2023-2024學(xué)年銀川市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考后提升卷（二）附答案解析

-2024學(xué)年銀川市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考后提升卷（二）2024.4注意事項(xiàng)：本試卷共19題，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。答案寫在答題卡上的指定位置?？荚嚱Y(jié)束后，交回答題卡。第I卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)O為的內(nèi)心，，，，則（

）.A． B． C． D．4．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．6．在中，已知向量與滿足，且，則角().A． B. C. D.7．已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形8．萬(wàn)丈懸梯高可攀，白塔座落嘉陵邊．白塔作為閬中市的標(biāo)志性建筑之一．當(dāng)你登臨頂層，會(huì)欣賞到閬中AAAAA風(fēng)景的全貌．感覺(jué)人仿佛在凌空飛翔．現(xiàn)有一數(shù)學(xué)興趣小組，如圖，測(cè)量河對(duì)岸的白塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得米，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則測(cè)得的塔高為()米．A． B. C. D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)符合題意的選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)符合題意的選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分。9．平行四邊形ABCD中，，，．動(dòng)點(diǎn)M滿足，，，下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．時(shí)，則的取值范圍為B．時(shí)，的取值范圍是C．時(shí)，存在M使得D．且最大時(shí)，在上的投影向量為10．歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的虛部為1 B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．的共軛復(fù)數(shù)為11．如圖是《易?系辭上》記載的“洛書”，其歷來(lái)被認(rèn)為是河洛文化的濫觴，是華夏文明的源頭．洛書中9個(gè)數(shù)字的排列可抽象為兩正方形，，其中為這兩正方形的中心，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．第II卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位，）.若是純虛數(shù)，則.14．已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為，則該圓錐的表面積為．注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．14．已知的三邊長(zhǎng)分別為角是直角，則的取值范圍是．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．(本小題13分)設(shè)向量，，．(1)求；（4分）(2)若與平行，求的值；（4分）(3)求的余弦值．（5分）16．(本小題15分)已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為．(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)求該圓錐的內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值；(3)求圓錐的內(nèi)切球體積．17．(本小題15分)在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值．（4分）(2)若是的平分線．求證：；（11分）18．(本小題17分)某景區(qū)為拓展旅游業(yè)務(wù)，擬建一個(gè)觀景臺(tái)P（如圖所示），其中AB，AC為兩條公路，，M，N為公路上的兩個(gè)景點(diǎn)，測(cè)得，，為了獲得最佳觀景效果，要求P對(duì)的視角.現(xiàn)需要從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光路線PM，PN，且要求觀光路線最長(zhǎng).若建造觀光路線的寬為5米，每平方米造價(jià)為100元.(1)求M、N的距離；（4分）(2)設(shè)，用表示；（7分）(3)求該景區(qū)預(yù)算需要投入多少萬(wàn)元改造？（）（6分）19．(本小題17分)設(shè)有維向量，，稱為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合．(1)若，寫出一個(gè)向量，使得．（2分）(2)令．若，證明：為偶數(shù)．（5分）(3)若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例．（10分）答案解析1．D【分析】利用在上的投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以在上的投影向量的坐?biāo)為．2．B【分析】根據(jù)面面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由，，若，由面面平行的性質(zhì)知：，必要性成立；由，，若，則或相交，充分性不成立．相交情況如下：3．B【分析】取的中點(diǎn)，連，則為內(nèi)切圓的半徑，利用面積關(guān)系求出，得，再根據(jù)得，由平面向量基本定理求出可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)椋?，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用面積關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑,進(jìn)而得到是本題解題關(guān)鍵.4．B【分析】由建立的等量關(guān)系，求解，從而判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，化?jiǎn)得，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.5．C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則確定原圖形，利用勾股定理求得長(zhǎng)度．【詳解】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，由斜二測(cè)法則知，，所以,6．A【分析】依題意可得，設(shè)角的平分線交于，即可得到，從而得到為等腰直角三角形，即可得解.【詳解】設(shè)角的平分線交于，因?yàn)?，故，即，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，設(shè)，（如圖所示），，因?yàn)?，故四邊形為正方形，所以為角的平分線，故在上.因?yàn)?，故，?綜上，為等腰直角三角形且，所以.

7．C【分析】如圖，由題意，根據(jù)空間線面的位置關(guān)系、基本事實(shí)以及面面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，設(shè)，分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)，此時(shí)，連接交于，連接，設(shè)平面與平面的交線為，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，設(shè)，則，此時(shí)，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，

8．D【分析】求得可求得，進(jìn)而由余弦定理可得，由，可求塔高.【詳解】在中，由得所以米，在中，由余弦定理可得，所以，在，可得，所以米.9．BCD【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積和的取值范圍得到A錯(cuò)誤；由向量的線性運(yùn)算可知B正確；由向量垂直的坐標(biāo)表示得到C正確；由投影向量結(jié)合二次函數(shù)得到D正確.【詳解】作于點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，，，，所以，，所以，所以，對(duì)于A，，因?yàn)?，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，故點(diǎn)在上，所以的取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)，又，則所以在上的投影向量為，故D正確；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量的處理方法可用：①基底法：通過(guò)基底的建立與表示求解；②坐標(biāo)法：通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合坐標(biāo)公式求解；③平方法：通過(guò)平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化求解平面向量問(wèn)題.10．ABD【分析】由，其虛部為1，可判斷A；由，可判斷B；由，可判斷C；先求得，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，其虛部為1，故A正確；對(duì)于B：由題意可得：為實(shí)數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故的共軛復(fù)數(shù)為，故D正確.11．BCD【分析】利用向量的幾何運(yùn)算及數(shù)量積逐一計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A：，錯(cuò)誤；對(duì)于B：，B正確；對(duì)于C：，C正確；對(duì)于D：，D正確.12．-4【分析】求出的代數(shù)形式，再根據(jù)實(shí)部為零，虛部不為零列式計(jì)算.【詳解】,因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.13．【分析】借助過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求出圓錐表面積.【詳解】由題過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為，母線長(zhǎng)為，則在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圓錐的表面積為.14．【分析】解法1：分，和三種情況討論，結(jié)合基本不等式和對(duì)勾函數(shù)分析運(yùn)算；解法2：根據(jù)直角三角形邊化角結(jié)合三角恒等變換整理得，再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析運(yùn)算．【詳解】解法1：∵由角是直角，故，原式，則有當(dāng)時(shí)，則，令，則原式.∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴原式，故；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，令，可得，則，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，，即.綜上，的取值范圍是.解法2：由角是直角，得，，，可得，.，則，可得，.15．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及模的運(yùn)算公式即可求解；（2）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及向量平行可列出等式求解；（3）由向量線性運(yùn)算以及向量夾角的坐標(biāo)公式即可運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?分），所以.（2分）（2）因?yàn)?，，?分）所以，，（1分）因?yàn)榕c平行，所以（1分），所以.（1分）（3）因?yàn)椋?，所以，，?分）所以（2分）所以的余弦值為.（1分）(1)(3)【分析】（1）設(shè)圓錐母線長(zhǎng)、底面半徑分別為、，依題意可得，由平方關(guān)系求出，再由面積公式求出，即可得到及圓錐的側(cè)面積；（2）作出軸截面，設(shè)圓柱底面半徑，即可得到圓柱的高，從而表示出圓柱的側(cè)面積，最后由基本不等式計(jì)算可得；（3）求出內(nèi)切球的半徑，再由球的體積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)圓錐母線長(zhǎng)、底面半徑分別為、，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，（1分）又，所以，（1分）又因?yàn)榈拿娣e為，∴，解得（負(fù)值舍去），（1分）又，所以，（1分）∴圓錐的側(cè)面積．（1分）（2）作出軸截面如下所示：設(shè)圓柱底面半徑，即，由（1）可知，則，又圓錐的高，（1分）所以，即圓柱的高為，（1分）所以圓錐內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，（2分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，（1分）所以圓錐內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為.（3）作出軸截面如圖所示：根據(jù)圓錐的性質(zhì)可知內(nèi)切球球心在上，設(shè)球心為，切于點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切球半徑為，即，則，所以，（2分）由（1）可知，圓錐的高，，則有，解得，（1分）∴圓錐的內(nèi)切球的體積.（2分）（解題中作圖1分，不做扣2分）17．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可得答案；（2）在和中，分別應(yīng)用正余弦定理，得出線段之間的等量關(guān)系，結(jié)合角平分線以及分式的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，?分），（2分）且，則，所以.（1分）（2）在中，由正弦定理可得①，（1分）

由余弦定理可得②，.（1分）在中，由正弦定理可得③，（1分）由余弦定理可得④.（1分）因?yàn)槭堑钠椒志€，則，所以.（1分）因?yàn)?，所以，，?分）①÷③，得⑤，所以，，（2分）②＋④，得（1分）所以，得證．（2分）18．(1)(2)(3)【分析】（1）直接利用余弦定理求解；（2）在中，利用正弦定理表示出，然后相加利用三角公式整理；（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，（2分）得；（2分）（2），，則，（1分）在中，由正弦定理得，（2分）所以，（2分）所以（1分）；（1分）（3）由（2）得，又，（1分）所以，，（2分）即，所以該景區(qū)預(yù)算需要.（2分）即該景區(qū)預(yù)算需要投入萬(wàn)元改造.（1分）19．(1)（答案不唯一）(2)證明見(jiàn)解析(3)，答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)定義寫出滿足條件的即可；（2