八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)19.2.4選擇方案六大題型

19.2.4選擇方案-6大題型選擇方案選擇方案是指某一問(wèn)題中，符合條件的方案有多種，一般要利用數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)過(guò)分析、猜想、判斷，篩選出最佳方案，常涉及的問(wèn)題類型有利潤(rùn)最大、路程最短、運(yùn)費(fèi)最少、效率最高等，常建立函數(shù)模型，運(yùn)用方程（組）或不等式的知識(shí)進(jìn)行求解.用一次函數(shù)選擇方案的一般步驟（1）"析"∶分析題意，弄清數(shù)量關(guān)系.（2）"列"∶列出函數(shù)解析式、不等式或方程.（3）"求"∶求出自變量在不同值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小，或函數(shù)的最大（最小）值.（4）"選"∶結(jié)合實(shí)際需要選擇最佳方案.注意∶在選擇方案時(shí)，要考慮實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，尤其要看它是不是某些特殊解（如正整數(shù)解）.特別提醒：１．解決含多個(gè)變時(shí)，注意分析這些變量的關(guān)系，從中選取—個(gè)根據(jù)問(wèn)題的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)，以此作為解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)２．選擇最佳方案實(shí)際上是在比較的基礎(chǔ)上完成的，它往往是將全部方案——列舉出來(lái)，然后根據(jù)題意選擇一個(gè)最優(yōu)的方案。題型1：省錢方案1.朗朗晴空、徐徐清風(fēng)，民生之要、百姓之盼，某市深入貫徹生態(tài)文明思想，著力推動(dòng)生態(tài)環(huán)境質(zhì)量持續(xù)好轉(zhuǎn)，努力繪就美麗中國(guó)畫卷．市政府為了改善市內(nèi)河流水質(zhì)，市環(huán)保部門欲購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備，現(xiàn)有A，B兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格，月處理污水量如下表，設(shè)購(gòu)買A型號(hào)設(shè)備x臺(tái)，購(gòu)買這兩種型號(hào)的設(shè)備共10臺(tái)所需資金為y萬(wàn)元．A型B型價(jià)格（萬(wàn)元/臺(tái)）1210每臺(tái)設(shè)備處理污水量（噸/月）220200（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若政府規(guī)定每月要求處理污水量不低于2040噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)你為環(huán)保部門設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案．【變式1-1】為持續(xù)做好疫情防控工作，我校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種額溫槍．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研得知：購(gòu)買1個(gè)甲種額溫槍和2個(gè)乙種額溫槍共需700元，購(gòu)買2個(gè)甲種額溫槍和3個(gè)乙種額溫槍共需1160元．（1）求每個(gè)甲種額溫槍和乙種額溫槍各多少元；（2）我校準(zhǔn)備購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的額溫槍共50個(gè)，其中購(gòu)買甲種額溫槍不超過(guò)乙種額溫槍．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并求出最低費(fèi)用．【變式1-2】煙臺(tái)蘋果馳名中外，某水果超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)“紅富士”與“新紅星”兩個(gè)品種的蘋果．已知2箱紅富士蘋果的進(jìn)價(jià)與3箱新紅星蘋果的進(jìn)價(jià)的和為282元，且每箱紅富士蘋果的進(jìn)價(jià)比每箱新紅星蘋果的進(jìn)價(jià)貴6元．（1）求每箱紅富士蘋果的進(jìn)價(jià)與每箱新紅星蘋果的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若超市準(zhǔn)備購(gòu)買紅富士和新紅星兩種蘋果共50箱，且紅富士的數(shù)量不少于一半，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并求出最低費(fèi)用．題型2：生產(chǎn)方案2.新冠肺炎疫情爆發(fā)，抗擊新冠疫情防控工作至關(guān)重要，某公司加緊生產(chǎn)酒精消毒液與額溫槍兩種抗疫物質(zhì)，其兩種物資的生產(chǎn)成本和銷售單價(jià)如表所示：種類生產(chǎn)成本（元/件）銷售單價(jià)（元/件）酒精消毒液5662額溫槍84100（1）若該公司2020年12月生產(chǎn)兩種物資共100萬(wàn)件，生產(chǎn)總成本為6720萬(wàn)元，請(qǐng)用列二元一次方程組的方法；求該月酒精消毒液和額溫槍兩種物資各生產(chǎn)了多少萬(wàn)件？（2）該公司2021年1月生產(chǎn)兩種物資共150萬(wàn)件，根據(jù)市場(chǎng)需求，該月將舉辦迎新年促銷活動(dòng)，其中酒精消毒液的銷售單價(jià)降低2元，額溫槍打9折銷售．若設(shè)該月生產(chǎn)酒精消毒液m萬(wàn)件，該月銷售完這兩種物資的總利潤(rùn)為w萬(wàn)元，求w與m之間的函數(shù)關(guān)系式．【變式2-1】“中國(guó)海帶之鄉(xiāng)”霞浦縣今年又迎來(lái)一個(gè)豐收年．某海帶養(yǎng)殖專業(yè)村為保障養(yǎng)殖戶收益，聯(lián)系了村海帶加工廠，收購(gòu)養(yǎng)殖戶每天收割的鮮海帶．該加工廠主要以加工干海帶和鹽漬海帶兩種方式處理每天收購(gòu)的30噸鮮海帶，工廠現(xiàn)有12名工人，每位工人在同一天中只能選擇一種加工方式．若生產(chǎn)干海帶，每人每天可加工2噸鮮海帶，每噸可獲利250元；若加工鹽漬海帶，每人每天可加工0.6噸鮮海帶，每噸可獲利600元；每天加工不完的鮮海帶直接賣給鮑魚(yú)養(yǎng)殖場(chǎng)作飼料．若安排所有的工人都加工干海帶，則加工廠當(dāng)天可獲利6300元．（1）求加工不完的鮮海帶直接賣給鮑魚(yú)養(yǎng)殖場(chǎng)作飼料，每噸可獲利多少元；（2）根據(jù)市場(chǎng)銷售情況，該加工廠決定生產(chǎn)干海帶的人數(shù)不超過(guò)鹽漬海帶人數(shù)的2倍．問(wèn)加工廠如何安排工人，可使每天生產(chǎn)的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式2-2】疫情期間，某企業(yè)為了保證能夠盡快復(fù)工復(fù)產(chǎn)，準(zhǔn)備為員工采購(gòu)200袋醫(yī)用口罩．因?yàn)橐咔槠陂g口罩等物資緊缺，無(wú)法購(gòu)買同型號(hào)的口罩，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，準(zhǔn)備購(gòu)買A、B、C三種型號(hào)的口罩，這三種型號(hào)口罩單價(jià)如表所示：型號(hào)ABC單價(jià)（元/袋）303540若購(gòu)買B型口罩的數(shù)量是A型的2倍，設(shè)購(gòu)買A型口罩x袋，該企業(yè)購(gòu)買口罩的總費(fèi)用為y元．（1）請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知口罩生產(chǎn)廠家能提供的A型口罩的數(shù)量不大于C型口罩的數(shù)量，當(dāng)購(gòu)買A型口罩多少袋時(shí)購(gòu)買口罩的總費(fèi)用最少？并求最少總費(fèi)用．題型3：運(yùn)調(diào)方案3.今年疫情期間某物流公司計(jì)劃用兩種車型運(yùn)輸救災(zāi)物資，已知租用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運(yùn)11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿．（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運(yùn)多少噸？（2）請(qǐng)你該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；（3）若A型貨車每輛需租金120元/次，B型貨車每輛租金140元/次，請(qǐng)選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【變式3-1】龍泉驛水蜜桃已有80余年的種植歷史，現(xiàn)有水蜜桃標(biāo)準(zhǔn)化基地面積達(dá)7.2萬(wàn)余畝，年產(chǎn)量8.3萬(wàn)噸，培育了白鳳桃、皮球桃、晚湖景等50余個(gè)早中晚熟優(yōu)良品種，有果大質(zhì)優(yōu)、色澤艷麗、汁多味甜三大特點(diǎn)，素有“天下第一桃”的美譽(yù)．已知甲乙兩果園今年預(yù)計(jì)水蜜桃的產(chǎn)量分別為200噸和300噸，打算成熟后運(yùn)到A，B兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放，已知A倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，B倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸．甲，乙兩果園運(yùn)往兩倉(cāng)費(fèi)用的單價(jià)如表：甲果園乙果園A倉(cāng)庫(kù)150元/噸140元/噸B倉(cāng)庫(kù)200元/噸180元/噸設(shè)從甲果園運(yùn)往A倉(cāng)庫(kù)的水蜜桃重量為x噸，甲，乙兩果園運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的水蜜桃運(yùn)輸費(fèi)用分別為y甲元，y乙元．（1）求出y甲，y乙的函數(shù)關(guān)系式；（2）甲果園今年預(yù)計(jì)拿出不超過(guò)36000元的費(fèi)用作為運(yùn)費(fèi)，乙果園今年預(yù)計(jì)拿出不超過(guò)50000元的費(fèi)用作為運(yùn)費(fèi)，在這種情況下，甲果園運(yùn)往A倉(cāng)庫(kù)多少噸時(shí)，才能使兩果園的運(yùn)費(fèi)之和最?。坎⑶蟪鲎钚≈担咀兪?-2】黨中央提出構(gòu)建“國(guó)內(nèi)國(guó)際雙循環(huán)”新發(fā)展格局．某物流公司承接A、B兩種出口貨物的運(yùn)輸業(yè)務(wù)，已知2021年3月份A貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)為70元/噸，B貨物運(yùn)費(fèi)單價(jià)為40元/噸，共收取運(yùn)費(fèi)180000元；4月份由于油價(jià)下調(diào)，運(yùn)費(fèi)單價(jià)下降為：A貨物50元/噸，B貨物30元/噸；該物流公司4月承接的兩種貨物的數(shù)量與3月份相同，4月份共收取運(yùn)費(fèi)130000元．（1）該物流公司3月份運(yùn)輸兩種貨物各多少噸？（2）該物流公司預(yù)計(jì)5月份運(yùn)輸這兩種貨物共3600噸，且A貨物的數(shù)量不大于B貨物的2倍，在運(yùn)費(fèi)單價(jià)與4月份相同的情況下，該物流公司5月份最多將收到多少運(yùn)費(fèi)？題型4：支付方案4.某兒童娛樂(lè)項(xiàng)目推出兩種付費(fèi)方式.方式一：先購(gòu)買會(huì)員證，每張會(huì)員證100元，只限本人憑證娛樂(lè)，每次再付費(fèi)4元；方式二：不購(gòu)買會(huì)員證，每次付費(fèi)8元.設(shè)小華計(jì)劃今年娛樂(lè)次數(shù)為x（x為正整數(shù)）（1）根據(jù)題意，填寫下表：今年娛樂(lè)次數(shù)51020?x方式一的總費(fèi)用（元）120140?方式二的總費(fèi)用（元）4080?（2）若小華計(jì)劃今年娛樂(lè)的總費(fèi)用為192元，選擇哪種付費(fèi)方式，他娛樂(lè)的次數(shù)比較多？（3）當(dāng)x>20時(shí)，小華選擇哪種付費(fèi)方式更合算？并說(shuō)明理由【變式4-1】為提倡“雙減”政策，豐富學(xué)生在校期間的體育活動(dòng)，某學(xué)校決定到商場(chǎng)采購(gòu)一批體育用品，恰逢甲、乙兩商場(chǎng)都有優(yōu)惠活動(dòng)，甲商場(chǎng)：所有商品均打八折；乙商場(chǎng)：一次性購(gòu)買不足200元時(shí)不優(yōu)惠，若超過(guò)200元，則超過(guò)的部分打七折，設(shè)購(gòu)買體育用品總價(jià)為x元，甲商場(chǎng)實(shí)付費(fèi)用為y甲元，乙商場(chǎng)實(shí)付費(fèi)用y乙元．（1）請(qǐng)分別寫出甲商場(chǎng)實(shí)付費(fèi)用y甲，乙商場(chǎng)實(shí)付費(fèi)用y乙與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，幫助負(fù)責(zé)采購(gòu)的老師計(jì)算一下，所選商品的總價(jià)為多少元時(shí)，甲、乙商場(chǎng)的實(shí)付金額一致．【變式4-2】甲、乙兩家旅行社推出家庭旅游優(yōu)惠活動(dòng)，兩家旅行社的票價(jià)均為每人90元，但優(yōu)惠的辦法不同．甲旅行社的優(yōu)惠是：全家有一人購(gòu)全票，其余人半價(jià)優(yōu)惠；乙旅行社的優(yōu)惠是：全家按六折優(yōu)惠．設(shè)某一家庭共有x人，甲、乙兩家旅行社的收費(fèi)分別是y1、y2元．（1）求y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)根據(jù)不同家庭的人數(shù)情況，說(shuō)明選擇哪家旅行社的費(fèi)用較低？題型5：銷售方案5.某種優(yōu)質(zhì)蜜柚，投入市場(chǎng)銷售時(shí)，經(jīng)調(diào)查，該蜜柚每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）某農(nóng)戶今年共采摘該蜜柚4500千克，其保質(zhì)期為30天，若以14元/千克銷售，問(wèn)能否在保質(zhì)期內(nèi)銷售完這批蜜柚？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-1】為響應(yīng)政府號(hào)召，某地水果種植戶借助電商平臺(tái)，在線下批發(fā)的基礎(chǔ)上同步在電商平臺(tái)線上零售水果．已知線上零售200kg、線下批發(fā)400kg水果共獲得18000元；線上零售50kg和線下批發(fā)80kg水果的銷售額相同．（1）求線上零售和線下批發(fā)水果的單價(jià)分別為每千克多少元？（2）該種植戶某月線上零售和線下批發(fā)共銷售水果4000kg，設(shè)線上零售mkg，獲得的總銷售額為w元：①請(qǐng)寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)線上零售和線下批發(fā)的數(shù)量相等時(shí)，求獲得的總銷售額為多少？【變式5-2】某工廠的銷售部門提供兩種薪酬計(jì)算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪為3000元，每銷售一件商品另外獲得15元的提成；薪酬方式二：無(wú)底薪，每銷售一件商品獲得30元的提成．設(shè)銷售人員一個(gè)月的銷售量為x（件），方式一的銷售人員的月收入為y1（元），方式二的銷售人員的月收入為y2（元）．（1）請(qǐng)分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）哪種薪酬計(jì)算方式更適合銷售人員？題型6：利潤(rùn)方案6.某經(jīng)銷商在生產(chǎn)廠家訂購(gòu)了兩種暢銷的粽子，兩種粽子的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：類別價(jià)格A種B種進(jìn)貨價(jià)（元/盒）2530銷售價(jià)（元/盒）3240（1）若經(jīng)銷商用1500元購(gòu)進(jìn)A，B兩種粽子，其中A種的數(shù)量是B種數(shù)量的2倍少4盒，求A，B兩種粽子各購(gòu)進(jìn)了多少盒？（2）若經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A種“粽子”的數(shù)量不少于B種“粽子”數(shù)量的2倍，且計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種“粽子”共60盒，經(jīng)銷商該如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能使銷售完后獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？【變式6-1】俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)仍在繼續(xù)，人們對(duì)各種軍用裝備倍感興趣，某商家購(gòu)進(jìn)坦克模型（記作A）和導(dǎo)彈（記作B）兩種模型，若購(gòu)進(jìn)A種模型10件，B種模型5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種模型4件，B種模型3件，需要550元．（1）求購(gòu)進(jìn)A，B兩種模型每件分別需多少元？（2）若銷售每件A種模型可獲利潤(rùn)20元．每件B種模型可獲利潤(rùn)30元．商店用1萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)模型，且購(gòu)進(jìn)A種模型的數(shù)量不超過(guò)B種模型數(shù)量的8倍，設(shè)總盈利為W元，購(gòu)買B種模型b件，請(qǐng)求出W關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)b為何值時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，并求出最大值．【變式6-2】某店銷售甲、乙兩種特價(jià)商品，兩種商品的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示：甲商品乙商品進(jìn)價(jià)（元/件）355售價(jià)（元/件）458該店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲商品x件，甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購(gòu)進(jìn)乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的3倍，當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件時(shí)，可使得甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？一、單選題1．如圖，甲乙兩人以相同的路線前往距離單位的培訓(xùn)中心參加學(xué)習(xí)，圖中，分別表示甲乙兩人前往目的地所走的路程(千米)隨時(shí)間(分)變化的函數(shù)圖象，以下說(shuō)法：①乙比甲提前12分鐘到達(dá)②甲平均速度為0.25千米/小時(shí)③甲、乙相遇時(shí)，乙走了6千米④乙出發(fā)6分鐘后追上甲，其中正確的是()A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④2．油箱中存油20升，油從油箱中均勻流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩余油量Q(升)與流出時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系是(

)A．Q＝0.2t B．Q＝20﹣0.2tC．t＝0.2Q D．t＝20﹣0．2Q3．一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發(fā)到乙港，行駛過(guò)程隨時(shí)間變化的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．輪船的速度為20千米/小時(shí) B．快艇的速度為千米/小時(shí)C．輪船比快艇先出發(fā)2小時(shí) D．快艇比輪船早到2小時(shí)4．某地海拔高度與溫度的關(guān)系可用來(lái)表示（其中溫度單位為，高度單位為千米），則該地區(qū)海拔高度為2000米的山頂上的溫度是（

）A． B． C． D．5．甲、乙兩人從科技館出發(fā)，沿相同的路線分別以不同的速度勻速跑向極地館，甲先跑一段路程后，乙開(kāi)始出發(fā)，當(dāng)乙超出甲150米時(shí)，乙停在此地等候甲，兩人相遇后乙又繼續(xù)以原來(lái)的速度跑向極地館.如圖是甲、乙兩人在跑步的全過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程y（米）與甲出發(fā)的時(shí)間x（秒）的函數(shù)圖象.則下列四種說(shuō)法：①甲的速度為1.5米/秒；②a=750;③乙在途中等候甲100秒;④乙出發(fā)后第一次與甲相遇時(shí)乙跑了375米.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題6．梯形上底的長(zhǎng)是x，下底的長(zhǎng)是15，高是6，梯形面積y與上底長(zhǎng)x之間的關(guān)系式是_______7．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，將沿x軸向右平移后得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．8．今年清明節(jié)期間，為提倡文明、環(huán)保祭祖，某煙花銷售商擬今年不再銷售煙花爆竹，改為銷售鮮花．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四種鮮花組合比較受顧客的喜愛(ài)，于是制定了進(jìn)貨方案，其中甲、丙的進(jìn)貨量相同，乙、丁的進(jìn)貨量相同；甲與丁單價(jià)均20元/束，乙、丙的單價(jià)均為40元/束，且甲、乙的進(jìn)貨總價(jià)比丙、丁的進(jìn)貨總價(jià)多560元．由于年末資金周轉(zhuǎn)緊張，所以臨時(shí)決定只購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種組合，甲、乙的進(jìn)貨量與原方案相同，且甲、乙的進(jìn)貨總量不超過(guò)400束，則該銷售商最多需要準(zhǔn)備____元進(jìn)貨資金．三、解答題9．某學(xué)校STEAM社團(tuán)在進(jìn)行項(xiàng)目化學(xué)習(xí)時(shí)，根據(jù)古代的沙漏模型（圖1）制作了一套“沙漏計(jì)時(shí)裝置”，該裝置由沙漏和精密電子秤組成，電子秤上放置盛沙容器．沙子緩慢勻速地從沙漏孔漏到精密電子稱上的容器內(nèi)，可以通過(guò)讀取電子秤的讀數(shù)計(jì)算時(shí)