邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)基本公式和常用公式邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)的化簡方法本章內(nèi)容第2頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.1概述基本概念邏輯：事物的因果關(guān)系邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯代數(shù)(開關(guān)代數(shù)、布爾代數(shù))在二值邏輯中的變量取值：0和12.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算

與（AND）、或（OR）、非（NOT）

三種基本運(yùn)算第3頁,共55頁，2024年2月25日，星期天以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；一、“與”邏輯運(yùn)算

條件同時(shí)具備，結(jié)果發(fā)生

Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY000010

100

111第4頁,共55頁，2024年2月25日，星期天ABY000011101111與門邏輯功能：有0出0，全1出1二、“或”邏輯運(yùn)算

條件之一具備，結(jié)果發(fā)生

Y=AORB=A+B或門邏輯功能：有1出1，全0出0第5頁,共55頁，2024年2月25日，星期天AY0110三、“非”邏輯運(yùn)算

條件不具備，結(jié)果發(fā)生

第6頁,共55頁，2024年2月25日，星期天四、復(fù)合邏輯運(yùn)算常用有：與非、或非、與或非、異或和同或（由三種邏輯運(yùn)算與、或、非表示）

1、與非運(yùn)算

ABY001011

101

110邏輯表達(dá)式：Y=(A

B)’邏輯功能：有0出1,全1出0第7頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2、或非運(yùn)算

ABY001010100110邏輯表達(dá)式：Y=(A+B)’

邏輯功能:有1出0，全0出1第8頁,共55頁，2024年2月25日，星期天3、與或非運(yùn)算

邏輯表達(dá)式：Y=(A

B+C

D)’ABCDY000010001100101…………11110第9頁,共55頁，2024年2月25日，星期天邏輯表達(dá)式：

Y=A

B=A’B+AB’ABY0000111011104、異或運(yùn)算

輸入變量1的個(gè)為數(shù)偶數(shù)時(shí)，輸出為0

輸入變量1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，輸出為1

第10頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

邏輯表達(dá)式：Y=A⊙B=A’B’+ABAB

Y00

101

010

011

15、同或運(yùn)算

輸入變量相同時(shí)，輸出為1

輸入變量不同時(shí)，輸出為0

AB=(A⊙B)’第11頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式1.0-1律

1A=

A

1+A=

10A=

0

0+A=

A2.交換律

AB=

BA

A+B=

B+A第12頁,共55頁，2024年2月25日，星期天3.結(jié)合律

A(BC)=

(AB)C

A+(B+C)=

(A+B)+C4.分配律

A(B+C)

=

AB+AC

A+BC

=

(A+B)(A+C)

5.互補(bǔ)律

AA’

=

0

A+A’

=

1第13頁,共55頁，2024年2月25日，星期天6.還原律(A’)’

=

A6.還原律7.重疊律AA

=

AA+A=

A二、若干常用公式8.反演定律(摩根定律)(AB)’

=

A’+B’

(A+B)’

=

A’B’

第14頁,共55頁，2024年2月25日，星期天9.吸收律IA+AB

=

AA(A+B)

=

A10.吸收律IIA+A’B

=

A+BA(A’+B)

=

AB11.吸收律III(A+B)(A+B’)

=

AAB+AB’

=

A12.冗余定理

AB+A’C+BC

=

AB+A’C第15頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.4邏輯代數(shù)基本定理一、代入定理在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。如：第16頁,共55頁，2024年2月25日，星期天二、對(duì)偶定理

F=f(A.B….)中所有“

”變“+”,“+”變“

”,“0”變“1”,“1”變“0”，所有變量不變。記為FD。運(yùn)算順序保持不變,要正確用括號(hào)來表示運(yùn)算順序;長短非號(hào)保持不變；(FD)D=F例1：F=AC+A’BFD=(A+C)(A’+B)第17頁,共55頁，2024年2月25日，星期天三、反演定理對(duì)任何邏輯式：

內(nèi)容：例：第18頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.5邏輯代數(shù)的表示方法一、邏輯函數(shù)邏輯函數(shù):若以邏輯變量為輸入,運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后,輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。表示：Y=F(A,B,C,······)注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值0/1。第19頁,共55頁，2024年2月25日，星期天二、邏輯函數(shù)表示方法真值表、邏輯式、邏輯圖、時(shí)序圖1.邏輯真值表n個(gè)邏輯變量只能有2n種取值組。如n=3：

第20頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.邏輯函數(shù)式將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。如：Y=A(B+C)3.邏輯圖用邏輯圖形符號(hào)表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)。如：Y=A(B+C)邏輯圖第21頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4.時(shí)序圖將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形。第22頁,共55頁，2024年2月25日，星期天各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：(1)真值表

邏輯函數(shù)例1：奇偶判別函數(shù)的真值表(下表)，試寫出邏輯函數(shù)。

ABCY00000010010001111000101111011110解：

A=0,B=1,C=1使A’BC=1

A=1,B=0,C=1使AB’C=1

A=1,B=1,C=0使ABC’=1則：Y=A’BC+AB’C+ABC’第23頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(2)邏輯函數(shù)

邏輯圖用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符對(duì)應(yīng)邏輯圖為：

(3)邏輯圖

邏輯函數(shù)1.用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。2.從輸入到輸出逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)算式。

第24頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例：請寫出下列邏輯圖的邏輯表達(dá)式。第25頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(4)時(shí)序圖

真值表例：請列出下列波形對(duì)應(yīng)的真值表。Q3Q2Q1Y0000001001000110100010101101第26頁,共55頁，2024年2月25日，星期天三、邏輯函數(shù)兩種標(biāo)準(zhǔn)形式1.最小項(xiàng)

最小項(xiàng)m：m是乘積項(xiàng)包含n個(gè)因子n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次第27頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(1)最小項(xiàng)舉例：?兩變量A,B的最小項(xiàng)(2n=22=4個(gè))?三變量A,B,C的最小項(xiàng)(2n=23=8個(gè))注：對(duì)于n變量函數(shù)有

個(gè)最小項(xiàng)。2n第28頁,共55頁，2024年2月25日，星期天最小項(xiàng)取值對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)

編號(hào)000

0

m0001

1

m1010

2

m2011

3

m3100

4

m4101

5

m5110

6

m6111

7

m7(2)最小項(xiàng)的編號(hào)：

第29頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(3)最小項(xiàng)的性質(zhì)：a.在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。b.全體最小項(xiàng)之和為1。

mi=1c.任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0。mimj=0d.兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并，消去一對(duì)因子,只留下公共因子。.第30頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

相鄰項(xiàng)：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng)

相鄰項(xiàng)注：對(duì)于n變量函數(shù)有

個(gè)相鄰項(xiàng)n如：如：

(三個(gè)變量)

請寫出A’BC的相鄰項(xiàng)。第32頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和的形式例：請寫出下列表達(dá)式的最小項(xiàng)之和的形式。

(1)(2)第33頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.6邏輯函數(shù)的化簡法

公式化簡法

卡諾圖化簡法一、公式簡化法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。與或式最簡的標(biāo)準(zhǔn)(兩個(gè)最少原則)與項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；每個(gè)與項(xiàng)中的變量的個(gè)數(shù)最少。第34頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例：利用公式化簡下列邏輯表達(dá)式。Y=A’BC’+AC’+B’C’=(A’B+A+B’)C’=[A’B+(A’B)’]C’=C’(1)Y=A’BC’+AC’+B’C’(2)Y=AB+A’BC+B’Y=AB+A’BC+B’=B(A+A’C)+B’=B(A+C)+B’=A+B’+C第35頁,共55頁，2024年2月25日，星期天二、卡諾圖簡化法實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和以圖形的方式表示出來內(nèi)容：以2n個(gè)小方塊分別代表n

變量的所有最小項(xiàng)，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的(只有一個(gè)變量不同)

就得到表示n變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖。

第36頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(1)二變量卡諾圖

(2)三變量卡諾圖

第37頁,共55頁，2024年2月25日，星期天(3)四變量卡諾圖

1．用卡諾圖表示邏輯函數(shù)(1)將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式

mi

(2)

在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。第38頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例：

首先將Y化為最小項(xiàng)之和的形式：第39頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2．用卡諾圖化簡函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因子。在卡諾圖中,最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。合并最小項(xiàng)的原則:

兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子四個(gè)排成矩形的相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去兩對(duì)因子八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三對(duì)因子第41頁,共55頁，2024年2月25日，星期天兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子：第42頁,共55頁，2024年2月25日，星期天化簡步驟：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)找出可合并的最小項(xiàng)化簡后的乘積項(xiàng)相加3．卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項(xiàng)應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項(xiàng)，即覆蓋圖中所有的1。乘積項(xiàng)的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少。每個(gè)乘積項(xiàng)因子最少，即圈成的矩形最大。第43頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例：

00

01

11

100011111101ABC簡化得：Y=AB’+A’C+BC’AB’BC’A’C方法1：第44頁,共55頁，2024年2月25日，星期天方法2：

00

01

11

100011111101ABCAC’B’CA’B簡化得：Y=AC’+B’C+A’B注：化簡結(jié)果不唯一。第45頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例：0001111000

100

101

100

111

111

110

111

1ABCDD’A簡化得：第46頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例：00011110000110010011110110100011ABCDA’B’DABDA’BCAB’C錯(cuò)誤！簡化得：第47頁,共55頁，2024年2月25日，星期天例：簡化得：00011110000

0

10011

1

10110

1

11101

1

00ABCDA’BC’A’B’C’A’CDABCBD第48頁,共55頁，2024年2月25日，星期天00011110000

0

10011

1

10110

1

1