新人教版高中數(shù)學(xué)選修2《第一章常用邏輯用語(yǔ)》全章教學(xué)設(shè)計(jì)

選修2—1教案

第一章常用邏輯用語(yǔ)

1.1命題及其關(guān)系

1.1.1命題

(一)教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：理解命題的概念和命題的構(gòu)成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命

題的真假；能把命題改寫(xiě)成“若P，則q”的形式；

2、過(guò)程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題

和解決問(wèn)題的能力；

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(二)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：命題的概念、命題的構(gòu)成

難點(diǎn)：分清命題的條件、結(jié)論和判斷命題的真假

(三)教學(xué)過(guò)程

1.復(fù)習(xí)回顧

初中已學(xué)過(guò)命題的知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)們回顧：什么叫做命題？

2.思考、分析

下列語(yǔ)句的表述形式有什么特點(diǎn)？你能判斷他們的真假嗎？

(1)若直線(xiàn)a〃b,則直線(xiàn)a與直線(xiàn)b沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)2+4=7.

(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.

(4)若/=1,貝ijx=l.

(5)兩個(gè)全等三角形的面積相等.

(6)3能被2整除.

3.討論、判斷

學(xué)生通過(guò)討論，總結(jié)：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話(huà)都判斷什么事情。其

中(1)(3)(5)的判斷為真，(2)(4)(6)的判斷為假。

教師的引導(dǎo)分析：所謂判斷，就是肯定一個(gè)事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4.抽象、歸納

定義：一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.

命題的定義的要點(diǎn)：能判斷真假的陳述句.

在數(shù)學(xué)課中，只研究數(shù)學(xué)命題，請(qǐng)學(xué)生舉幾個(gè)數(shù)學(xué)命題的例子.教師再與學(xué)生共同從

命題的定義，判斷學(xué)生所舉例子是否是命題，從''判斷”的角度來(lái)加深對(duì)命題這一概念的理

解.

5.練習(xí)、深化

判斷下列語(yǔ)句是否為命題？

(1)空集是任何集合的子集.

(2)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則是a奇數(shù).

(3)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？

(4)若平面上兩條直線(xiàn)不相交，則這兩條直線(xiàn)平行.

(5)J-2):=_2.

(6)x>15.

讓學(xué)生思考、辨析、討論解決，且通過(guò)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題,

關(guān)鍵看兩點(diǎn)：第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個(gè)條件缺一不可.疑問(wèn)句、

祈使句、感嘆句均不是命題.

解略。

引申：以前，同學(xué)們學(xué)習(xí)了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學(xué)們可否

舉出一些定理、推論的例子來(lái)看看？

通過(guò)對(duì)此間的思考，學(xué)生將清晰地認(rèn)識(shí)到定理、推論都是命題.

過(guò)渡：同學(xué)們都知道，一個(gè)定理或推論都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成(結(jié)合學(xué)生所舉定

理和推論的例子，讓學(xué)生分辨定理和推論條件和結(jié)論，明確所有的定理、推論都是由條件和

結(jié)論兩部分構(gòu)成)。緊接著提出問(wèn)題：命題是否也是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成呢？

6.命題的構(gòu)成一一條件和結(jié)論

定義：從構(gòu)成來(lái)看，所有的命題都具由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成.在數(shù)學(xué)中，命題常寫(xiě)成“若

P，則q"或者“如果P，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命

題的條件,q叫做命題結(jié)論.

7.練習(xí)、深化

指出下列命題中的條件p和結(jié)論q,并判斷各命題的真假.

(1)若整數(shù)a能被2整除，則a是偶數(shù).

(2)若四邊行是菱形，則它的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分.

(3)若a>0,b>0,則a+b>0.

(4)若a>0,b>0,則a+b<0.

(5)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.

此題中的(1)(2)(3)(4),較容易，估計(jì)學(xué)生較容易找出命題中的條件p和結(jié)論

q,并能判斷命題的真假。其中設(shè)置命題(3)與(4)的目的在于：通過(guò)這兩個(gè)例子的比

較,學(xué)更深刻地理解命題的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結(jié)果是對(duì)的還是錯(cuò)的。

此例中的命題(5),不是“若P,則q”的形式，估計(jì)學(xué)生會(huì)有困難，此時(shí)，教師引導(dǎo)

學(xué)生?起分析：已知的事項(xiàng)為“條件”，由已知推出的事項(xiàng)為“結(jié)論

解略。

過(guò)渡：從例2中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結(jié)論是正確的，而有些命題

的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么我們就有了對(duì)命題的種分類(lèi)：真命題和假命題.

8.命題的分類(lèi)真命題、假命題的定義.

真命題：如果由命題的條件P通過(guò)推理一定可以得出命題的結(jié)論q,那么這樣的命題叫

做真命題.

假命題：如果由命題的條件P通過(guò)推理不一定可以得出命題的結(jié)論q,那么這樣的命題

叫做假命題.

強(qiáng)調(diào)：

(1)注意命題與假命題的區(qū)別.如：“作直線(xiàn)AB”.這本身不是命題.也更不是假命題.

(2)命題是一個(gè)判斷，判斷的結(jié)果就有對(duì)錯(cuò)之分.因此就要引入真命題、假命題的的概念,

強(qiáng)調(diào)真假命題的大前提，首先是命題。

9.怎樣判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真假？

(1)數(shù)學(xué)中判定一個(gè)命題是真命題，要經(jīng)過(guò)證明.

(2)要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可.

10.練習(xí)、深化

例3：把下列命題寫(xiě)成“若P,則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題：

(1)面積相等的兩個(gè)三角形全等。

(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。

（3）對(duì)頂角相等。

分析：要把一一個(gè)命題寫(xiě)成“若P,則q”的形式，關(guān)鍵是要分清命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)

成“若條件，則結(jié)論”即“若P,則q”的形式.解略。

11、課堂練習(xí)：P42、3

12.課堂總結(jié)師生共同回憶本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

1.什么叫命題？真命題？假命題？2.命題是由哪兩部分構(gòu)成的？

3.怎樣將命題寫(xiě)成“若P,則q”的形式.4.如何判斷真假命題.

教師提示應(yīng)注意的問(wèn)題：

1.命題與真、假命題的關(guān)系.2.抓住命題的兩個(gè)構(gòu)成部分，判斷一些語(yǔ)句

是否為命題.

3.判斷假命題，只需舉一個(gè)反例，而判斷真命題，要經(jīng)過(guò)證明.

13.作業(yè)：P9：習(xí)題1.1人組第1題

1.1.2四種命題1.1.3四種命題的相互關(guān)系

（-）教學(xué)目標(biāo)

?知識(shí)與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題

的形式和四種命題間的相互關(guān)系，會(huì)用等價(jià)命題判斷四種命題的真假.

?過(guò)程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，并寫(xiě)出四種命題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、

分析問(wèn)題、有創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力：培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力.

?情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和枳極性，培養(yǎng)他們的

辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）會(huì)寫(xiě)四種命題并會(huì)判斷命題的真假；

（2）四種命題之間的相互關(guān)系.

難點(diǎn)：（1）命題的否定與否命題的區(qū)別：

（2）寫(xiě)出原命題的逆命題、否命題和逆否命題；

（3）分析四種命題之間相互的關(guān)系并判斷命題的真假.

（三）教學(xué)過(guò)程

1.復(fù)習(xí)引入

初中已學(xué)過(guò)命題與逆命題的知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)回顧：什么叫做命題的逆命題？

2.思考、分析

問(wèn)題1：下列四個(gè)命題中，命題（1）與命題（2）、（3）、（4）的條件與結(jié)論之間分別有什么

關(guān)系？

（1）若f（x）是正弦函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù).

（2）若f（x）是周期函數(shù),則f（x）是正弦函數(shù).

（3）若f（x）不是正弦函數(shù)，則f（x）不是周期函數(shù).

（4）若f（x）不是周期函數(shù),則f（x）不是正弦函數(shù).

3.歸納總結(jié)

問(wèn)題一通過(guò)學(xué)生分析、討論可以得到正確結(jié)論.緊接結(jié)合此例給出四個(gè)命題的概念,（1）

和（2）這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，（1）和（3）這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，（1）

和（4）這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。

4.抽象概括

定義1：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論

和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題

叫做原命題的逆命題.

讓學(xué)生舉一些互逆命題的例子。

定義2:般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件

的否定和結(jié)論的否定,那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題.其中一個(gè)命題叫做原命題,

另一個(gè)命題叫做原命題的否命題.

讓學(xué)生舉一些互否命題的例子。

定義3:一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果?個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論

的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.其中一個(gè)命題叫做原

命題，另一個(gè)命題叫做原命題的逆否命題.

讓學(xué)生舉一些互為逆否命題的例子。

小結(jié)：

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的逆命題：

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題就是它的逆否命題.

強(qiáng)調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對(duì)的。

5.四種命題的形式

讓學(xué)生結(jié)合所舉例子，思考：

若原命題為“若P,則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應(yīng)分別寫(xiě)成什么

形式？

學(xué)生通過(guò)思考、分析、比較，總結(jié)如下：

原命題：若P,則q.則：

逆命題：若q,則P.

否命題：若「P,則「q.(說(shuō)明符號(hào)的含義：符號(hào)叫做否定符號(hào).“「p”表示

P的否定；即不是P;非P)

逆否命題：若」q,則「P.

6.練習(xí)鞏固

寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假：

(1)若一個(gè)三角形的兩條邊相等，則這個(gè)三角形的兩個(gè)角相等；

(2)若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個(gè)整數(shù)能被5整除；

(3)若X』，則x=l；

(4)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則是a奇數(shù)。

7.思考、分析

結(jié)合以上練習(xí)思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)系？

通過(guò)此問(wèn)，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)：

①原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②原命題為真，它的否命題不一定為真。

③原命題為真，它的逆否命題一定為真。

原命題為假時(shí)類(lèi)似。

結(jié)合以上練習(xí)完成下列表格：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真

假L'c

假真

假假

由表格學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也

總是具有相同的真假性.

由此會(huì)引起我們的思考：

一個(gè)命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關(guān)系呢？

讓學(xué)生結(jié)合所做練習(xí)分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關(guān)系.

學(xué)生通過(guò)分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系如下圖所示：

8.總結(jié)歸納

若P，則q.若q，則P.

由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系如下：

(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的

逆否命題為真命題，來(lái)間接地證明原命題為真命題.

9.例題分析

例4：證明：若d+q2=2,則p+qW2.

分析：如果直接證明這個(gè)命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對(duì)它的逆否命題的證明。

將“若P2+廠(chǎng)=2,則p+qW2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考

慮證明它的逆否命題“若P+q>2,則/+q2*2”為真命題，從而達(dá)到證明原命題為真

命題的目的.

證明：若p+q>2,貝IJ

p2+q~——[(p—q)z+(p+q)"]2s—(p+q)">—X2'——2

222

所以p2+q?#2.

這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。

練習(xí)鞏固：證明：若a2-b2+2a-4b—3#0,貝ija-b#1.

10：課堂總結(jié)

(1)逆命題、否命題與逆否命題的概念；

(2)兩個(gè)命題互為逆否命題，他們有相同的真假性；

(3)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒(méi)有關(guān)系；

(4)原命題與它的逆否命題等價(jià)；否命題與逆命題等價(jià).

11:作業(yè)P9：習(xí)題1.1A組第2、3、4題

L2充分條件與必要條件

(-)教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；會(huì)判斷命題的充分條件、

必要條件.

2.過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)充分條件、必要條件的概念的理解和運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸

納的邏輯思維能力.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思

維品質(zhì)，在練習(xí)過(guò)程中進(jìn)行辯證唯物主義思想教育.

(二)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：充分條件、必要條件的概念.

(解決辦法：對(duì)這三個(gè)概念分別先從實(shí)際問(wèn)題引起概念，再詳細(xì)講述概念，最后再應(yīng)用概念

進(jìn)行論證.)

難點(diǎn)：判斷命題的充分條件、必要條件

關(guān)鍵：分清命題的條件和結(jié)論，看是條件能推出結(jié)論還是結(jié)論能推出條件

(三)教學(xué)過(guò)程

1.練習(xí)與思考

寫(xiě)出下列兩個(gè)命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？

(1)若x>a'+b'，則x>2ab,

(2)若ab=0,則a=0.

學(xué)生容易得出結(jié)論；命題(D為真命題，命題(2)為假命題.

置疑：對(duì)于命題“若p,則q"，有時(shí)是真命題，有時(shí)是假命題.如何判斷其真假的？

答：看P能不能推出q,如果P能推出q,則原命題是真命題，否則就是假命題.

2.給出定義

命題“若P，則q”為真命題，是指由P經(jīng)過(guò)推理能推出q,也就是說(shuō)，如果p成立，

那么q-定成立.換句話(huà)說(shuō)，只要有條件P就能充分地保證結(jié)論q的成立，這時(shí)我們稱(chēng)條件

P是q成立的充分條件.

?般地，“若P，則q”為真命題，是指由P通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)，我們就說(shuō)，由

P可推出q,記作：p=>q.

定義：如果命題“若P，則q”為真命題，即p=q,那么我們就說(shuō)p是q的充分條件；q

是P必要條件.

上面的命題(1)為真命題，即

x>a'+b；=>x>2ab,

所以“x>a2+b?”是“x>2ab”的充分條件，“x>2ab”是“x>a2+b2w

的必要條件.

3.例題分析：

例1:下列''若P，則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的充分條件？

(1)若x=1,則x?—4x+3=0；

(2)若f(x)=x,則f(x)為增函數(shù)；

(3)若x為無(wú)理數(shù)，則/為無(wú)理數(shù).

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q.

解略.

例2:下列“若p,則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要條件？

⑴若x=y,則x2=y2；

(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的面積相等；

(3)若a>b,則ac>bc.

分析：要判斷q是否是P的必要條件，就要看P能否推出q.

解略.

4.練習(xí)鞏固：P12練習(xí)第1、2、3、4題

5.課堂總結(jié)

充分、必要的定義.

在“若p,則q"中，若pnq,則p為q的充分條件，q為p的必要條件.

6.作業(yè)

PH：習(xí)題L2A組第1（1）（2）,2（1）（2）題

注：（1）條件是相互的；

（2）p是q的什么條件，有四種回答方式：

①P是q的充分而不必要條件；

②p是q的必要而不充分條件；

③P是q的充要條件；

④P是q的既不充分也不必要條件.

1.2.2充要條件

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：

（1）正確理解充要條件的定義，了解充分而不必要條件，必要而不充分條件，既不

充分也不必要條件的定義.

（2）正確判斷充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要

條件.

（3）通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對(duì)條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假，.

2.過(guò)程與方法目標(biāo)：在觀(guān)察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的嚴(yán)密性品質(zhì).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

（-）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：

1、正確區(qū)分充要條件

2、正確運(yùn)用“條件”的定義解題

難點(diǎn)：正確區(qū)分充要條件.

（三）教學(xué)過(guò)程

L思考、分析

已知P：整數(shù)a是2的倍數(shù)；q：整數(shù)a是偶數(shù).

清判斷：P是q的充分條件嗎？P是q的必要條件嗎？

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q,要判斷P是否是q的必要條件,

就要看q能否推出P.

易知：pnq,故p是q的充分條件；

又q=P，故p是q的必要條件.

此時(shí),我們說(shuō)，P是q的充分必要條件

2.類(lèi)比歸納

一般地,如果既有P=q,又有qnP就記作

p<=>q-

此時(shí),我們說(shuō),那么P是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.顯然,如果P是q的充要條件,那么

q也是P的充要條件.

概括地說(shuō),如果p=q,那么p與q互為充要條件.

3.例題分析

例1:下列各題中，哪些p是q的充要條件？

(1)p:b=O,q:函數(shù)f(x)=ax?+bx+c是偶函數(shù)；

(2)p:x>0,y>0,q:xy>0：

(3)p:a>b,q:a+c>b+c；

(4)p:x>5,,q:x>10

(5)p:a>b,q:a">b"

分析：要判斷P是q的充要條件,就要看P能否推出q,并且看q能否推出p.

解：命題(1)和(3)中，pnq,且qnp,即poq,故p是q的充要條件；

命題(2)中，pnq，但qx>p,故p不是q的充要條件；

命題(4)中，pH>q,但qnp,故p不是q的充要條件；

命題(5)中，pw>q,且qx>p,故p不是q的充要條件；

4.類(lèi)比定義

一般地，

若pnq，但q#>p,則稱(chēng)P是q的充分但不必要條件；

若P聲>q,但q=p,則稱(chēng)P是q的必要但不充分條件；

若p#>q,且qP，則稱(chēng)P是q的既不充分也不必要條件.

在討論P(yáng)是q的什么條件時(shí)，就是指以下四種之?：

①若pnq,但qp,則p是q的充分但不必要條件；

②若q=>p,但pq,則p是q的必要但不充分條件；

③若p=>q,且qnp,貝!JP是q的充要條件；

④若p*>q,且q*>p,則p是q的既不充分也不必要條件.

5.練習(xí)鞏固：P14練習(xí)第1、2題

說(shuō)明：要求學(xué)生回答p是q的充分但不必要條件、或p是q的必要但不充分條件、或p是q

的充要條件、或P是q的既不充分也不必要條件.

6.例題分析

例2：已知：。。的半徑為r,圓心0到直線(xiàn)1的距離為d.求證：d=r是直線(xiàn)1與。0相切

的充要條件.

分析：設(shè)p：d=r,q：直線(xiàn)1與。0相切.要證p是q的充要條件，只需要分別證明充分性

(p=>q)和必要性(qnp)即可.

證明過(guò)程略.

例3、設(shè)p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，r成立，貝Us成立.s是q的充分

條件，問(wèn)(1)s是r的什么條件？(2)p是q的什么條件？

7.課堂總結(jié)：

充要條件的判定方法

如果“若P，則q”與“若p則q”都是真命題，那么P就是q的充要條件，否則不是.

8.作業(yè):P14：習(xí)題1.2A組第1(3)(2),2(3),3題

1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.3.1且1.3.2或

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：

（1）掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義

（2）正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”解決問(wèn)題

（3）掌握真值表并會(huì)應(yīng)用真值表解決問(wèn)題

2.過(guò)程與方法目標(biāo)：

在觀(guān)察和思考中，在解題和證明題中，木節(jié)課要特別注重學(xué)生思維的嚴(yán)密性品質(zhì)的培養(yǎng).

3.情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義，使學(xué)生能正確地表述相關(guān)數(shù)

學(xué)內(nèi)容。

難點(diǎn)：

1、正確理解命題“PAq”“PVq”真假的規(guī)定和判定.

2、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述命題“PAq”“PVq”.

（三）教學(xué)過(guò)程：

1、引入

在當(dāng)今社會(huì)中，人們從事任何工作、學(xué)習(xí)，都離不開(kāi)邏輯.具有一定邏輯知識(shí)是構(gòu)成一

個(gè)公民的文化素質(zhì)的重要方面.數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯性強(qiáng)，特別是進(jìn)入高中以后，所學(xué)的數(shù)學(xué)

比初中更強(qiáng)調(diào)邏輯性.如果不學(xué)習(xí)一定的邏輯知識(shí)，將會(huì)在我們學(xué)習(xí)的過(guò)程中不知不覺(jué)地經(jīng)

常犯邏輯性的錯(cuò)誤.其實(shí)，同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)開(kāi)始接觸一些簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí).

在數(shù)學(xué)中，有時(shí)會(huì)使用一些聯(lián)結(jié)詞，如“且”“或”“非”。在生活用語(yǔ)中，我們也使用

這些聯(lián)結(jié)詞，但表達(dá)的含義和用法與數(shù)學(xué)中的含義和用法不盡相同。下面介紹數(shù)學(xué)中使用聯(lián)

結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)命題時(shí)的含義和用法。

為敘述簡(jiǎn)便，今后常用小寫(xiě)字母p,q,r,s,…表示命題。（注意與上節(jié)學(xué)習(xí)命題的條件p

與結(jié)論q的區(qū)別）

2、思考、分析

問(wèn)題1：下列各組命題中，三個(gè)命題間有什么關(guān)系？

（1）①12能被3整除;

②12能被4整除；

③12能被3整除且能被4整除。

（2）①27是7的倍數(shù)；

②27是9的倍數(shù)；

③27是7的倍數(shù)或是9的倍數(shù)。

學(xué)生很容易看到，在第（1）組命題中，命題③是山命題①②使用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)得到的

新命題，在第（2）組命題中，命題③是由命題①②使用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)得到的新命題,。

問(wèn)題2：以前我們有沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)象這樣用聯(lián)結(jié)詞“且”或“或”聯(lián)結(jié)的命題呢？你能否舉一

些例子？

例如：命題P：菱形的對(duì)角線(xiàn)相等且菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分。

命題q：三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似或兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似。

3、歸納定義

?般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題P和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作

pAq

讀作“p且q”。

一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題P和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題，記作pVq,

讀作“p或q”。

命題“pAq”與命題“pVq”即，命題“P且q”與命題“P或q”中的“且”字與“或”

字與下面兩個(gè)命題中的“且”字與“或”字的含義相同嗎？

(1)若xGA且xGB,貝IJxGAAB。

(2)若xWA或xdB,貝UxGAUB。

定義中的“且”字與“或”字與兩個(gè)命題中的“且”字與“或”字的含義是類(lèi)似。但這

里的邏輯聯(lián)結(jié)詞“月與日常語(yǔ)言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相當(dāng)，表明

前后兩者同時(shí)兼有，同時(shí)滿(mǎn)足，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與生活中“或”的含義不同，例如“你去

或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能.

說(shuō)明：符號(hào)“八”與“C”開(kāi)口都是向下，符號(hào)“V”與“U”開(kāi)口都是向上。

注意：“P或q”，“P且q”，命題中的“p”、“q”是兩個(gè)命題，而原命題，逆命題，

否命題，逆否命題中的“P”，“q”是一個(gè)命題的條件和結(jié)論兩個(gè)部分.

4、命題“pAq”與命題“pVq”的真假的規(guī)定

你能確定命題“pAq”與命題“pVq”的真假嗎？命題“pAq”與命題“pVq”的真假

和命題p,q的真假之間有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生分析前面所舉例子中命題p,q以及命題p/\q的真假性，概括出這三個(gè)命題的真假

之間的關(guān)系的?般規(guī)律。

例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，①②都是真命題，所以命題③是真命題。

（即一真則真）

一般地，我們規(guī)定：

當(dāng)P，q都是真命題時(shí)，pAq是真命題；當(dāng)p,q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，

pAq是假命題；當(dāng)P，q兩個(gè)命題中有一個(gè)是真命題時(shí)，pVq是真命題；當(dāng)p,q兩個(gè)命題

都是假命題時(shí)，pVq是假命題。

5、例題

例1：將下列命題分別用“且”與“或”聯(lián)結(jié)成新命題“p/\q”與“pVq”的形式，并判

斷它們的真假。

（1）P：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，q：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等。

（2）p：菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，q：菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分；

（3）p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù).

解：（1）p/\q：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等.也可簡(jiǎn)寫(xiě)成

平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等.

pVq：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分或平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等.也可簡(jiǎn)寫(xiě)成

平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分或相等.

由于P是真命題,且q也是真命題,所以pAq是真命題，pVq也是真命題.

(2)pAq：菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分.也可簡(jiǎn)寫(xiě)成

菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分.

pVq:菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直或菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分.也可簡(jiǎn)寫(xiě)成

菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直或平分.

由于P是真命題,且q也是真命題,所以pAq是真命題，pVq也是真命題.

(3)pAq：35是15的倍數(shù)且35是7的倍數(shù).也可簡(jiǎn)寫(xiě)成

35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù).

pVq:35是15的倍數(shù)或35是7的倍數(shù).也可簡(jiǎn)寫(xiě)成

35是15的倍數(shù)或是7的倍數(shù).

由于P是假命題，q是真命題，所以p/\q是假命題，pVq是真命題.

說(shuō)明，在用"且"或"或"聯(lián)結(jié)新命題時(shí)，如果簡(jiǎn)寫(xiě)，應(yīng)注意保持命題的意思不變.

例2：選擇適當(dāng)?shù)倪壿嬄?lián)結(jié)詞“且”或“或”改寫(xiě)下列命題，并判斷它們的真假。

(1)1既是奇數(shù)，又是素?cái)?shù)；

(2)2是素?cái)?shù)且3是素?cái)?shù)；

(3)2<2.

解略.

例3、判斷下列命題的真假：

(1)6是自然數(shù)且是偶數(shù)

(2)。是A的子集且是A的真子集；

(3)集合A是ACB的子集或是AUB的子集；

(4)周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等.

解略.

6.練習(xí)

P20練習(xí)第1,2題

7.課堂總結(jié)

(1)掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、月的含義

(2)正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”解決問(wèn)題

(3)掌握真值表并會(huì)應(yīng)用真值表解決問(wèn)題

PqPAqPVq

真真真真

真假假真

假真假真

假假假假

8.作業(yè)：

P20：習(xí)題1.3A組第1、2題

1.3.3非

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：

(1)掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義

(2)正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”解決問(wèn)題

(3)掌握真值表并會(huì)應(yīng)用真值表解決問(wèn)題

2.過(guò)程與方法目標(biāo)：

觀(guān)察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重學(xué)生思維能力中嚴(yán)密性品質(zhì)的培養(yǎng).

3.情感態(tài)度價(jià)值目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義，使學(xué)生能正確地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容.

難點(diǎn)：1、正確理解命題“「P”真假的規(guī)定和判定.

2、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述命題”「P”.

（三）教學(xué)過(guò)程：

1、思考、分析

問(wèn)題1：下列各組命題中的兩個(gè)命題間有什么關(guān)系？

（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；

（2）①方程x，x+l=O有實(shí)數(shù)根。②方程x%x+l=O無(wú)實(shí)數(shù)根。

學(xué)生很容易看到，在每組命題中，命題②是命題①的否定。

2、歸納定義

一般地，對(duì)一個(gè)命題p全盤(pán)否定，就得到一個(gè)新命題，記作

讀作“非P”或“P的否定”。

3、命題“「p”與命題p的真假間的關(guān)系

命題“「P”與命題P的真假之間有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生分析前面所舉例子中命題p與命題「p的真假性，概括出這兩個(gè)命題的真假之間的

關(guān)系的一般規(guī)律。

例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，命題①是真命題，而命題②是假命題。

第（2）組命題中，命題①是假命題，而命題②是真命題。

由此可以看出，既然命題「P是命題P的否定，那么「P與P不能同時(shí)為真命題，也不能同

時(shí)為假命題，也就是說(shuō)，

若P是真命題，則fp必是假命題；若P是假命題，則-'p必是真命題；

4、命題的否定與否命題的區(qū)別

讓學(xué)生思考：命題的否定與原命題的否命題有什么區(qū)別？

命題的否定是否定命題的結(jié)論，而命題的否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定,

因此在解題時(shí)應(yīng)分請(qǐng)命題的條件和結(jié)論。

例:如果命題p:5是15的約數(shù),那么

命題fp：5不是15的約數(shù)；

P的否命題：若一個(gè)數(shù)不是5,則這個(gè)數(shù)不是15的約數(shù)。

顯然，命題p為真命題，而命題P的否定「P與否命題均為假命題。

5.例題分析

例1寫(xiě)出下表中各給定語(yǔ)的否定語(yǔ)。

至多有一至少有

若給定語(yǔ)為等于大于是都是

個(gè)一個(gè)

其否定語(yǔ)分別為

分析：“等于”的否定語(yǔ)是“不等于”；

“大于”的否定語(yǔ)是“小于或者等于”；

“是”的否定語(yǔ)是“不是”；

“都是”的否定語(yǔ)是“不都是”；

“至多有一個(gè)”的否定語(yǔ)是“至少有兩個(gè)”；

“至少有一個(gè)”的否定語(yǔ)是“一個(gè)都沒(méi)有”；

例2：寫(xiě)出下列命題的否定，判斷下列命題的真假

(1)p：y=sinx是周期函數(shù)；

(2)p：3<2；

(3)p：空集是集合A的子集。

解略.

6.練習(xí)鞏固：P20練習(xí)第3題

7.小結(jié)

(1)正確理解命題“「P”真假的規(guī)定和判定.

(2)簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述命題“「P”.

8.作業(yè)P20：習(xí)題1.3A組第3題

1.4全稱(chēng)量詞與存在量詞

1.4.1全稱(chēng)量詞1.4.2存在量詞

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

(1)通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的含義，熟悉常見(jiàn)的全稱(chēng)量詞

和存在量詞.

(2)了解含有量詞的全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及

判斷其命題的真假性.

2.過(guò)程與方法目標(biāo)

使學(xué)生體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力.

3.情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)

通過(guò)學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)，在練習(xí)過(guò)程中

進(jìn)行辯證唯物主義思想教育.

(二)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義

難點(diǎn)：全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題真假的判定.

(三)教學(xué)過(guò)程

1.思考、分析

卜列語(yǔ)句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？

(1)2x+1是整數(shù)；

(2)x>3；

(3)如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)邊相等；

(4)平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行；

(5)海師附中今年所有高中一年級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)課本都是采用人民教育出版社A版的教

科書(shū);

(6)所有有中國(guó)國(guó)籍的人都是黃種人；

(7)對(duì)所有的xeR,x>3；

(8)對(duì)任意一個(gè)x€Z,2x+1是整數(shù)。

1.推理、判斷

(讓學(xué)生自己表述)

(1)、(2)不能判斷真假，不是命題。

(3)、(4)是命題且是真命題。

(5)-(8)如果是假，我們只要舉出一個(gè)反例就行。

注：對(duì)于(5)-(8)最好是引導(dǎo)學(xué)生將反例用命題的形式寫(xiě)出來(lái)。因?yàn)檫@些命題的反

例涉及到“存在量詞”“特稱(chēng)命題”“全稱(chēng)命題的否定”這些后續(xù)內(nèi)容。

(5)的真假就看命題：海師附中今年存在個(gè)別(部分)高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民

教育出版社A版的教科書(shū)；這個(gè)命題的真假，該命題為真，所以命題(5)為假；

命題(6)是假命題.事實(shí)上，存在一個(gè)(個(gè)別、部分)有中國(guó)國(guó)籍的人不是黃種人.

命題(7)是假命題.事實(shí)上，存在一個(gè)(個(gè)別、某些)實(shí)數(shù)(如x=2),x<3.

(至少有一個(gè)xGR,xW3)

命題(8)是真命題。事實(shí)上不存在某個(gè)XGZ,使2x+1不是整數(shù)。也可以說(shuō)命題：存

在某個(gè)xGZ使2x+l不是整數(shù)，是假命題.

3.發(fā)現(xiàn)、歸納

命題(5)-(8)跟命題(3)、(4)有些不同，它們用到“所有的"''任意一個(gè)”這

樣的詞語(yǔ)，這些詞語(yǔ)一般在指定的范圍內(nèi)都表示整體或全部，這樣的詞叫做全稱(chēng)量詞，用符

號(hào)“V”表示，含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題。命題(5)-(8)都是全稱(chēng)命題。

通常將含有變量x的語(yǔ)句用P(x),q(x),r(x),……表示，變量x的取值范圍用M

表示。那么全稱(chēng)命題“對(duì)必中任意一個(gè)筋有p69成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：vxeM,p(x),

讀做“對(duì)任意x屬于必有p(x)成立”。

剛才在判斷命題(5)-(8)的真假的時(shí)候，我們還得出這樣一些命題：

(5)?存在個(gè)別高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教育出版社A版的教科書(shū)；

(6),存在一個(gè)(個(gè)別、部分)有中國(guó)國(guó)籍的人不是黃種人.

(7)-存在一個(gè)(個(gè)別、某些)實(shí)數(shù)x(如x=2),使xW3.(至少有一個(gè)x《R,xW

3)

(8)'不存在某個(gè)xGZ使2x+1不是整數(shù).

這些命題用到了“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”這樣的詞語(yǔ)，這些詞語(yǔ)都是表示整體的一

部分的詞叫做存在量詞。并用符號(hào)“三”表示。含有存在量詞的命題叫做特稱(chēng)命題(或存

在命題)命題(5),—(8)'都是特稱(chēng)命題(存在命題).

特稱(chēng)命題：''存在〃中一個(gè)x,使069成立”可以用符號(hào)簡(jiǎn)記為：3xeA/,p(x)o讀

做“存在一個(gè)x屬于必使p(x)成立”.

全稱(chēng)量詞相當(dāng)于日常語(yǔ)言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個(gè)”等；存在量詞相當(dāng)于

日常語(yǔ)言中“存在一個(gè)”，“有一個(gè)”，“有些”，“至少有一個(gè)”，“至多有一個(gè)”等.

4.練習(xí)、感悟

(1)下列全稱(chēng)命題中，真命題是：

A.所有的素?cái)?shù)是奇數(shù);B.VxeR,(x-l)2>0；

1711

C.Vx€+—>2D.VxG(0,—),sinx+———>2

x2sinx

(2)下列特稱(chēng)命題中，假命題是：

A.3xe??,x2-2x-3=0B.至少有一個(gè)能被2和3整除

C.存在兩個(gè)相交平面垂直于同一直線(xiàn)D.土e{xlx是無(wú)理數(shù)},/是有理數(shù).

(3)已知：對(duì)Vxe/T,aYx+L恒成立，則a的取值范圍是；

X

變式：已知：對(duì)—ax+lYO恒成立，貝I」a的取值范圍

是;

(4)求函數(shù)/(x)=-cos2x-sinx+3的值域：

變式：已知：對(duì)VxeR,方程cos2x+sinx-3+a=0有解，求a的取值范圍.

5.作業(yè)、探究

(1)作業(yè)：P29習(xí)題L4A組1、2題：

判斷下列全稱(chēng)命題的真假：

①末位是。的整數(shù)，可以被5整除；

②線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

③負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；

④梯形的對(duì)角線(xiàn)相等。

(2)判斷下列特稱(chēng)命題的真假：

①有些實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有些菱形是正方形。

(