專訓(xùn)2-利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解折疊問題

階段方法技巧訓(xùn)練（三）專訓(xùn)2利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解折疊問題習(xí)題課

四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊，然后在平面圖形內(nèi)按照要求完成相應(yīng)的計(jì)算和證明．折疊的本質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換，折疊后的圖形與原圖形全等．1類型平行四邊形的折疊問題1．在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是銳角，將△ACD

沿對(duì)角線AC所在直線折疊，點(diǎn)D落在△ABC所在平面

內(nèi)的點(diǎn)E處．如果AE恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)，那么?ABCD

的面積是________．如圖，設(shè)AE，BC的交點(diǎn)為O，連接BE，已知O是BC的中點(diǎn)．∵在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，則△ABC≌△CEA，∴∠ACB＝∠CAE，同時(shí)，BC＝AE，即在四邊形ABEC中，兩條對(duì)角線相等．∵在△AOC中，∠ACB＝∠CAE，∴AO＝OC，易得O是AE的中點(diǎn)．∴四邊形ABEC是矩形，在Rt△AEC中，CE＝AB＝6，AE＝AD＝8，由勾股定理得AC＝.∴?ABCD的面積＝AB·AC＝6×2＝12.2．如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在直

線折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE恰好經(jīng)過BC邊的中點(diǎn).

若AB＝3，BC＝6，求∠B的度數(shù)．解：設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F，如圖．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在直線折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.∵F為BC邊的中點(diǎn)，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝×6＝3.又∵AB＝3，∴△ABF是等邊三角形．∴∠B＝60°.2矩形的折疊問題類型3．【中考·衢州】如圖①，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點(diǎn)A落在DC上的點(diǎn)A′處，然后將矩形展平，沿EF折疊，

使頂點(diǎn)A落在折痕DE上的點(diǎn)G處．再將矩形ABCD沿CE折疊，此時(shí)頂點(diǎn)B恰好落在DE上的點(diǎn)H處．如圖②.(1)求證：EG＝CH；(2)已知AF＝

，求AD和AB的長(zhǎng)．

由折疊知∠ADE＝∠A′DE，AE＝EG，BC＝CH.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB∥CD.∴∠A′DE＝∠AED.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∴EG＝CH.證明：(2)∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝

，∴DG＝

，DF＝2.∴AD＝2＋.

如圖，由折疊知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.

又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋

＋

＝2＋2.解：3菱形的折疊問題類型4．如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形

的對(duì)角線交點(diǎn)O處，折痕為EF.若菱形的邊長(zhǎng)為2，∠A＝120°，求EF的長(zhǎng)．如圖，連接BD，AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.∴∠ABO＝90°－60°＝30°.∵∠AOB＝90°，∴AO＝

AB＝×2＝1.由勾股定理，得BO＝DO＝.∵點(diǎn)A沿EF折疊與點(diǎn)O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得EF為△ABD的中位線，∴EF＝

BD＝×(＋)＝.解：4正方形的折疊問題類型5．【中考·德州】如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重

合)．將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G

處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH.(1)求證：∠APB＝∠BPH.(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH

的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你

的結(jié)論．(1)

∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.

又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，

即∠BPH＝∠PBC.

又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.證明：(2)

△PDH的周長(zhǎng)不變且為定值8.

證明如下：過B作BQ⊥PH，垂足為Q.如圖．

由(1)知∠APB＝∠BPH，

又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.

又∵AB＝BC，∴BC