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文檔簡介
河南省安陽市2024屆高考數(shù)學一模試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知命題若,則,則下列說法正確的是()A.命題是真命題B.命題的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若,則”D.命題的逆否命題是“若,則”2.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形3.設,,則()A. B.C. D.4.在復平面內,復數(shù)z=i對應的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉,所得向量對應的復數(shù)是()A. B. C. D.5.已知復數(shù)是純虛數(shù),其中是實數(shù),則等于()A. B. C. D.6.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.17.若點是角的終邊上一點,則()A. B. C. D.8.已知復數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為()A. B. C. D.9.如圖,正方體的棱長為1,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結論中錯誤的是()A., B.存在點,使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值10.下列與函數(shù)定義域和單調性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.11.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當時,,則()A. B. C. D.12.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.內角,,的對邊分別為,,,若,則__________.14.我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究,從其中一些數(shù)學用語可見,譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖(圖中網格紙上每個小正方形的邊長為1)如圖所示,已知幾何體高為,則該幾何體外接球的表面積為__________.15.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.16.正方形的邊長為2,圓內切于正方形,為圓的一條動直徑,點為正方形邊界上任一點,則的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)設直線交橢圓于兩點,線段的中點在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點.18.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓的極坐標方程為.(1)求直線和圓的普通方程;(2)已知直線上一點,若直線與圓交于不同兩點,求的取值范圍.20.(12分)已知動圓恒過點,且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程;(2)設是軌跡上橫坐標為2的點,的平行線交軌跡于,兩點,交軌跡在處的切線于點,問:是否存在實常數(shù)使,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.21.(12分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.22.(10分)在平面直角坐標系xoy中,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為,過點的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點。(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程:(2)若成等比數(shù)列,求a的值。
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
解不等式,可判斷A選項的正誤;寫出原命題的逆命題并判斷其真假,可判斷B選項的正誤;利用原命題與否命題、逆否命題的關系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】解不等式,解得,則命題為假命題,A選項錯誤;命題的逆命題是“若,則”,該命題為真命題,B選項正確;命題的否命題是“若,則”,C選項錯誤;命題的逆否命題是“若,則”,D選項錯誤.故選:B.【點睛】本題考查四種命題的關系,考查推理能力,屬于基礎題.2、B【解析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結合0<A<π,可求A=π3【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質的應用,兩角差的正弦公式的應用,解題的關鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎題.3、D【解析】
由不等式的性質及換底公式即可得解.【詳解】解:因為,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質及換底公式,屬基礎題.4、A【解析】
由復數(shù)z求得點Z的坐標,得到向量的坐標,逆時針旋轉,得到向量的坐標,則對應的復數(shù)可求.【詳解】解:∵復數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復平面中對應點Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉得到,
設=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對應復數(shù)為.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎題.5、A【解析】
對復數(shù)進行化簡,由于為純虛數(shù),則化簡后的復數(shù)形式中,實部為0,得到的值,從而得到復數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù),所以,得所以.故選A項【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,純虛數(shù)的概念,屬于簡單題.6、A【解析】
由兩圓相外切,得出,結合二次函數(shù)的性質,即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以,即當時,取最大值故選:A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數(shù),屬于中檔題.7、A【解析】
根據三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點是角的終邊上一點,根據三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準確化簡、計算是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.8、B【解析】
利用復數(shù)的除法運算化簡z,復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學生概念理解,數(shù)學運算,數(shù)形結合的能力,屬于基礎題.9、B【解析】
根據平行的傳遞性判斷A;根據面面平行的定義判斷B;根據線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因為分別是中點,所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據線面垂直的性質得出,結合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.10、C【解析】
分析函數(shù)的定義域和單調性,然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調性,由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,在上為減函數(shù).A選項,的定義域為,在上為增函數(shù),不符合.B選項,的定義域為,不符合.C選項,的定義域為,在上為減函數(shù),符合.D選項,的定義域為,不符合.故選:C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調性,屬于基礎題.11、A【解析】
因為給出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉化為,再與一起代入解析式,利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質,即可求得結果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當時,,,,.故選:A.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對數(shù)的運算性質,屬于中檔題.12、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】∵,∴,即,∴,∴.14、【解析】三視圖還原如下圖:,由于每個面是直角,顯然外接球球心O在AC的中點.所以,,填?!军c睛】三視圖還原,當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時,我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等,而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等,所以本題的球心為AC中點。15、-6【解析】
由可求,然后根據向量數(shù)量積的坐標表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎試題.16、【解析】
根據向量關系表示,只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得:,故答案為:【點睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍,涉及基本運算,關鍵在于恰當?shù)貙ο蛄窟M行轉換,便于計算解題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)把點代入橢圓方程,結合離心率得到關于的方程,解方程即可;(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程得到關于的一元二次方程,利用韋達定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】(Ⅰ)由已知橢圓過點得,,又,得,所以,即橢圓方程為.(Ⅱ)證明:由,得,由,得,由韋達定理可得,,設的中點為,得,即,,的中垂線方程為,即,故得中垂線恒過點.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關鍵;屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標系,求平面的一個法向量與平面的一個法向量,再利用向量數(shù)量積運算即可.【詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因為,所以平面,又平面,所以.(2)設,,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點,為的中點,所以平行且相等,從而平面,又,所以,,兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標系,,,由平面幾何知識,得.則,,,,所以,,.設平面的法向量為,由,可得,令,則,,所以.同理,平面的一個法向量為.設平面與平面所成角為,則,所以.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重點考查了空間向量的應用,屬中檔題.19、(1),;(2)【解析】分析:(1)用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程,由公式可化極坐標方程為直角坐標方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程,其中參數(shù)的絕對值表示直線上對應點到的距離,因此有,,直接由韋達定理可得,注意到直線與圓相交,因此判別式>0,這樣可得滿足的不等關系,由此可求得的取值范圍.詳解:(1)直線的參數(shù)方程為,普通方程為,將代入圓的極坐標方程中,可得圓的普通方程為,(2)解:直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為可得:(*),且由題意,,.因為方程(*)有兩個不同的實根,所以,即,又,所以.因為,所以所以.點睛:(1)參數(shù)方程化為普通方程,一般用消參數(shù)法,而消參法有兩種選擇:一是代入法,二是用公式;(2)極坐標方程與直角坐標方程互化一般利用公式;(3)過的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))中參數(shù)具有幾何意義:直線上任一點對應參數(shù),則.20、(1);(2)存在,.【解析】
(1)根據拋物線的定義,容易知其軌跡為拋物線;結合已知點的坐標,即可求得方程;(2)由拋物線方程求得點的坐標,設出直線的方程,利用導數(shù)求得點的坐標,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,結合韋達定理,求得,進而求得與之間的大小關系,即可求得參數(shù).【詳解】(1)由題意得,點與點的距離始終等于點到直線的距離,由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點為焦點,直線為準線的拋物線,則,.∴圓心的軌跡方程為.(2)因為是軌跡上橫坐標為2的點,由(1)不妨取,所以直線的斜率為1.因為,所以設直線的方程為,.由,得,則在點處的切線斜率為2,所以在點處的切線方程為.由得所以,所以.由消去得,由,得且.設,,則,.因為點,,在直線上,所以,,所以,所以.∴故存在,使得.【點睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解,以及拋物線中定值問題的求解,涉及導數(shù)的幾何意義,屬綜合性中檔題.21、(Ⅰ)見解
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