浙江省湖州市南潯中學高三數學理期末試卷含解析

浙江省湖州市南潯中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量=（1，1），2+=（4，2），則向量，的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】利用向量的坐標運算求出；利用向量的數量積公式求出兩個向量的數量積；利用向量模的坐標公式求出兩個向量的模；利用向量的數量積公式求出兩個向量的夾角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴兩個向量的夾角余弦為故選C【點評】本題考查向量的數量積公式，利用向量的數量積公式求向量的夾角余弦、考查向量模的坐標公式．2.已知函數的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為且f(x)的圖象關于點對稱，則下列判斷正確的是（

）A．要得到函數f(x)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位 B．函數f(x)的圖象關于直線對稱 C．當時，函數的最小值為D．函數在上單調遞增參考答案：A因為的最大值為，故，又圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，故即，所以，令，則即，因，故，.，故向右平移個單位后可以得到，故A正確；，故函數圖像的對稱中心為，故B錯；當時，，故，故C錯；當時，，在為減函數，故D錯.綜上，選A.

3.右圖是一個算法的程序框圖，該算法輸出的結果是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C4.已知,則的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A5.（07年全國卷Ⅰ）已知雙曲線的離心率為2，焦點是，，則雙曲線方程為A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A解析：已知雙曲線的離心率為2，焦點是，，則c=4，a=2，，雙曲線方程為，選A。6.已知，則sinθ﹣cosθ的值為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】同角三角函數基本關系的運用．【專題】三角函數的求值．【分析】由條件求得2sinθcosθ=，再根據sinθ﹣cosθ=﹣，運算求得結果．【解答】解：∵已知，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．故sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故選B．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系的應用，屬于基礎題．7.若集合(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C8.（5分）（2015?嘉興二模）若sinθ+cosθ=，θ∈，則tanθ=（）A．﹣B．C．﹣2D．2參考答案：C【考點】：同角三角函數基本關系的運用．【專題】：三角函數的求值．【分析】：由條件利用同角三角函數的基本關系，以及三角函數在各個象限中的符號，求得tanθ的值．解：∵sinθ+cosθ=，θ∈，sin2θ+cos2θ=1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴tanθ==﹣2，故選：C．【點評】：本題主要考查同角三角函數的基本關系，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．9.計算機是將信息轉化為二進制數進行處理的，二進制即“逢二進一”，若1011（2）表示二進制數，將它轉換成十進制數式是了么二進制數（2）轉換成十進制數形式是

（

）

A．22010-1

B．22011-1

C．22012-1

D．22013-1參考答案：B轉換成十進制數形式：．10.已知向量與的夾角為60°，||=2，||=5，則2﹣在方向上的投影為（）A． B．2 C． D．3參考答案：A【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據平面向量數量積的定義與投影的定義，進行計算即可．【解答】解：∵向量與的夾角為60°，且||=2，||=5，∴（2﹣）?=2﹣?=2×22﹣5×2×cos60°=3，∴向量2﹣在方向上的投影為=．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某算法的程序框如下圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關系式是．參考答案：略12.定義：如果函數在定義域內給定區(qū)間上存在，滿足，則稱函數是上的“平均值函數”，是它的一個均值點，如是上的平均值函數，0就是它的均值點.現(xiàn)有函數是上的平均值函數，則實數的取值范圍是

.參考答案：因為函數是上的平均值函數，所以，即關于的方程，在內有實數根，即，若，方程無解，所以，解得方程的根為或.所以必有，即，所以實數的取值范圍是，即.13.已知x+2y+3z=2，則x2+y2+z2的最小值是

．參考答案：考點：二維形式的柯西不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：由條件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．解答： 解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=4，∴x2+y2+z2≥=，即x2+y2+z2的最小值是，故答案為：．點評：本題主要考查了函數的最值，以及柯西不等式的應用，解題的關鍵是利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，進行解決．14.已知四棱錐P﹣ABCD的外接球為球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，則球O的表面積為．參考答案：【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】設ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=BD=，設O到平面ABCD的距離為d，則R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱錐P﹣ABCD的外接球的表面積．【解答】解：取AD的中點E，連接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=，設ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=BD=，設O到平面ABCD的距離為d，則R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，∴d=，R2=，球O的表面積為s=．故答案為：．【點評】本題考查四棱錐P﹣ABCD的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出四棱錐P﹣ABCD的外接球的半徑是關鍵．15.如圖所示：有三根針和套在一根針上的n個金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．

（1）每次只能移動一個金屬片；（2）在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為；則：（Ⅰ）

（Ⅱ）

參考答案：（1）（2）k∈略16.如圖，需在一張紙上印上兩幅大小完全相同，面積都是的照片，排版設計為紙上左右留空各，上下留空各，圖間留空為，照此設計，則這張紙的最小面積是

．參考答案：19617.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)

如圖所示，點、在以為直徑的⊙上，∥，垂直于⊙所在平面，，，（1）求證：平面平面；（2）設二面角的大小為，求的值．參考答案：（1）證明：因為點在以為直徑的⊙上，所以，即.

由已知平面，平面，所以.因為平面，平面，，所以平面.因為平面，

所以平面平面.（2）解：如圖，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．因為，，所以，.延長交于點.因為∥，所以.所以，，，.所以，.設平面的法向量.由得即令，則.所以同理可求平面的一個法向量n.所以.所以.

19.已知函數f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函數y=f（x）存在與直線2x﹣y=0平行的切線，求實數a的取值范圍；（2）設g（x）=f（x）+，若g（x）有極大值點x1，求證：＞a．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】函數思想；轉化法；導數的綜合應用．【分析】（1）求出函數的導數，問題轉化為2+2a=在（0，+∞）上有解，求出a的范圍即可；（2）求出g（x）的解析式，通過討論a的范圍，問題轉化為證明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根據函數的單調性證明即可．【解答】解：（1）因為f′（x）=﹣2a，x＞0，因為函數y=f（x）存在與直線2x﹣y=0平行的切線，所以f′（x）=2在（0，+∞）上有解，即﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a=在（0，+∞）上有解，所以2+2a＞0，得a＞﹣1，故所求實數a的取值范圍是（﹣1，+∞）；（2）證明：因為g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因為g′（x）=，①當﹣1≤a≤1時，g（x）單調遞增無極值點，不符合題意，②當a＞1或a＜﹣1時，令g′（x）=0，設x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2，因為x1為函數g（x）的極大值點，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=﹣2ax1+=0，則a=，要證明+＞a，只需要證明x1lnx1+1＞a，因為x1lnx1+1﹣a=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，記P（x）=﹣﹣+lnx，x∈（0，1），則P′（x）=﹣3x+=，當0＜x＜時，p′（x）＞0，當＜x＜1時，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上單調遞減，所以h（x）＞h（1）=0，原題得證．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．20.已知函數f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6lnx，其中a∈R.(1)當a＝1時，判斷f(x)的單調性；(2)若g(x)在其定義域內為增函數，求正實數a的取值范圍；(3)設函數h(x)＝x2－mx＋4，當a＝2時，若?x1∈(0,1)，?x2∈[1,2]，總有g(x1)≥h(x2)成立，求實數m的取值范圍.參考答案：

略21.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，分別為橢圓：的左、右焦點,為短軸的一個端點，是橢圓上的一點，滿足，且的周長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點是線段上的一點，過點且與軸不垂直的直線交橢圓于兩點，若是以為頂點的等腰三角形，求點到直線距離的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由已知，設，即∴即

………………1分∴得：①………2分又的周長為，∴②………3分又①②得：

∴

∴所求橢圓的方程為：………5分（Ⅱ）設點,直線的方程為………………6分由消去，得：設，中點為

則

∴∴

即………8分∵