八年級數(shù)學(xué)下冊專項訓(xùn)練：勾股定理的應(yīng)用

【專項訓(xùn)練】勾股定理（逆定理）的應(yīng)用題型1：求樹/旗桿的高度1如圖，一棵直立的大樹在一次強臺風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【變式1-1】如圖，在離地面高度6m處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60°角，則拉線AC的長是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【變式1-2】（2022八下·冠縣期末）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈12米（AC的長）處，升起云梯到火災(zāi)窗口，云梯AB長20米，云梯底部距地面3米（AE的長），問：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面有多高（BD的長）？【變式1-3】如圖，有兩棵樹，一棵高19米，另一棵高10米，兩樹相距12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行（）A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【變式1-4】（2022八下·杭州月考）如圖，在一次課外活動中，同學(xué)們要測量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個涼亭之間的距離，已知CD⊥BD，現(xiàn)測得AC=203m，BC=60m，CD=題型2：梯子問題2（2022八下·黔西月考）如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.5米，梯子頂端A也下落了0.5米嗎？【變式2-1】如圖，學(xué)校要把宣傳標(biāo)語掛到教學(xué)樓的頂部C處，已知樓頂C處離地面的距離CA為8m，為保證安全，梯子的底部和墻基的距離AB至少為4m，要使云梯的頂部能到達C處，估計云梯的長度至少為（）A．8m B．9m C．10m D．12m【變式2-2】（2020八下·南康月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子AB斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離AC為0.7米，頂端到地面距離BC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端到地面距離B'D為2米，求小巷的寬度【變式2-3】如圖，淇淇在離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m．（1）開始時，船距岸A的距離是m；（2）若淇淇收繩5m后，船到達D處，則船向岸A移動m．題型3：九章算術(shù)問題3在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【變式3-1】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【變式3-2】《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為尺．題型4：影響范圍問題4（2022八下·興仁月考）為了抗旱保收，某市準(zhǔn)備開采地下水，經(jīng)探測，C處地下有水，為此C處需要爆破，已知C處與公路上的?？空続的距離為300m，與公路上的另一?？空綛的距離為400m，AB的距離為500m，如圖所示，為了安全，爆破點C周圍250m的范圍內(nèi)禁止進入，在進行爆破時，公路AB段某部分是否有危險而需要暫時封鎖？【變式4-1】今年第6號臺風(fēng)“煙花”登錄我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以臺風(fēng)中心為圓心，周圍500km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺風(fēng)中心的移動速度為28千米/時，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【變式4-2】如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學(xué)，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉機的速度是5米/秒，拖拉機行駛時周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；若受到影響，那么學(xué)校受到的影響的時間為多少秒？題型5：航海問題5（2022八下·鞍山期末）如圖，點O是位于東西海岸線的一個港口，A，B兩艘客輪從港口O同時出發(fā)，A客輪沿北偏東75°航行，航速是每小時18海里，B客輪沿北偏西15°方向航行，航速是每小時24海里，請計算3小時之后兩客輪之間的距離．【變式5-1】在海面上有兩個疑似漂浮目標(biāo)．接到消息后，A艦艇以12海里/時的速度離開港口O，向北偏西50°方向航行．同時，B艦艇在同地以16海里/時的速度向北偏東方向行駛，如圖所示，離開港口1.5小時后兩船相距30海里，則B艦艇的航行方向是（）A．北偏東60° B．北偏東50° C．北偏東40° D．北偏東30°【變式5-2】（2022八下·惠州期末）某船從港口A出發(fā)沿南偏東32°方向航行12海里到達B島，然后沿某方向航行16海里到達C島，最后沿某個方向航行了20海里回到港口A，則該船從B到C是沿哪個方向航行的？（即求C島在B島的哪個方位，距離B島多遠？），請說明理由．【變式5-3】（2022八下·黃岡月考）如圖，兩艘海艦在海上進行為時2小時的軍事演習(xí)，一海艦以120海里/時的速度從港口A出發(fā)，向北偏東60°方向航行到達B，另一海艦以90海里/時的速度同時從港口A出發(fā)，向南偏東30°方向航行到達C，則此時兩艘海艦相距多少海里？題型6：立體圖形的最短路徑問題6如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階上兩個相對的端點，點處有一只螞蟻，想到點處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【變式6-1】如圖，一圓柱高為，底面周長是，一只螞蟻從點爬到點處吃食，且，則最短路線長為A． B． C． D．【變式6-2】如圖，長方體的底面邊長為和，高為．如果用一根細(xì)線從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達，那么所用細(xì)線最短需要A． B． C． D．【變式6-3】如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米題型7：折疊問題7.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，BG=10，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時，求△EFG的面積．【變式7-1】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為．【變式7-2】矩形紙片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE＝cm．【變式7-3】如圖，沿AE折疊長方形ABCD，使D點落在BC邊的點F處，若AB＝12cm，BC＝13cm，則FC的長度是．題型8：面積問題8.（2019八下·烏蘭浩特期末）如圖，已知直角△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積．【變式8-1】如圖，四邊形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四邊形ABCD的面積．【變式8-2】如圖所示，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中點，求AD的長和△ABD的面積．題型9：動點問題9.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x．（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式x2【變式9-1】（2021八下·甘孜期末）如圖，在直角三角形ΔABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，點P從A開始沿AB邊向點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點（1）求t為何值時，ΔPBQ為等腰三角形？（2）是否存在某一時刻t，使點Q在線段AC的垂直平分線上？（3）點P，Q在運動的過程中，是否存在某時刻t，直線PQ把ΔABC的周長分為【變式9-2】（2022八下·章丘期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上運動，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．（1）判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，則線段DE的長為．【變式9-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA向點A運動，當(dāng)運動到點A時停止，若設(shè)點D運動的時間為t秒．點D運動的速度為每秒1個單位長度．

（1）當(dāng)t=2時，CD=，AD=；（2）求當(dāng)t為何值時，△CBD是直角三角形，說明理由；（3）求當(dāng)t為何值時，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形？并說明理由．題型10：勾股定理的證明10.（2022?小店區(qū)校級開學(xué)）【問題背景】勾股定理是重要的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法【定理表述】（1）用文字語言敘述勾股定理的內(nèi)容：【定理證明】（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，延長BE到點C，使CE＝a，過點C作：CD⊥CE，使CD＝b，連接DE，AD（如圖2），則AE⊥DE，AD＝c，四邊形ABCD是以a為底、（a+b）為高的直角梯形，請利用圖2證明勾股定理．【定理應(yīng)用】（3）當(dāng)a≠b時，利用圖2，可以證明a+b＜c．證明步驟如下：如圖3，過點A作AF⊥CD于點F，則AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四邊形ABCF為，∴AF＝，∴BCAD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．【變式10-1】（2022春?曲阜市期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所對的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，則有S1+S2＝S3；（1）如圖2，分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，請問S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2、S3，根據(jù)（2）中的探索，直接回答S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出圖4中陰影部分的面積．【變式10-2】（2022秋?大竹縣校級期末）勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點F在BC邊上，頂點C、D重合，連接AE、EB．設(shè)AB、DE交于點G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．請你回答以下問題：（1）填空：∠AGE＝°，S四邊形ADBE＝c2．（2）請用兩種方法計算四邊形ACBE的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理．【變式10-3】（2021春?卡若區(qū)校級期末）將直角△ABC繞直角頂點C旋轉(zhuǎn)，使點A落在BC邊上的點A′，請你先證明A′B′⊥AB，并利用陰影部分面積完成勾股定理的證明．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：作△A′B′C≌△ABC，使點A的對應(yīng)點A′在邊BC上，連接AA′、BB′，延長B′A′交AB于點M．一、單選題1．（2023八上·寧強期末）圖中字母所代表的正方形的面積為175的選項為（）A． B．C． D．2．（2022八上·長春期末）《九章算術(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+4C．(10-x)2+43．（2022八上·杭州期中）如圖所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．無法計算4．（2022八上·杭州期中）如圖，有一個繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長度為5米.若將它往水平方向向前推進3米（即DE=3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時木馬上升的高度為（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米5．（2022·金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC.一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）A． B．C． D．6．（2022七上·海陽期中）如圖是一個長方體盒子，其長、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點A，B處，不計線頭，細(xì)線的最短長度為（）A．12 B．15 C．18 D．21二、填空題7．（2023八上·平昌期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了米.8．（2022七上·環(huán)翠期中）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A、B、C的面積分別是8cm2，12cm2，14c9．（2022七上·西安期中）如圖，MN是圓柱底面的直徑，NO是圓柱的高，在圓柱的側(cè)面上，過點M，P有一條繞四周且路徑最短的金屬絲，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿M