【數學】專題課堂 構造三角形的中位線 2023-2024學年人教版數學八年級下冊

精品試卷·第2頁（共2頁）數學八下專題課堂(六)構造三角形的中位線一、已知兩邊中點，連接構造三角形中位線【例1】如圖，在四邊形ABCD中，E，F分別是邊AB，AD的中點，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數．分析：連接BD，根據勾股定理逆定理可求出∠BDC＝90°，由三角形的中位線定理可求出∠BDA＝∠AFE＝50°，從而可得出∠ADC的度數．【對應訓練】1．如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，EF⊥AC于點F，G為EF的中點，連接DG.(1)求EF的長；(2)求DG的長.2．如圖，四邊形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分別是AD，BC的中點，求EF的長．二、已知一邊中點，取另一邊中點構造三角形中位線【例2】如圖，M，P分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且AM＝BM，AP＝2CP，BP與CM相交于N.已知PN＝1，求PB的長．分析：取AP的中點，利用三角形的中位線定理即可求解．【對應訓練】3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，E，F分別是AB，CD的中點.若AC＝4cm，BD＝6cm，求EF的長度.4．如圖，在△ABC中，AB＝7，M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，作MF∥AD交AC于點F，CF＝11.求AC的長.三、已知一邊中點，延長另一邊構造三角形中位線【例3】如圖，在△ABC中，點M為BC的中點，AD為△ABC的外角平分線，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的長．【對應訓練】5．如圖，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，E是BC的中點.若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求DE的長.6．如圖，在△ABC中，CE是中線，CD是角平分線，AF⊥CD交CD延長線于點F，AC＝7，BC＝4，求EF的長.四、已知四邊形對邊的中點，取對角線中點構造三角形中位線【例4】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點D，E分別在邊AB，BC上，且AD＝CE＝3，M，N分別為線段DE，AC的中點，求線段MN的長.【對應訓練】7．如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，M，N分別是AD，BC的中點，AB＝6，CD＝3，求MN的取值范圍.參考答案一、已知兩邊中點，連接構造三角形中位線【例1】如圖，在四邊形ABCD中，E，F分別是邊AB，AD的中點，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數．分析：連接BD，根據勾股定理逆定理可求出∠BDC＝90°，由三角形的中位線定理可求出∠BDA＝∠AFE＝50°，從而可得出∠ADC的度數．解：連接BD，∵點E，F分別是邊AB，AD的中點，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，∴∠ADB＝∠AFE＝50°，在△BDC中，BD2＋CD2＝122＋92＝225，BC2＝225，∴BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°＋50°＝140°【對應訓練】1．如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，EF⊥AC于點F，G為EF的中點，連接DG.(1)求EF的長；(2)求DG的長.解：(1)EF＝3.(2)連接DE.∵在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，∴DE＝2且DE∥AC.∵EF⊥AC，∴DE⊥EF，即∠DEF＝90°.∵G為EF的中點，∴EG＝12∴DG＝DE2．如圖，四邊形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分別是AD，BC的中點，求EF的長．解：如圖，取BD的中點P，連接EP，FP.∵E，F分別是AD，BC的中點，AB＝10，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝eq\f(1,2)AB＝5，PF∥CD且PF＝eq\f(1,2)CD＝4.又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°－∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝90°，∴在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝eq\r(EP2＋PF2)＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41)二、已知一邊中點，取另一邊中點構造三角形中位線【例2】如圖，M，P分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且AM＝BM，AP＝2CP，BP與CM相交于N.已知PN＝1，求PB的長．分析：取AP的中點，利用三角形的中位線定理即可求解．解：如圖所示，取AP的中點D，連接MD，∵AP＝2CP，∴AD＝DP＝CP，∵AM＝BM，∴DM是△ABP的中位線，∴DM∥BP，BP＝2DM，∴PN是△CDM的中位線，∴DM＝2PN＝2，∴BP＝2DM＝2×2＝4【對應訓練】3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，E，F分別是AB，CD的中點.若AC＝4cm，BD＝6cm，求EF的長度.解：取BC的中點H，連接EH，FH.∵E，F分別是AB，CD的中點，∴EH＝12AC＝2cm，FH＝12BD＝3cm，EH∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥FH，即∠EHF＝90°，∴EF＝EH4．如圖，在△ABC中，AB＝7，M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，作MF∥AD交AC于點F，CF＝11.求AC的長.解：取AC的中點N，連接MN.∵M，N分別是BC，AC的中點，∴MN＝12AB＝72，MN∥AB易得∠MNC＝2∠DAC.∵MF∥AD，∴∠MFN＝∠DAC，∴∠MFN＝∠FMN，∴FN＝MN＝72∵CF＝11，∴NC＝CF－FN＝152∴AC＝2NC＝15.三、已知一邊中點，延長另一邊構造三角形中位線【例3】如圖，在△ABC中，點M為BC的中點，AD為△ABC的外角平分線，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的長．解：延長BD交CA的延長線交于點E，∵AD為△ABC的外角平分線，∴∠EAD＝∠BAD，在△EAD和△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAD＝∠BAD，,AD＝AD，,∠ADE＝∠ADB，))∴△EAD≌△BAD(ASA)，∴AE＝AB＝12，BD＝DE，∴EC＝AE＋AC＝30，∵BM＝MC，BD＝DE，∴DM是△EBC的中位線，∴DM＝eq\f(1,2)EC＝15【對應訓練】5．如圖，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，E是BC的中點.若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求DE的長.解：延長CD交AB于點F.易證△ADF≌△ADC(ASA)，∴AF＝AC＝5，CD＝FD，∴BF＝AB－AF＝4.∵CD＝FD，E為BC的中點，∴DE＝12BF6．如圖，在△ABC中，CE是中線，CD是角平分線，AF⊥CD交CD延長線于點F，AC＝7，BC＝4，求EF的長.解：延長AF，CB交于點G.易證△ACF≌△GCF(ASA)，∴CG＝AC＝7，AF＝GF，∴BG＝CG－BC＝3.∵AE＝BE，AF＝GF，∴EF＝12BG四、已知四邊形對邊的中點，取對角線中點構造三角形中位線【例4】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點D，E分別在邊AB，BC上，且AD＝CE＝3，M，N分別為線段DE，AC的中點，求線段MN的長.解：連接CD，取CD的中點H，連接MH，NH.∵M，H分別為DE，CD的中點，∴MH＝12CE＝32同理可得NH＝12AD＝32∵∠ABC＝90°，即CE⊥AD，∴MH⊥NH，即∠MHN＝90°，∴M