立體幾何 01平行與垂直、體積與距離 突破專項(xiàng)訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)解答題

臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項(xiàng)訓(xùn)練立體幾何01（平行與垂直、體積與距離）1．如圖，已知四棱錐中，，，分別是，的中點(diǎn)，底面，且．（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積．2．如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求到平面的距離．3．如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)，分別是棱，上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，．（1）若為中點(diǎn)，證明：平面；（2）若，求．4．如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，，頂點(diǎn)在底面上的投影為，側(cè)棱與底面所成角的正切值為．（1）證明：平面．（2）若為的中點(diǎn)，求到平面的距離．5．如圖，四棱錐中，是正方形，平面，，分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）已知，為棱上的點(diǎn)，，求三棱錐的體積．6．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，為的重心．（1）證明：平面；（2）若平面底面，平面底面，，，，求四棱錐的體積．7．如圖，面，四邊形是邊長(zhǎng)為1的為正方形；點(diǎn)在線段上，．（1）若面，求值；（2）若面，棱錐體積取得最大值，求四棱錐的高．8．如圖，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求點(diǎn)到平面的距離．9．如圖，在直三棱柱中，，為上的一點(diǎn)，，．（1）若，求證：平面．（2）平面將棱柱分割為兩個(gè)幾何體，記上面一個(gè)幾何體的體積為，下面一個(gè)幾何體的體積為，求的值．10．已知四棱錐，其中，，，，平面平面，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）11．如圖1，在平面四邊形中，，，且為等邊三角形．設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)平面上方的點(diǎn)，連結(jié)，，設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖2．（1）證明：平面；（2）若二面角為，設(shè)平面與平面的交線為，求與平面所成角的正弦值．參考答案1．（1）證明：在四棱錐中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以是的中位線，即，又平面，平面，所以平面，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，有，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，而，所以平面平面，又平面，所以平面．?）連接，，如圖所示：由，所以的面積為，又，所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為．2．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在直三棱柱中，平面，則為三棱錐的高，所以，因?yàn)槠矫?，則，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，則，又，，，平面，則平面，又平面，所以，因?yàn)?，則，，由等體積法，則，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．3．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，則且，又因?yàn)榍遥?，且，所以四邊形為平行四邊形，從而．又平面，平面，所以平面．?）作交于，則為中點(diǎn)．所以平面，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，且．所以．則，所以．又因?yàn)?，所以?．（1）證明：因?yàn)樗睦忮F的底面是的菱形，且，所以是等邊三角形；因?yàn)?，所以三棱錐是正三棱錐，所以頂點(diǎn)在底面上的投影為為正的中心；又，所以；因?yàn)?，，所以平面；?）由（1）可得就是側(cè)棱與底面所成的角，因?yàn)閭?cè)棱與底面所成角的正切值為．，．四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且，，頂點(diǎn)在底面上的投影為，，，如圖、連結(jié)交于，．．又，為直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，，，，可得，等腰三角形的面積．設(shè)到平面的距離為．由，可得，解得．5．（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由，分別為，的中點(diǎn)，知，，又為的中點(diǎn)，故，，即，且，四邊形是平行四邊形，即，又平面，平面，平面；（2）如圖，連接．平面，平面，，又，，平面，平面，平面，又平面，，即，，即，又，，又，則，且，三棱錐的體積．6．（1）證明：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接是的重心，是的中點(diǎn)，且，，，，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，平面平面，且，平面，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，為的中點(diǎn)，則到平面的距離，又為的重心，點(diǎn)到平面的距離滿足，解得．四邊形的面積，四棱錐的體積．7．（1）設(shè)．面，面面，面，，．（2）法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所成直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，有，1，，設(shè)，則，，，面，，，得：，因?yàn)榈牡酌娌蛔?，故即到面的距離取最大值．到面的距離，當(dāng)僅當(dāng)，即時(shí)取最大值．故四棱錐的高為．法二：設(shè)．中，作，交于．面，面，就是到面的距離，因?yàn)榈牡酌娌蛔?，所以求四棱錐的高，即求最大時(shí)的值．面，面，．故在以為直徑的半圓上，當(dāng)取最大值時(shí)，為圓的半徑，為圓心．此時(shí)，．8．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，平面，而，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，?）證明：在中，，，，所以，故，，在中，，從而，，因?yàn)?，平面，平面，所平面；?）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，令該距離為，所以有即，由（2）知平面，，，所以，在中，，所以，所以所以點(diǎn)到平面的距離．9．（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，在直三棱柱中，，，，又，且，四邊形是平行四邊形，，又由題意為正三角形，側(cè)棱，，兩兩平行且都垂直于平面，，，又，平面，，平面，又，平面．（2）正三棱柱的底面積，則體積．下面一個(gè)幾何體為四棱錐，底面積，因?yàn)槠矫嫫矫?，過(guò)點(diǎn)作邊上的高線，如圖，在平面與平面垂直的性質(zhì)可得垂直于平面，故四棱錐的高等于．則，從而，．10．（1）證明：因?yàn)?，，則，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，則平面；（2）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)，由（1）可知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又為等邊三角形，所以，在中，，，則，故，所以，又因?yàn)?，故，所以四棱錐的體積為1．11．（1）證明：在平面中，設(shè)、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連結(jié)，在中，設(shè)，則，，，且，，且為中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．（2）在圖1中，是中點(diǎn)，即，，在圖2中，，，，、平面，平面，又平面，平面平面，且是二面角的平面角，二面角為，，，設(shè)為中點(diǎn)，