與扇形面積,圓錐的側(cè)面積)，陰影部分的面積.【限時(shí)檢測(cè)】A卷（真題過關(guān)卷）備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對(duì)性強(qiáng)，可作為一輪、二輪復(fù)習(xí)必刷真題過關(guān)訓(xùn)練.一、單選題1．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（

）A．80° B．100° C．140° D．160°2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°3．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A．12π B．15π C．20π D．24π4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（

）A．有最大值94π B．有最小值94π C．有最大值92π 5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（

）A．27° B．29° C．35° D．37°6．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC=63，⊙O同時(shí)與邊BA的延長線、射線AC相切，⊙O的半徑為3．將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α0°<α≤360°，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊B′A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=10，點(diǎn)C、D在AB上，AC=BD=1．已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng)，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中作如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA、PB的長為半徑分別作兩個(gè)圓心角均為60°的扇形，再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面．設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為（秒）．兩個(gè)圓錐的底面面積之和為S．則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是（

）B． C． D．二、填空題9．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積是______．（結(jié)果保留π）10．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C點(diǎn)在圓O上，若∠ACB=36°，則∠AOB=________．11．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處，線段AB12．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O13．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖上，ΔABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,O為內(nèi)心，過點(diǎn)O的直線分別與AC、AB相交于D、14．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在AmB上，且與點(diǎn)A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．15．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），⊙A與x軸相切，點(diǎn)P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點(diǎn)B．若∠APB＝30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___．16．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE//AB，交BD于點(diǎn)E，連接BE，則CEBE三、解答題17．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，∠ABC=60°，直線AD∥BC，AB=AD，點(diǎn)O在(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．18．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形，ABCD的中心．（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點(diǎn)E（異于點(diǎn)O），使得EB=EC;（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接EB、EC、EO,求證：∠BEO=∠CEO．19．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF//BC，交⊙O于點(diǎn)F，求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形（2）AF=EF20．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB=60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，∠ADB=30°．(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=4321．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），BD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．(1)求證△CED∽△BAD；(2)當(dāng)DC=2AD時(shí)，求CE的長．22．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AB的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長線上的一點(diǎn)，且CF=EF．(1)求證：CF為⊙O的切線；(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG．若CF=4，BF=2，求AG的長．23．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動(dòng)矩形ABCD隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)如圖2，當(dāng)t=2.5時(shí)，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長度；(2)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時(shí)t的值.24．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、M均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點(diǎn)P并給出部分說理過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=所以∠BAC=∠DCE．因?yàn)椤螦CP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=AM，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點(diǎn)P．使AM2=AP·25．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，AC與BD交于點(diǎn)E，PB切⊙O于點(diǎn)B．（1）求證：∠PBA=∠OBC；（2）若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求證：△OAB∽△CDE．【限時(shí)檢測(cè)】B卷（模擬提升卷）一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABO=35°，則∠C的度數(shù)等于（

）A．35° B．45°C．55° D．65°2．（2023·江蘇揚(yáng)州·校考二模）如圖，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，BC是直徑．若∠D=35°，則∠OAB的度數(shù)是（

）A．70° B．65° C．55° D．35°3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠D＝110°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．55° D．90°4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的全面積為(

)A．16π B．20π C．36π D．40π5．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）⊙O是△ABC的外接圓，若BC長等于半徑，則∠A的度數(shù)為（

）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或30°6．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，P為半⊙O直徑BA延長線上一點(diǎn)，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，則sin∠ACP的值為（）A．23 B．21313 C．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）斐波那契螺旋線也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，…畫出來的螺旋曲線．如圖，在每個(gè)邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，陰影部分是依次在以1，1，2，3，5的一個(gè)四分之一圓做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為（

）A．54 B．2 C．528．（2023·江蘇連云港·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)O在對(duì)角線BD上，以O(shè)B為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)E，連接DE，若DE是⊙O的切線，此時(shí)⊙O的半徑為（

）A．2 B．52 C．3516 二、填空題9．（2023·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，則△ABC的外接圓的半徑是______．10．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，以E為圓心，3為半徑作圓，分別交AD、BC于M、N兩點(diǎn)，與DC切于P點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積是______．11．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為α的銳角∠COD頂點(diǎn)在圓心O上，這個(gè)角繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，扇形COD與扇形AOB有重疊的概率為310，求α=12．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C3,4，以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切，點(diǎn)A、B在x軸上，且OA=OB．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB=90°，則AB13．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC、AC分別交⊙O于點(diǎn)D、E，OF⊥AC于點(diǎn)F，OG⊥BE于點(diǎn)G，∠BAC=45°，下列結(jié)論：①∠EBC=22.5°；②BD=CD；③EF=EG；④AE=2DE；⑤AE=2BD．14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為20cm的圓形掃地機(jī)器人在無障礙的Rt△ABC房間中自由移動(dòng)打掃衛(wèi)生，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，則圓形掃地機(jī)器人無法打掃到的房間面積為_________．（結(jié)果保留π）15．（2023·江蘇蘇州·蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，D是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△ACD的外接圓，⊙O交直線BD于點(diǎn)P，交邊BC于點(diǎn)E，若AE=CP，則AD的最小值為______________．16．（2023·江蘇無錫·校考二模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)A，B出發(fā)，分別沿著AD和BD的方向均以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，以EF為直徑作⊙O交BD于點(diǎn)M，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．用關(guān)于t的代數(shù)式表示DM=______．當(dāng)圓心O正好在∠ABD的平分線上時(shí)，此時(shí)t的值為_______．三、解答題17．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD．求證：BE=DE．18．（2023·江蘇連云港·?？家荒＃┤鐖D，已知⊙O中，半徑OA⊥OB，點(diǎn)B在⊙O外，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC交OB于點(diǎn)D．①BD=BC，②BC與⊙O相切，③∠A=12∠B你選擇的是為條件，為結(jié)論．19．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的半圓O分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作半圓O的切線DF，交BC于點(diǎn)F(1)求證：BF=DF；(2)若AO=CE=4，CF=1，求BF的長．20．（2023·江蘇蘇州·蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P在BC的延長線上，且∠BAC＝2∠P．(1)求證：直線AP是⊙O的切線；(2)若BC＝12，tanP=34，求⊙O21．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)C的直線交AB延長線于點(diǎn)D，給出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切線；③OB＝BD．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結(jié)論．你選擇的條件是，結(jié)論是（只要填寫序號(hào)）．判斷結(jié)論是否正確，并說明理由；(2)在（1）的條件下，若CD＝33，求BC?22．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AD與EF相交于點(diǎn)G(1)求證：AD平分∠CAB；(2)若OH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)H平分∠AFE，DG=3．①求tan∠DFH②求OH的長度．23．（2023·江蘇蘇州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖在△ABO中，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作⊙O，交OB于D，連接AD，∠O=2∠BAD．(1)求證：AB與⊙O相切．(2)取OA上一點(diǎn)E，連接DE，若∠ADE=45°，求證：AB=BD+AE．(3)在（2）的條件下，若E是OA的中點(diǎn)，BD=2，延長DE交⊙O于F，求DF的長．24．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點(diǎn)E在AD上，ED=3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PF∥CE，與邊BA交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥BC，與CE交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)(1)用含t的代數(shù)式分別表示線段BF和PF的長度，則有BF=_____，PF=______．(2)如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)D′，當(dāng)FG恰好過點(diǎn)D′時(shí)，求(3)如圖3，作△FGP的外接圓⊙O，當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中．①當(dāng)外接圓⊙O截線段CE所得線段GQ=FP時(shí)，請(qǐng)求出t的值；②當(dāng)外接圓⊙O的圓心O落在△FGP的內(nèi)部（不包括邊上）時(shí)，直接寫出t的取值范圍．25．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┤绻粋€(gè)四邊形的對(duì)角線相等，我們稱這個(gè)四邊形為美好四邊形．【問題提出】（1）如圖①，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，請(qǐng)說明四邊形ABCD是美好四邊形；【問題探究】（2）如圖②，△ABC，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點(diǎn)D，使得四邊形ABCD是美好四邊形，且滿足AD=BD．保留作圖痕跡，不寫畫法；（3）在（2）的條件下，若圖②中△ABC滿足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四邊形ABCD的面積；【問題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個(gè)信號(hào)塔分別建在A、B、C、D四處，現(xiàn)要求信號(hào)塔C建在公園內(nèi)一個(gè)湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個(gè)半徑為200m的圓，記為⊙E已知點(diǎn)A到該湖泊的最近距離為500m，是否存在這樣的點(diǎn)D，滿足AC=BD．且使得四邊形26．（2023·江蘇連云港·?？既＃?）[問題提出]如圖1，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC、BC，若AB=6，則△ABC面積的最大值為．（2）[問題探究]如圖2，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AB=AD，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上．且∠EAF=60°，若BE=3，（3）[問題解決]為進(jìn)一步落實(shí)國家“雙減”政策，豐富學(xué)生的校園生活，某校計(jì)劃為同學(xué)們開設(shè)實(shí)踐探究課.按規(guī)劃要求，需設(shè)計(jì)一個(gè)正方形的研學(xué)基地，如圖3．點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，將△AEF區(qū)域修建為種植采摘區(qū)，基地內(nèi)其余部分為研學(xué)探究區(qū)，BE+DF的長為40m，∠EAF=45°．為了讓更多的學(xué)生能夠同時(shí)進(jìn)行種植，要求種植采摘區(qū)（△AEF）的面積盡可能大，則種植采摘區(qū)的面積的最大值為_______m2，此時(shí)正方形ABCD的邊長為_______m．2024年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（江蘇專用）熱點(diǎn)08.圓的有關(guān)計(jì)算與證明備注：A卷為真題過關(guān)卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，共計(jì)25道，針對(duì)性強(qiáng)，可作為一輪、二輪復(fù)習(xí)必刷真題過關(guān)訓(xùn)練.B卷為模擬提升卷，所選題目多數(shù)為近江蘇省各地區(qū)中考模擬，共計(jì)25道，是中考命題的中考參考，考生平時(shí)應(yīng)針對(duì)性的有選擇的訓(xùn)練，開拓眼界，舉一反三，使自己的解題水平更上一層樓！【考綱解讀】1．了解：圓、圓心角、圓周角的概念，垂徑定理及其逆定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弧長和扇形面積，圓錐側(cè)面積.2．理解：圓周角定理及推論，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其運(yùn)用，切線的性質(zhì)與判定定理，切線長定理．3．會(huì)：利用弧、弦、圓心角的關(guān)系進(jìn)行證明和計(jì)算，運(yùn)用切線的性質(zhì)與判定定理、切線長定理解決一些實(shí)際問題，求n°的圓心角所對(duì)的弧長，求圓心角為n°的扇形面積.4．掌握：圓周角定理及其推論的靈活運(yùn)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弧長和扇形面積，圓錐側(cè)面積.5．能：運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)問題，切線的性質(zhì)與判定定理、切線長定理解決一些實(shí)際問題，利用點(diǎn)、直線的位置關(guān)系解決問題，根據(jù)公式中的已知量求圓錐中的未知量，運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)與位置關(guān)系進(jìn)行綜合性質(zhì)計(jì)算與實(shí)際問題的解決.【命題形式】1．從考查的題型來看，填空題、選擇題、解答題三種形式都有所考查,多數(shù)題目較難,屬于中、高檔題.2．從考查的內(nèi)容來看，主要涉及的有:圓的有關(guān)性質(zhì)(垂徑定理、圓周角定理及推論)，圓的有關(guān)位置關(guān)系(直線與圓的位置關(guān)系，切線長定理，切線的性質(zhì)與判定定理)，圓的有關(guān)計(jì)算(弧長與扇形面積,圓錐的側(cè)面積).3．從考查的熱點(diǎn)來看，主要涉及的有:圓的有關(guān)性質(zhì)(垂徑定理、圓周角定理及推論)；圓的有關(guān)位置關(guān)系(直線與圓的位置關(guān)系，切線長定理，切線的性質(zhì)與判定定理)，圓的有關(guān)計(jì)算(弧長與扇形面積,圓錐的側(cè)面積)，陰影部分的面積.【限時(shí)檢測(cè)】A卷（真題過關(guān)卷）一、單選題1．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（

）A．80° B．100° C．140° D．160°【答案】B【分析】先根據(jù)圓周角定理求得∠D的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠AOC=160°，∴∠ADC=1∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=180°?∠ADC=180°?80°=100°，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，比較簡(jiǎn)單，牢記有關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項(xiàng)A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項(xiàng)D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項(xiàng)C不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A．12π B．15π C．20π D．24π【答案】C【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AB，再利用扇形的面積公式即可計(jì)算出圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=32以直線AC為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積=12×2π=20π．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（

）A．有最大值94π B．有最小值94π C．有最大值92π 【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣32)2+9【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣32)2﹣94]＝﹣2π(r﹣32)2∴當(dāng)r＝32時(shí)，S側(cè)有最大值9故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積:S=15．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（

）A．27° B．29° C．35° D．37°【答案】A【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OD，∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴∠AFD=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【答案】B【分析】設(shè)OB=x，則OA=3x，BC=2x，根據(jù)圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由圓和正方形的對(duì)稱性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，∴設(shè)OB=x，則OA=3x，BC=2x，∴圓的面積=π(3x)2=9πx2，正方形的面積=122x2=2∴9πx2÷2x2=92故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對(duì)稱性，根據(jù)題意畫出圖形，用未知數(shù)表示各個(gè)圖形的面積，是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC=63，⊙O同時(shí)與邊BA的延長線、射線AC相切，⊙O的半徑為3．將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α0°<α≤360°，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊B′A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得⊙A的半徑為3，計(jì)算出OA的長度，可知⊙O與⊙A相切，根據(jù)兩個(gè)相切圓的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：如圖：作AD⊥BC，以A為圓心，以AD為半徑畫圓∵AC、AB所在的直線與⊙O相切，令切點(diǎn)分別為P、Q，連接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO=OPsin∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=12BC=∴AD=CD·tan∴⊙A的半徑為3,∴⊙O與⊙A的半徑和為6∵AO=6∴⊙O與⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直線是⊙A的切線∴BC所在的直線與⊙O相切∴當(dāng)α=360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切同理可證明當(dāng)α=180°時(shí)，B″C″當(dāng)B′C′⊥AO時(shí)，即α=90°時(shí)，B∴當(dāng)α為90°、180°、360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，精準(zhǔn)識(shí)圖并準(zhǔn)確推斷圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)行合理論證是本題的解題關(guān)鍵．8．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=10，點(diǎn)C、D在AB上，AC=BD=1．已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng)，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中作如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA、PB的長為半徑分別作兩個(gè)圓心角均為60°的扇形，再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面．設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為（秒）．兩個(gè)圓錐的底面面積之和為S．則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，先求出PA=t+1，PB=9?t，然后利用再求出圓錐的底面積進(jìn)行計(jì)算，即可求出函數(shù)表達(dá)式，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵AB=10，AC=BD=1，且已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng)，則0≤t≤8，∴PA=t+1，∴PB=10?(t+1)=9?t，由PA的長為半徑的扇形的弧長為：60π(t+1)∴用PA的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為t+1∴其底面的面積為π由PB的長為半徑的扇形的弧長為：60π(9∴用PB的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為9∴其底面的面積為π∴兩者的面積和S=∴圖像為開后向上的拋物線，且當(dāng)t=4時(shí)有最小值；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇所學(xué)的知識(shí)，正確的求出函數(shù)的表達(dá)式．二、填空題9．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積是______．（結(jié)果保留π）【答案】10π【分析】根據(jù)圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可．【詳解】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：πrl=π×2×5=10π，故答案為：10π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計(jì)算，熟練記憶圓錐的側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C點(diǎn)在圓O上，若∠ACB=36°，則∠AOB=________．【答案】72°##72度【分析】利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB∴∠AOB=2×∠ACB=72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處，線段AB【答案】π3##【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB'=AB=2,由銳角三角函數(shù)可求∠DA【詳解】解：∵AB=2BC=2,∴BC=1,∵矩形ABCD中，∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°,由旋轉(zhuǎn)可知AB=AB∵AB=2BC=2，∴A∵∴∠DA∴∠BA∴線段AB掃過的面積=故答案為：π【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O【答案】1【分析】連接OA、OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接OA、OC，∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∴OA2+O解得：OA=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖上，ΔABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,O為內(nèi)心，過點(diǎn)O的直線分別與AC、AB相交于D、【答案】2或12##1【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，連接OB，則OD⊥∵DE//BC，∴∠OBF=∠BOE∵O為ΔABC∴∠OBF=∠OBE，∴∠BOE=∠OBE∴BE=OE，同理，CD=OD，∴DE=CD+BE，AB=∵O為ΔABC∴OF=OD=OG=CD，∴BF=BG∴AB=BG+AG=BC?CD+AC?CD=6?CD+8?CD=10∴CD=2②如圖，作DE⊥AB，由①知，BE=4，AE=6，∵∠ACB=∠AED∴Δ∴AB∴AD=∴CD=AC?AD=8?∵DE=∴DE=BE+CD=4+∴CD=故答案為：2或12【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在AmB上，且與點(diǎn)A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【答案】32【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．【詳解】解：連接OA，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°-∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=12∠O故答案為：32．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確利用切線的定理，作出輔助線，求出∠O的度數(shù)．15．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），⊙A與x軸相切，點(diǎn)P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點(diǎn)B．若∠APB＝30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___．【答案】0,11．【分析】連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，根據(jù)題意和30°直角三角形的性質(zhì)求出AP的長度，然后由圓和矩形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出OC的長度，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】如下圖所示，連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，∵PB與⊙A相切于點(diǎn)B∴AB⊥PB，∵∠APB＝30°，AB⊥PB，∴PA=2AB=2×5=10．∵∠O=90°,∠OCA=90°,∠ADO=90°，∴四邊形ACOD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），所以AC=OD=8，CO=AD=5，在Rt△PAC中，PC=如圖，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)上方時(shí)，∴OP=OC+CP=5+6=11，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,11．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，30°角直角三角形的性質(zhì)和矩形等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．16．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE//AB，交BD于點(diǎn)E，連接BE，則CEBE【答案】22【分析】連接AE，過作AF⊥AB，延長EC交AF于點(diǎn)F，過E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)AC=BC=a，求出AF=CF=22a，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出【詳解】解：連接AE，過作AF⊥AB，延長EC交AF于點(diǎn)F，過E作EG⊥BC于點(diǎn)G，如圖，設(shè)AC=BC=a，∵∠ACB=90°∴AB=AC2∴AE=2a，∵CE//AB∴∠ECB=∠CBA=45°∵∠ACB=90°∴∠ACF=45∴∠AFC=90°∴AF=CF=2設(shè)CE=x，則FE=22在Rt△AFE中，AF∴(2解得，x1=6∴CE=∵∠ECB=45°,∠EGC=90°∴∠CEG=45°∴CG=GE=2∴BG=BC?CG=a?3在Rt△BGE中，BG∴BE=(∴CEBE故答案為：22【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理與圓的基本概念等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，∠ABC=60°，直線AD∥BC，AB=AD，點(diǎn)O在(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)12π?9【分析】（1）連接OA，根據(jù)AD∥BC和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理可得OH=12OB=3，進(jìn)而得到BC=2BH=6【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵AD∥∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴OH=1∴BH=B∴BC=2BH=63∴扇形BOC的面積為120×6∵SΔ∴陰影部分的面積為S扇形【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理，并根據(jù)題意得到陰影部分的面積為S扇形18．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形，ABCD的中心．（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點(diǎn)E（異于點(diǎn)O），使得EB=EC;（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接EB、EC、EO,求證：∠BEO=∠CEO．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作BC的垂直平分線即可求解；（2）根據(jù)題意證明△EBO?△ECO即可求解．【詳解】1如圖所示，點(diǎn)E即為所求．2連接OB、OC由1得：EB=EC∵O是正方形ABCD中心，∴OB=OC,∴在△EBO和△ECO中，EB=EC∴△EBO?△ECO∴∠BEO=∠CEO．【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、垂直平分線的作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)．19．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF//BC，交⊙O于點(diǎn)F，求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形（2）AF=EF【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠BAC=∠B，利用平行線證明∠ADF=∠B，利用圓的性質(zhì)證明∠BAC=∠CFD，再證明BD//CF,即可得到結(jié)論；（2）如圖，連接AE，利用平行線的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)∠AEF=∠B，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明∠EAF=∠B，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD,∴∠ADF=∠CFD,∴BD//CF,四邊形DBCF是平行四邊形．（2）如圖，連接AE∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF∴∠AEF=∠B四邊形AECF是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠ECF+∠EAF=∵BD//CF∴∠ECF+∠B=∴∠EAF=∠B∴∠AEF=∠EAF∴AF=EF【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB=60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，∠ADB=30°．(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=43，求圖中陰影部分的面積【答案】(1)直線BD與⊙O相切，理由見解析(2)圖中陰影部分的面積8【分析】（1）連接BE，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=∠C=60°，連接OB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BOD=60°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，解直角三角形得到OB，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：直線BD與⊙O相切，理由：如圖，連接BE，∵∠ACB=60°，∴∠AEB=∠C=60°，連接OB，∵OB=OC，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOD=60°，∵∠ADB=30°，∴∠OBD=180°?60°?30°=90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切；（2）解：如（1）中圖，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∵AB=43∴sin∠AEB=∴AE=8，∴OB=4，∵OB⊥BD，∠ADB=30°∴tan∠ADB=∴BD=4∴圖中陰影部分的面積=S【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），BD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．(1)求證△CED∽△BAD；(2)當(dāng)DC=2AD時(shí)，求CE的長．【答案】(1)見解析(2)CE=【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得∠A=∠E，再由對(duì)頂角相等得∠BDA=∠CDE，故可證明緒論；（2）根據(jù)DC=2AD可得AD=2,CD=4，由△CED∽△BAD可得出BD·DE=8,連接AE，可證明△ABD∽△EBA，得出AB2【詳解】（1）∵BC所對(duì)的圓周角是∠A,∠E，∴∠A=∠E，又∠BDA=∠CDE，∴△CED∽△BAD；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=6∵DC=2AD，∴AC=3AD,∴AD=2,DC=4,∵Δ∴ADDE∴2∴BD?DE=8;連接AE,如圖，∵AB=BC,∴AB=∴∠BAC=∠BEA,又∠ABD=∠EBA，∴△ABD~∴ABBE∴AB2∴62∴BD=27∴6CF解得，CE=【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．22．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AB的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長線上的一點(diǎn)，且CF=EF．(1)求證：CF為⊙O的切線；(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG．若CF=4，BF=2，求AG的長．【答案】(1)見解析(2)AG=【分析】（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．由∠OCD=∠ODC，F(xiàn)C=FE，可得∠OED=∠FCE，由AB是⊙O的直徑，D是AB的中點(diǎn)，∠DOE=90°，進(jìn)而可得∠OCF=90°，即可證明CF為⊙O的切線；方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)∠CAB=x°．同方法一證明∠OCF=90°，即可證明CF為⊙O的切線；（2）方法一：如圖3，過G作GH⊥AB，垂足為H．設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=r+2．在Rt△OCF中，勾股定理求得r=3，證明GH∥DO，得出△BHG∽BOD，根據(jù)BHBO=BGBD，求得方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得r=3．AB=6，D是AB的中點(diǎn)，可得AD=BD=32，根據(jù)勾股定理即可求得AG【詳解】（1）（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC．

∵∠OED=∠FEC，∴∠OED=∠FCE．∵AB是⊙O的直徑，D是AB的中點(diǎn)，∴∠DOE=90°．∴∠OED+∠ODC=90°．∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°．∴OC⊥CF．∴CF為⊙O的切線．方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)∠CAB=x°．∵AB是⊙O的直徑，D是AB的中點(diǎn)，∴∠ACD=∠DCB=45°．∴∠CEF=∠CAB+∠ACD=45+x∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC=45+x°∴∠BCF=x°．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=x°．∴∠BCF=∠ACO．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠OCB+∠ACO=90°．∴∠OCB+∠BCF=90°，即∠OCF=90°．∴OC⊥CF．∴CF為⊙O的切線．（2）解：方法一：如圖3，過G作GH⊥AB，垂足為H．設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=r+2．在Rt△OCF中，42解之得r=3．∵GH⊥AB，∴∠GHB=90°．

∵∠DOE=90°，∴∠GHB=∠DOE．∴GH∥∴△BHG∽BOD∴BHBO∵G為BD中點(diǎn)，∴BG=1∴BH=12BO=∴AH=AB?BH=6?3∴AG=G方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得r=3．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∵AB=6，D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=32∵G為BD中點(diǎn)，∴DG=1∴AG=A【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點(diǎn)E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC＞5.點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線EF方向運(yùn)動(dòng)矩形ABCD隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)如圖2，當(dāng)t=2.5時(shí)，求半圓O在矩形ABCD內(nèi)的弧的長度；(2)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)AD、BC都與半圓O相交，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時(shí)t的值.【答案】(1)5π(2)8或9秒【分析】(1)通過計(jì)算當(dāng)t=2.5時(shí)EB=BO，進(jìn)而得到△MBE≌△MBO，判斷出△MEO為等邊三角形得到∠EOM=60°，然后根據(jù)弧長公式求解；(2)通過判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】（1）解：設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)M，如下圖所示：當(dāng)t=2.5時(shí)，BE=2.5，∵EF=10，∴OE=12EF∴OB=2.5，∴EB=OB，在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，∴△MBE≌△MBO(SAS)，∴ME=MO，∴ME=EO=MO，∴△MOE是等邊三角形，∴∠EOM=60°，∴ME=（2）解：連接GO和HO，如下圖所示：∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，在△AGO和△OBH中，∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴AG=OB=BE-EO=t-5，∵AB=7，∴AE=BE-AB=t-7，∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值為8或9秒．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定(一線三垂直模型)，結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．24．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、M均為格點(diǎn)．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點(diǎn)P并給出部分說理過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=所以∠BAC=∠DCE．因?yàn)椤螦CP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=AM，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請(qǐng)你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點(diǎn)P．使AM2=AP·【答案】(1)tan∠DCE=(2)見解析【分析】（1）取格點(diǎn)N，作射線AN交BM于點(diǎn)P，則AN⊥MO根據(jù)垂徑定理可知，點(diǎn)P即為所求作；（2）取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．（1）解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，tan∠DCE=所以tan∠BAC=所以∠BAC=∠DCE．因?yàn)椤螦CP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．故答案為：tan∠DCE=取格點(diǎn)N，作射線AN交BM于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；∵∴∠MOD=∠NAC∵∠NAC+∠ANC=90°∴∠ANC+∠DOM=90°∴AN⊥OM∴（2）解：取格點(diǎn)I，連接MI交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，tan∠FMI=在Rt△MNA中，tan∠MNA=所以tan∠FMI=∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴PAAM∴AM2=AP·【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．25．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，AC與BD交于點(diǎn)E，PB切⊙O于點(diǎn)B．（1）求證：∠PBA=∠OBC；（2）若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求證：△OAB∽△CDE．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由圓周角定理的推論，可知∠ABC=90°，由切線的性質(zhì)可知∠OBP=90°，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先推出∠OCB=∠OBC=20°，從而得∠AOB=40°，繼而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∵PB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠OBP=90°，∴∠PBA+∠ABO=∠OBC+∠ABO=90°，∴∠PBA=∠OBC；（2）∵∠PBA=20°，∠PBA=∠OBC，∴∠OBC=20°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=20°，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵∠ACD=40°，∴∠ACD=∠AOB=40°，∴△OAB∽△CDE．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理，掌握?qǐng)A周角定理的推論，相似三角形的判定定理，切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．【限時(shí)檢測(cè)】B卷（模擬提升卷）一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABO=35°，則∠C的度數(shù)等于（

）A．35° B．45°C．55° D．65°【答案】C【分析】連接AO，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠OAB=∠OBA=35°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AOB=180°?2×35°=110°，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接AO，∵AO=BO,∠ABO=35°，∴∠OAB=∠OBA=35°，∴∠AOB=180°?2×35°=110°，∴∠C=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，BC是直徑．若∠D=35°，則∠OAB的度數(shù)是（

）A．70° B．65° C．55° D．35°【答案】C【分析】先根據(jù)圓周角定理求得∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)AO=OB求得∠OAB的度數(shù)即可．【詳解】∵∠D=35°，∴∠AOB=2∠D=2×35°=70°，∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半．3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠D＝110°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．55° D．90°【答案】A【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠B，再利用圓周角定理求出∠CAB即可．【詳解】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，∴∠ABC＝70°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的全面積為(

)A．16π B．20π C．36π D．40π【答案】C【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿邊AC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓錐，圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為4，然后計(jì)算它的側(cè)面積和底面積的和即可．【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝32∵把Rt△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，∴所得的幾何體的全面積為：底面半徑為4，母線長為5的圓錐側(cè)面和半徑為4的圓的面積之和，故π×4×5+π×42＝36π．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．5．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）⊙O是△ABC的外接圓，若BC長等于半徑，則∠A的度數(shù)為（

）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或30°【答案】C【分析】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠BOC=60°，再利用圓周角定理得出答案．【詳解】如圖，連接BO，CO，∵△ABC的邊BC等于圓的半徑，∴△BOC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，若點(diǎn)A′在劣弧BC上，則∠∴∠A=30°或150°；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理，得出△BOC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，P為半⊙O直徑BA延長線上一點(diǎn)，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，則sin∠ACP的值為（）A．23 B．21313 C．【答案】B【分析】連接BC，OC，先證明△PAC∽△PCB，則ACBC=PAPC=23，設(shè)AC＝2k，BC＝3【詳解】解：如圖，連接BC，OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，∴∠PCA=∠BCO，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠PCA=∠CBO，∵∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，于是ACBC設(shè)AC＝2k，BC＝3k，由∠ACB＝90°得，AB=13∴sin∠ACP＝sin∠ABC=AC故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、弦切角定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）斐波那契螺旋線也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，…畫出來的螺旋曲線．如圖，在每個(gè)邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，陰影部分是依次在以1，1，2，3，5的一個(gè)四分之一圓做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為（

）A．54 B．2 C．52【答案】A【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)的規(guī)律，求出下一個(gè)圓弧的底面半徑和弧長，結(jié)合圓錐的側(cè)面積性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：有根據(jù)斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和，即半徑為5的扇形對(duì)應(yīng)的弧長l=2π×5×設(shè)圓錐底面半徑為r，則2πr=∴r=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的計(jì)算，結(jié)合斐波那契數(shù)的規(guī)律，及扇形的弧長公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．8．（2023·江蘇連云港·校考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)O在對(duì)角線BD上，以O(shè)B為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)E，連接DE，若DE是⊙O的切線，此時(shí)⊙O的半徑為（

）A．2 B．52 C．3516 【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得BD，根據(jù)切線的性質(zhì)∠DEO=90°，根據(jù)同角的余角相等得∠OEB=∠EDC，則∠DBC=∠EDC，根據(jù)cos∠DBC=BCBD=45，可得cos∠EDC=DCDE【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，BC=AD=8，DC=AB=6，在Rt△ADB中，∠A=90°∴BD=A∵DE是⊙O的切線，∴OE⊥DE，∴∠OEB+∠DEC=90°，∵∠DEC+∠EDC=90°，∴∠OEB=∠EDC，∵OB=OE，∴∠OEB=∠DBC，∴cos∠EDC=∴DE=15設(shè)OB=OE=r，在Rt△ODE中，O∴(10?r)2解得r=25故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2023·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，則△ABC的外接圓的半徑是______．【答案】25【分析】通過作輔助線AD⊥BC，可將求△ABC外接圓的半徑轉(zhuǎn)化為求Rt△BOD【詳解】解：如圖，作AD⊥BC，垂足為D，則O一定在AD上，∴AD=5設(shè)OA=r，即r2解得r=25故答案為：258【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形外接圓半徑的求法，正確利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，以E為圓心，3為半徑作圓，分別交AD、BC于M、N兩點(diǎn)，與DC切于P點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積是______．【答案】9?【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE和∠AEM，根據(jù)勾股定理求出AM，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：由題意得，AE=1∵∠A=90°，∴∠AME=30°，AM=M∴∠AEM=60°，同理，∠BEN=60°，∴∠MEN=60°，陰影部分的面積=3故答案為：9?9【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為α的銳角∠COD頂點(diǎn)在圓心O上，這個(gè)角繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，扇形COD與扇形AOB有重疊的概率為310，求α=【答案】36°##36度【分析】根據(jù)題意可得出扇形COD與扇形AOB有重疊的概率即為組成的扇形圓心角與360°的比值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，∴每個(gè)正五邊形的中心角為72°，∵轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，扇形COD與扇形AOB有重疊的概率為3∴72°+α解得：α=36°．故答案為：36°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何概率以及正五邊形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出概率與圓心角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C3,4，以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切，點(diǎn)A、B在x軸上，且OA=OB．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB=90°，則AB【答案】4【分析】連接OC，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時(shí)AB的長度最小，根據(jù)勾股定理和題意求得OP=2，則AB的最小長度為4．【詳解】解：連接OC，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時(shí)OP最小，OP=12AB∵C3,4∴OC=3∵以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．∴⊙C的半徑為3，∴OP=OA=OB=5?3=2，∵AB是直徑，∴∠APB=90∴AB長度的最小值為4，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，圓周角定理，找到OP的最小值是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC、AC分別交⊙O于點(diǎn)D、E，OF⊥AC于點(diǎn)F，OG⊥BE于點(diǎn)G，∠BAC=45°，下列結(jié)論：①∠EBC=22.5°；②BD=CD；③EF=EG；④AE=2DE；⑤AE=2BD．【答案】①②③④【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABE、∠ABC的度數(shù)，即可求∠EBC的度數(shù)，根據(jù)垂徑定理即可判斷①③，再運(yùn)用弧、弦、圓心角的關(guān)系即可判斷②④.【詳解】解：如圖，連接AD，∵AB為⊙O的直徑，AB=AC，∴∠ADB=∠AEB=90°，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABE=45°，∠C=∠ABC=∴AE=BE，∠EBC=∠ABC?∠ABE=22.5°，故①正確，∵AD⊥BC，AB=AC∴BD=CD，故②正確，∠BAD=∠CAD∴DB=∵AE=BE，∴AE∴AE=2∵OF⊥AE,OG⊥BE∴AE=2EF,BE=2EG∵AE=BE∴EF=EG，故③正確，在Rt△BEC中，BE<BC∵AE=BE，BC=2BD∴AE<2BD，故⑤不正確，故答案為：①②③④【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，三角形內(nèi)角和定理，圓心角，弦，弧的關(guān)系．構(gòu)造合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為20cm的圓形掃地機(jī)器人在無障礙的Rt△ABC房間中自由移動(dòng)打掃衛(wèi)生，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，則圓形掃地機(jī)器人無法打掃到的房間面積為_________．（結(jié)果保留π）【答案】6?π【分析】先確定無法掃到的區(qū)域，再利用扇形面積公式和三角形面積公式求解．【詳解】解：∵AB=4m，BC=3m，∠B=90°，∴AC=32如圖，圖中的陰影部分面積為機(jī)器人無法掃到的房間面積，圖中的圓形機(jī)器人所代表的三個(gè)圓均與三角形的兩邊相切，切點(diǎn)分別為E、F、M、G、Q、N，連接圓心與各切點(diǎn)，∴DE⊥BC，DF⊥AC，HM⊥AB，HG⊥AC，PQ⊥BC，PN⊥BA，∴∠CED=∠CFD=∠AMH=∠AGH=∠PQE=∠PNM=90°，∵∠B=90°，∴DE∥PQ∥BN，BQ∥PN∥HM，DF∥HG，又∵DE=PQ=PN=HM=HG=DF=20cm=0.2m，∴四邊形PQBN是正方形，四邊形EDPQ、四邊形DHGF、四邊形PHMN是矩形；∴DP∥EQ，PH∥NM，DH∥FG，且DP=EQ，PH=NM，DH=FG，∴△PHD∽△BAC，∴可設(shè)PD=3x，PH=4x，DH=5x，∵四邊形CEDF、四邊形QBNP、四邊形MAGH的內(nèi)角和都是360°，∠CED=∠CFD=∠AMH=∠AGH=∠PQE=∠PNM=90°，∠A+∠B+∠C=180°∴∠EDF+∠GHM+∠QPN=360°×3-180°-6×90°=360°，∵∠EDF+∠GHM+∠QPN=360°，∴圖中劣弧所對(duì)的三個(gè)扇形面積之和即為半徑為20cm的圓的面積，即扇形EDF的面積+扇形GHM的面積+扇形PQN的面積=π×0.22=0.04π由切線長定理可知，CE=CF，BQ=BN=0.2，AG=AM，∴CE=CF=3-0.2-3x=2.8-3x，AG=AM=4-0.2-4x=3.8-4x，∴FG=5-CF-AG=5-（2.8-3x）-（3.8-4x）=7x-1.6，∴7x-1.6=5x，解得x=0.8，∴DP=3x=2.4m，PH=4x=3.2m，DH=5x=4m，∴S△DPH=12×3.2×2.4=3.84（m∴S陰影=1故答案為：6?π25【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、切線長定理、扇形面積、矩形的判定與性質(zhì)問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)相似三角形，牢記扇形面積公式，能夠進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化．15．（2023·江蘇蘇州·蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，D是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△ACD的外接圓，⊙O交直線BD于點(diǎn)P，交邊BC于點(diǎn)E，若AE=CP，則AD的最小值為______________．【答案】2【分析】先求出∠ACB=∠CDP=30°，得到∠BDC=150°，則點(diǎn)D在以BC為弦，∠BDC=150°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的圓弧所在圓的圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，則∠BNC=30°，當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最小值，再證明△BMC是等邊三角形，得到∠MCB=60°，MC=BC=6，推出∠ACM=90°，利用勾股定理求出AM的長即可求出AD的長．【詳解】解：∵AE=CP，∴∠ACB=∠CDP=30°，∴∠BDC=150°，∴點(diǎn)D在以BC為弦，∠BDC=150°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的圓弧所在圓的圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，∴∠BNC=30°，當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最小值，∴∠BMC=60°，又∵M(jìn)B=MC，∴△BMC是等邊三角形，∴∠MCB=60°，MC=BC=6，∵∠ACB=30°，∴∠ACM=90°，∴AM=A∴AD=AM?MD=213故答案為：213【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)A，B出發(fā)，分別沿著AD和BD的方向均以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，以EF為直徑作⊙O交BD于點(diǎn)M，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．用關(guān)于t的代數(shù)式表示DM=______．當(dāng)圓心O正好在∠ABD的平分線上時(shí)，此時(shí)t的值為_______．【答案】

48?t【分析】（1）連接ME，根據(jù)AE=t，AD=8，求出ED=8?t，由EF為⊙O的直徑，∠EMF=90°，由余弦值建立等式求解；（2）作出∠ABD的角平分線交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作BD的垂線交于G，先通過三角形的面積之間的關(guān)系求出AH=3，再建立坐標(biāo)系，求出角平分線所在的直線方程，利用銳角三角函數(shù)求出F的坐標(biāo)，根據(jù)圓心O正好在∠ABD的平分線上建立等式求解．【詳解】解：連接ME，∵AE=t，AD=8，∴ED=AD?AE=8?t，BD=6∵EF為⊙O的直徑，∴∠EMF=90°，∴∠EMD=90°，∴MD=ED?cos如下圖：作出∠ABD的角平分線交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作BD的垂線交于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，∴AH=GH，∵∠ABH=∠GBH,BH=BH，∴Rt∴AB=GB=6，∴DG=BD?BG=4，根據(jù)三角形等高模型，∴S∴S∴S∴S∴S∴AH=3，∴H3,0將H3,0,B0,6∴0=3k+b解得：k=?2,b=6，∴直線BH的方程為：y=?2x+6，設(shè)經(jīng)過t秒后，O在角平分線BH上，∴Et,0BF=t，過F作AD的平行線交y軸于L，∵FL∥∴∠B