近世代數(shù)課件群的概念

近世代數(shù)課件群的概念一．群的定義

定義1.2.1

設(shè)是一個非空集合,若對中任意兩個元素

通過某個法則“

”，有中惟一確定的則稱法則“

”為集合上的一個代數(shù)運元素與之對應(yīng),

算（algebraicoperation）．元素是通過運

算“

”作用的結(jié)果,我們將此結(jié)果記為第2頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例１

有理數(shù)的加法、減法和乘法都是有理數(shù)集Q上的代數(shù)運算,除法不是Q上的代數(shù)運算．如果只考

慮所有非零有理數(shù)的集合Q*,則除法是Q*上的代數(shù)運算.

剩余類集．對，規(guī)定例２

設(shè)為大于1的正整數(shù)，為

的模第3頁,共44頁，2024年2月25日，星期天證我們只要證明,上面規(guī)定的運算與剩余類的代表元的選取無關(guān)即可．設(shè)

則

于是

從而

則“＋”與“”都是上的代數(shù)運算．第4頁,共44頁，2024年2月25日，星期天所以+與都是上的代數(shù)運算.

第5頁,共44頁，2024年2月25日，星期天一個代數(shù)運算，即對所有的有如

果的運算還滿足(G1)結(jié)合律，即對所有的有；

(G2)中有元素，使對每個，有定義1.2.2

設(shè)是一個非空集合，“

”是上的(G3)對中每個元素，存在元素，使

第6頁,共44頁，2024年2月25日，星期天．在不致引起混淆的情況下,也稱為群．

（unitelement）或恒等元（identity）；

注1．(G2)中的元素稱為群的單位元(G3)中的元素稱為的逆元（inverse）．

則稱關(guān)于運算“

”構(gòu)成一個群（group），記作

我們將證明：群的單位元和每個元素的逆元都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常記作．第7頁,共44頁，2024年2月25日，星期天（commutativegroup）或阿貝爾群（abeliangroup)．

，有，則稱是一個交換群3．群中元素的個數(shù)稱為群的階（order），記為．如果是有

限數(shù),則稱為有限群

2．如果群的運算還滿足交換律，即對任意的（finitegroup），否則稱為無限群（infinitegroup).

第8頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例３

整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群．這個群稱為整數(shù)加群．

證對任意的，有

，所以“＋”是上的一個代數(shù)運算．同時，對任意的,

有所以結(jié)合律成立.另一方面，且

有第9頁,共44頁，2024年2月25日，星期天又對每個有

從而關(guān)于“＋”構(gòu)成群，顯然這是一個交換群．所以0為

的單位元.所以是的逆元.注

1．當(dāng)群的運算用加號“＋”表示時，通常將的單位元記作0，并稱0為的零元；將的逆元記作,并稱為的負元．第10頁,共44頁，2024年2月25日，星期天2．習(xí)慣上，只有當(dāng)群為交換群時，才用“＋”來表

示群的運算，并稱這個運算為加法，把運算的結(jié)果叫做和，同時稱這樣的群為加群．相應(yīng)地,將不是加群的群稱為乘群，并把乘群的運算叫做乘法，

運算的結(jié)果叫做積．在運算過程中，乘群的運算符號通常省略不寫．今后，如不作特別聲明，我們總假定群的運算是乘法．當(dāng)然,所有關(guān)于乘群的結(jié)論對加群也成立（必要時,作一些相關(guān)的記號和術(shù)語上改變）．第11頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例４全體非零有理數(shù)的集合Q*關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群,這個群的單位元是數(shù)1，非零有理數(shù)

的逆元是的倒數(shù)．同理，全體非零實數(shù)的

集R*、全體非零復(fù)數(shù)的集合關(guān)于數(shù)的乘法也．構(gòu)成交換群．第12頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例５實數(shù)域R上全體階方陣的集合，關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個交換群．全體階可逆方陣的集合關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群，群中的單位元是單位矩陣，可逆方陣的逆元是的逆矩陣

當(dāng)時，是一個非交換群．例６集合關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群第13頁,共44頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個階交換群．證(1)對任意的，因為,所以

例７全體次單位根組成的集合因此．于是“

”是的代數(shù)運算．

第14頁,共44頁，2024年2月25日，星期天(3)由于，且對任意的，

所以1為的單位元．

(4)對任意的，有，且

所以有逆元．的乘法也滿足交換律和結(jié)合律．

(2)因為數(shù)的乘法滿足交換律和結(jié)合律，所以第15頁,共44頁，2024年2月25日，星期天因此關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個群．通常稱這個群為

次單位根群，顯然是一個具有個元素的交換群．第16頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例８設(shè)是大于1的正整數(shù)，則關(guān)于剩余

類的加法構(gòu)成加群.這個群稱為的模剩余類加群．

證

(1)由例２知，剩余類的加法“＋”是的

代數(shù)運算．

(2)對任意的，所以結(jié)合律成立．

第17頁,共44頁，2024年2月25日，星期天(3)對任意的,

所以交換律成立．(4)對任意的，

且所以0為的零元．

第18頁,共44頁，2024年2月25日，星期天(5)對任意的,且所以為的負元．從而知，關(guān)于剩余類的加法構(gòu)成加群．□第19頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例９設(shè)是大于1的正整數(shù)，記則關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群．

證(1)對任意的，有

于是，從而．(2)對任意的

所以剩余類的乘法“

”是的代數(shù)運算．

第20頁,共44頁，2024年2月25日，星期天所以結(jié)合律成立.

(3)因為，從而，且對任意的

且

所以1是的單位元．

第21頁,共44頁，2024年2月25日，星期天(4)對任意的，有，由整數(shù)的性質(zhì)可知，存在，使所以，且顯然所以為的逆元．從而知，的每個元素在中都可逆．

第22頁,共44頁，2024年2月25日，星期天這就證明了關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群．□注

(1)群稱為的模單位群，顯然這是一個交換群．當(dāng)為素數(shù)時，常記作.易知，

(2)由初等數(shù)論可知（參見[1]），的階等于,這里是歐拉函數(shù)．如果其中為的不同素因子，那么第23頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例10

具體寫出中任意兩個個元素的乘積以及每一個元素的逆元素．易知直接計算，可得

表1.2.1第25頁,共44頁，2024年2月25日，星期天由表中很容易看出注觀察表1.2.1，我們發(fā)現(xiàn)可以把表1.2.1表示為更加簡單的形式（見表1.2.2）．表1.2.2123411234224133314244321第26頁,共44頁，2024年2月25日，星期天形如表1.2.2的表通常稱為群的乘法表

（multiplicationtable），也稱群表（grouptable）或凱萊表（Cayleytable）．人們常用群表來表述有限群的運算．如下表所示：

ebeebaa第27頁,共44頁，2024年2月25日，星期天在一個群表中,表的左上角列出了群的運算符號

（有時省略），表的最上面一行則依次列出群的所有元素（通常單位元列在最前面），表的最左

列按同樣的次序列出群的所有元素．表中的其余部分則是最左列的元素和最上面一行的元素的乘

積．注意，在乘積中，左邊的因子總是

左列上的元素,右邊的因子總是最上面一行的元素．由群表很容易確定一個元素的逆元素．

第28頁,共44頁，2024年2月25日，星期天又如果一個群的群表是對稱的，則可以肯定，這個群一定是交換群．第29頁,共44頁，2024年2月25日，星期天二．群的性質(zhì)定理1.2.1

設(shè)為群，則有

(1)群的單位元是惟一的；(2)群的每個元素的逆元是惟一的；(3)對任意的，有；

(4)對任意的，有；(5)在群中消去律成立，即設(shè)，如果，或，則．

第30頁,共44頁，2024年2月25日，星期天證(1)如果都是的單位元，則（因為是的單位元），因此

所以單位元是惟一的．

(2)設(shè)都是的逆元，則（因為是的單位元），第31頁,共44頁，2024年2月25日，星期天于是

所以的逆元是惟一的．

(3)因為是的逆元，所以從而由逆元的定義知，是的逆元．又由逆元的惟一性得

(4)直接計算可得第32頁,共44頁，2024年2月25日，星期天及從而由逆元的惟一性得

(5)如果，則

同理可證另一消去律．□第33頁,共44頁，2024年2月25日，星期天定理1.2.2

設(shè)是群，那么對任意的，

方程

及在中都有惟一解．

證取，則所以方程有解又如為方程的任一解，即則這就證明了惟一性．

第34頁,共44頁，2024年2月25日，星期天同理可證另一方程也有惟一解．□

第35頁,共44頁，2024年2月25日，星期天指數(shù)與指數(shù)法則積與運算的順序無關(guān)，因此可以簡單地寫成

群的定義中的結(jié)合律表明，群中三個元素的乘進一步可知，在群中，任意個元素

的乘積與運算的順序無關(guān)，因此可以寫成.據(jù)此,我們可以定義群的元素的方冪

對任意的正整數(shù)，定義

第36頁,共44頁，2024年2月25日，星期天再約定

（為正整數(shù)）則對任意整數(shù)都有意義，并且不難證明：對任意的有下列的指數(shù)法則(1)；(2)(3)如果是交換群，則

（如果不是交換群，一般不成立）．第37頁,共44頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)是加群時,元素的方冪則應(yīng)改寫為倍數(shù)相應(yīng)地,指數(shù)法則變?yōu)楸稊?shù)法則：

(1)(2)(3)（因為加群是交換群，所以（3）對加群總是成立的）．第38頁,共44頁，2024年2月25日，星期天定理1.2.3

設(shè)是一個具有代數(shù)運算的非空

集合，

則關(guān)于所給的運算構(gòu)成群的充分必要條件是

三．群的判別(1)的運算滿足結(jié)合律；

(2)

中有一個元素（稱為的左單位元）,使對

任意的有(3)

對的每一個元素，存在

（稱為的左逆元），使．這里是的左單位元．第39頁,共44頁，2024年2月25日，星期天證

必要性由群的定義，這是顯然的．充分性只需證:是的單位元,，是的．

逆元即可．

設(shè)由條件(3)知，存在使而對于也存在使于是且第40頁