立體幾何 01平行與垂直、體積與距離 突破專項訓練-2022屆高三數(shù)學解答題

臨澧一中2022屆高三數(shù)學解答題突破專項訓練立體幾何01（平行與垂直、體積與距離）1．如圖，已知四棱錐中，，，分別是，的中點，底面，且．（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積．2．如圖，直三棱柱中，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求到平面的距離．3．如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，點，分別是棱，上的點，點是線段上一點，．（1）若為中點，證明：平面；（2）若，求．4．如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，，，頂點在底面上的投影為，側(cè)棱與底面所成角的正切值為．（1）證明：平面．（2）若為的中點，求到平面的距離．5．如圖，四棱錐中，是正方形，平面，，分別為，的中點．（1）證明：平面；（2）已知，為棱上的點，，求三棱錐的體積．6．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為中點，連接，交于點，為的重心．（1）證明：平面；（2）若平面底面，平面底面，，，，求四棱錐的體積．7．如圖，面，四邊形是邊長為1的為正方形；點在線段上，．（1）若面，求值；（2）若面，棱錐體積取得最大值，求四棱錐的高．8．如圖，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求點到平面的距離．9．如圖，在直三棱柱中，，為上的一點，，．（1）若，求證：平面．（2）平面將棱柱分割為兩個幾何體，記上面一個幾何體的體積為，下面一個幾何體的體積為，求的值．10．已知四棱錐，其中，，，，平面平面，點是上一點，．（1）求證：平面；（2）11．如圖1，在平面四邊形中，，，且為等邊三角形．設為中點，連結(jié)，將沿折起，使點到達平面上方的點，連結(jié)，，設是的中點，連結(jié)，如圖2．（1）證明：平面；（2）若二面角為，設平面與平面的交線為，求與平面所成角的正弦值．參考答案1．（1）證明：在四棱錐中，是的中點，是的中點，所以是的中位線，即，又平面，平面，所以平面，因為且，所以四邊形是平行四邊形，有，因為平面，平面，所以平面，而，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）連接，，如圖所示：由，所以的面積為，又，所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為．2．（1）證明：連接交于點，連接，在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，則點為的中點，又因為為的中點，所以，又平面，平面，故平面；（2）設點到平面的距離為，在直三棱柱中，平面，則為三棱錐的高，所以，因為平面，則，所以，又因為平面，平面，則，又，，，平面，則平面，又平面，所以，因為，則，，由等體積法，則，解得，所以點到平面的距離為．3．（1）證明：取中點，連接，，則且，又因為且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，從而．又平面，平面，所以平面．（2）作交于，則為中點．所以平面，因為是邊長為2的正三角形，且．所以．則，所以．又因為，所以．4．（1）證明：因為四棱錐的底面是的菱形，且，所以是等邊三角形；因為，所以三棱錐是正三棱錐，所以頂點在底面上的投影為為正的中心；又，所以；因為，，所以平面；（2）由（1）可得就是側(cè)棱與底面所成的角，因為側(cè)棱與底面所成角的正切值為．，．四棱錐的底面是邊長為的菱形，且，，頂點在底面上的投影為，，，如圖、連結(jié)交于，．．又，為直角三角形斜邊上的中點，，，，可得，等腰三角形的面積．設到平面的距離為．由，可得，解得．5．（1）證明：如圖，取中點，連接，，由，分別為，的中點，知，，又為的中點，故，，即，且，四邊形是平行四邊形，即，又平面，平面，平面；（2）如圖，連接．平面，平面，，又，，平面，平面，平面，又平面，，即，，即，又，，又，則，且，三棱錐的體積．6．（1）證明：延長，交于點，連接是的重心，是的中點，且，，，，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，平面平面，且，平面，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，為的中點，則到平面的距離，又為的重心，點到平面的距離滿足，解得．四邊形的面積，四棱錐的體積．7．（1）設．面，面面，面，，．（2）法一：以為坐標原點，，，所成直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，0，，有，1，，設，則，，，面，，，得：，因為的底面不變，故即到面的距離取最大值．到面的距離，當僅當，即時取最大值．故四棱錐的高為．法二：設．中，作，交于．面，面，就是到面的距離，因為的底面不變，所以求四棱錐的高，即求最大時的值．面，面，．故在以為直徑的半圓上，當取最大值時，為圓的半徑，為圓心．此時，．8．（1）證明：取中點，連接，因為，分別為，的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，，平面，而，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，（2）證明：在中，，，，所以，故，，在中，，從而，，因為，平面，平面，所平面；（3）連接交于點，則為的中點，所以點與點到平面的距離相等，令該距離為，所以有即，由（2）知平面，，，所以，在中，，所以，所以所以點到平面的距離．9．（1）證明：如圖，取中點，連接，，在直三棱柱中，，，，又，且，四邊形是平行四邊形，，又由題意為正三角形，側(cè)棱，，兩兩平行且都垂直于平面，，，又，平面，，平面，又，平面．（2）正三棱柱的底面積，則體積．下面一個幾何體為四棱錐，底面積，因為平面平面，過點作邊上的高線，如圖，在平面與平面垂直的性質(zhì)可得垂直于平面，故四棱錐的高等于．則，從而，．10．（1）證明：因為，，則，又因為平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，則平面；（2）因為點到直線的距離為，當時，點到直線的距離最大，此時，由（1）可知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又為等邊三角形，所以，在中，，，則，故，所以，又因為，故，所以四棱錐的體積為1．11．（1）證明：在平面中，設、的延長線交于點，連結(jié)，在中，設，則，，，且，，且為中點，是中點，，又平面，平面，平面．（2）在圖1中，是中點，即，，在圖2中，，，，、平面，平面，又平面，平面平面，且是二面角的平面角，二面角為，，，設為中點，