八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)17.2勾股定理的逆定理（解析版）

17.2勾股定理的逆定理互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.注意：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱(chēng)它為假命題.題型1：互逆命題1.（2021八下·武侯期中）下列命題的逆命題為假命題的是（）A．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方B．若一個(gè)三角形的三邊相等，則它的三個(gè)角也相等C．若c＝d，則（a﹣b）c＝（a﹣b）dD．兩直線平行，同位角相等【答案】C【解析】【解答】解：A、逆命題是“如果一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于另一邊的平方，這個(gè)三角形就是直角三角形”，是真命題，錯(cuò)誤；

B、逆命題是“若一個(gè)三角形的三個(gè)角相等，則它的三邊相等”，是真命題，錯(cuò)誤；

C、逆命題是“若（a﹣b）c＝（a﹣b）d，則c＝d”，∵a-b=0時(shí)不成立，是假命題，正確；

D、逆命題是“同位角相等，兩直線平行”，是真命題，錯(cuò)誤；

故答案為：C.

【變式1-1】下列命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等；④垂線段最短．其中（）A．①④是真命題 B．①③是真命題C．②③是真命題 D．①②④是真命題【答案】A【解析】【解答】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；該命題符合題意，②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；該命題不符合題意，應(yīng)改為：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等；該命題不符合題意，應(yīng)改為：兩直線平行，同位角相等；④垂線段最短；該命題符合題意；故答案為：A

【分析】根據(jù)平行線的判定、同位角的定義逐項(xiàng)判斷即可。【變式1-2】（2021八上·西湖期中）命題“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是，逆命題是命題（填“真”或“假”).【答案】?jī)蓚€(gè)角相等三角形是等腰三角形；真【解析】【解答】解：因?yàn)樵}的題設(shè)是：“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個(gè)三角形兩底角相等”，所以命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是“兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形”，是真命題.故答案為：兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形，真.【分析】根據(jù)逆命題的定義：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題，原命題的條件“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個(gè)三角形兩底角相等”，互換即可得解，然后結(jié)合等腰三角形的判定定理進(jìn)行判斷.勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.題型2：勾股定理的逆定理2.下列數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)是（）A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算分析，從而得到答案．【解答】解：A、12+12＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、32+52≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)正確；D、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C【變式2-1】（2022七上·招遠(yuǎn)期末）已知△ABC的三邊為a，b，c，下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）．A．a(chǎn)=3，b=2，c=5 B．a(chǎn)=40，b=50，C．a(chǎn)=54，b=1，c=34 D．a(chǎn)=【答案】B【解析】【解答】解：A.∵a=3，b=2，c=5∴∴∴△ABC為直角三角形，不符合題意，B.∵a=40，b=50，c=60，c∴∴△ABC不是直角三角形，符合題意，C.∵a=54，b=1∴∴∴△ABC為直角三角形，不符合題意，D.∵a=41，b=4，∴∴∴△ABC為直角三角形，不符合題意，故答案為：B

【分析】利用勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可?！咀兪?-2】（2022八下·承德期末）滿足下列條件的三邊長(zhǎng)為a、b、c的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=aC．∠C=∠B-∠A D．∠A【答案】D【解析】【解答】解：A.∵b2=a2B.∵a：b：c=3：4C.∵∠C=∠B-∠A，∴∠C+∠A=∠B=90D.∵∠A：∠B：∠C=3故答案為：D．

【分析】結(jié)合勾股定理的逆定理，即可判斷A和B為正確；由有一個(gè)角為直角的三角形為直角三角形，判定C和D兩個(gè)選項(xiàng)。如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.題型3：判定三邊能否構(gòu)成三角形（具體數(shù)值、比值或字母參數(shù)）3.在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，a=32，b=52【答案】解：△ABC是直角三角形，∠B是直角．理由：

因?yàn)閍2+c2=(32)2+2=254，b2=(52)2=254，

所以a2+c2=b【解析】【分析】已知三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理推出△ABC是以∠B為直角的直角三角形即可.【變式3-1】（2021八下·云浮期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且CF＝1，判斷△AEF是不是直角三角形？試說(shuō)明理由．【答案】解：△AEF是直角三角形．理由：∵正方形的邊長(zhǎng)為4，E是BC的中點(diǎn)，CF＝1，∴DF＝3，CE＝BE＝2．由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2＝16+9＝25，EF2＝CE2+CF2＝4+1＝5，AE2＝AB2+BE2＝16+4＝20，∴AF2＝EF2+AE2，∴△AEF為直角三角形．【解析】【分析】先求出DF＝3，CE＝BE＝2，再利用勾股定理證明求解即可?！咀兪?-2】（2022八上·嘉興期中）已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中a=m-n，b=2mn，c=m+n，且m>n>0【答案】解：∵△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，a2+b2=∴a∴△ABC是直角三角形.【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2，c2=(m+n)2，然后結(jié)合勾股定理逆定理進(jìn)行解答.【變式3-3】已知△ABC的三邊a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）題的結(jié)論，寫(xiě)出兩個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)，要求它們的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)．【分析】（1）知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；（2）依據(jù)m＞1，a，b，c均為正整數(shù)，即可得到直角三角形的邊長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ABC的三邊a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，而當(dāng)m＞1時(shí)，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）當(dāng)m＝2時(shí)，直角三角形的邊長(zhǎng)為3，4，5；當(dāng)m＝3時(shí)，直角三角形的邊長(zhǎng)為8，6，10（答案不唯一）勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.注意：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；勾股數(shù)的求法：如果a為一個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).題型4：勾股數(shù)及規(guī)律問(wèn)題4.下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；B、∵32+42＝52，∴這組數(shù)是勾股數(shù)；C、∵1.52+22＝2.52，但這三個(gè)數(shù)不都是整數(shù)，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；D、∵52+102≠122，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)．故選：B【變式4-1】若3、4、a為勾股數(shù)，則a的相反數(shù)的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)求解即可．【解答】解：∵3、4、a為勾股數(shù)，∴a＝＝5，∴a的相反數(shù)為﹣5，故選：A【變式4-2】觀察右面幾組勾股數(shù)，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并尋找規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：，第n組勾股數(shù)是．【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴第⑤組勾股數(shù)為2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61，第n組勾股數(shù)是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．故答案為：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1【變式4-3】滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．若正整數(shù)a，n滿足a2+n2＝（n+1）2，這樣的三個(gè)整數(shù)a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我們稱(chēng)它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)”，當(dāng)n＜150時(shí)，共有組這樣的“完美勾股數(shù)”．【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8個(gè)，可得共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”．【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8個(gè)，∴共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”．故答案為：8題型5：勾股定理逆定理的應(yīng)用5.（2022八下·老河口期中）某小區(qū)有一塊四邊形空地ABCD（如圖所示），為了美化小區(qū)環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在空地上鋪上草坪，經(jīng)測(cè)量∠A=90°，AB=20米，BC=24米，CD=7米，AD=15米，若鋪一平方米草坪需要25元，鋪這塊空地需要投入多少錢(qián)？【答案】解：如下圖所示，連接BD.∵∠A=90°，AB=20米，AD=15米，∴BD=AB2∵BC=24米，CD=7米，25∴BD∴∠C=90°.∴S△BCD∴S四邊形ABCD=S△ABD∵鋪一平方米草坪需要25元，∴鋪這塊空地需要投入的費(fèi)用為234×25=5850元.答：鋪這塊空地需要投入5850元.【解析】【分析】連接BD，先求出△ABD的面積，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理逆定理求出∠C=90°，再求出△BCD的面積，從而求出四邊形ABCD的面積，再根據(jù)鋪草坪的單價(jià)即可求出鋪這塊空地需投入的費(fèi)用即可.【變式5-1】（2022八下·建昌期末）在如圖所示的四邊形草坪中，∠ADC=90°，CD=12m，AD=9m，AB=36m，BC=39m，求這塊草坪的面積．【答案】解：如圖所示，連接AC，∵∠ADC=90°，∴在Rt△ACD中，AC=A∵AC∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC=90°，∴S四邊形ABCD∴這塊草坪的面積為216平方米．【解析】【分析】連接AC，先利用勾股定理證明△ABC是直角三角形，再利用三角形的面積公式和割補(bǔ)法求解即可?！咀兪?-2】（2022八上·仁壽月考）如圖，在五邊形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=1，BC=2，CD=25，DE=3，AE=4，求五邊形ABCDE【答案】解：連接AC、AD，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B=90°，∠E=90°，∴AB2+B∵AB=1，BC=2，DE=3，AE=4，∴12+∴AC=5，AD=5∵CD=25∴AC∴∠ACD=90°，∴五邊形ABCDE的面積==1【解析】【分析】連接AC、AD，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷∠ACD=90°，根據(jù)五邊形ABCDE的面積=S【變式5-3】如圖，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）試說(shuō)明AD⊥BC；（2）試求點(diǎn)D到直線AC的距離．【分析】（1）根據(jù)已知條件推知AD2+BD2＝AB2，然后利用勾股定理的逆定理推得結(jié)論；（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)度，由三角形的面積公式來(lái)求點(diǎn)D到直線AC的距離．【解答】解：（1）∵AD2+BD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）∵∠ADB＝90°，且點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，∴∠ADC＝90°，∴由勾股定理得：AC＝＝＝4，∴點(diǎn)D到直線AC的距離為6×2÷2×2÷4＝3題型6：勾股定理逆定理探究問(wèn)題6.（2023八上·渠縣期末）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn).（1）已知M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，則點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝14，AM＝4，求BN的長(zhǎng).【答案】（1）解：點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn).理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，∴點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)；（2）解：設(shè)BN＝x，則MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，依題意MN2＝AM2+NB2，即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，依題意BN2＝AM2+MN2.即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8.綜上所述，BN＝4.2或5.8.【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)BN＝x，則MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，分類(lèi)討論：①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，分別根據(jù)勾股定理建立方程，求解即可得出答案.【變式6-1】（2022八下·濟(jì)南期末）先閱讀下面的材料，再解決問(wèn)題：因式分解多項(xiàng)式：am+an+bm+bn，先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出a；把它的后兩項(xiàng)分成一組，并提出b：得：a（m+n）+b（m+n）再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．這種因式分解的方法叫做分組分解法．請(qǐng)用上面材料中提供的方法解決問(wèn)題：（1）將多項(xiàng)式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；（2）若△ABC的三邊a、b、c滿足條件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，試判斷△ABC的形狀．【答案】（1）解：ab-ac+==a=(（2）解：由a4得(a即(a∵作為三角形的邊長(zhǎng)，有a2∴a2即a2∴△ABC是直角三角形．【解析】【分析】（1）利用分組分解法分解因式即可；

（2）先求出(a2+【變式6-2】（2022八下·巴州期中）閱讀下列內(nèi)容，設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三邊長(zhǎng)間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀；①若a2=b2+c2則該三角形是直角三角形例如一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6則最長(zhǎng)邊是6，62=36<4（1）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是2，3，4，則該三角形是三角形（2）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是3，4，x且這個(gè)三角形是直角三角形則x的值為（3）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為m2-n【答案】（1）鈍角（2）5或7（3）解：若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是m2-n∵m2+n22＞m∴這個(gè)三角形是直角三角形.【解析】【解答】解：（1）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是2，3，4，則該三角形是鈍角三角形；理由如下：∵22+32＜42，∴該三角形是鈍角三角形；故答案為鈍角；（2）若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是3，4，x且這個(gè)三角形是直角三角形，則x的值為5或7；理由如下：①當(dāng)x為斜邊時(shí)，x=3②當(dāng)x為直角邊時(shí)，斜邊為4，x=4綜上所述：x的值為5或7；【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)可得22+32＜42，據(jù)此可判斷出三角形的形狀；（2）分x為斜邊；x為直角邊，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）結(jié)合勾股定理逆定理判斷即可.一、單選題1．（2021八上·余杭期中）三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足(a+b)2A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】C【解析】【解答】解：∵(a+b)2∴a2+b2=c2．因?yàn)閍、b、c，為三角形的三邊長(zhǎng)，所以為直角三角形．故答案為：C．【分析】由已知等式整理得出a2+b2=c2，則由勾股定理的逆定理判定該三角形為直角三角形.2．（2020八上·德化月考）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．7，8，9 B．6，8，11 C．5，12，14 D．3，4，5【答案】D【解析】【解答】A、∵72+82≠92，∴此選項(xiàng)不符合題意；B、∵62+82≠112，∴此選項(xiàng)不符合題意；C、∵52+122≠142，∴此選項(xiàng)不符合題意；D、∵32+42=25=52=25，∴此選項(xiàng)符合題意；故答案為：D

【分析】利用勾股定理逆定理逐項(xiàng)判定即可。3．（2020八下·潮南月考）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）A．1，1，2 B．1.5，2，2C．7，24，25 D．6，12，13【答案】C【解析】【解答】A、12B、1.52C、72D、62+12故答案為：C．【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義“勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)”即可得．4．（2021八上·成都月考）如圖所示，將一根長(zhǎng)為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長(zhǎng)為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12【答案】B【解析】【解答】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當(dāng)筷子與杯底直徑及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖所示：此時(shí)，AB＝AC2+B∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故答案為：B.【分析】當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，h最大＝24-12＝12cm．當(dāng)筷子與杯底直徑及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，利用勾股定理求出AB的值，然后求出h的最小值，進(jìn)而可得h的范圍.5．（2020八上·沈陽(yáng)月考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，下列條件中，能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝13，b＝14，c＝1C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)＝3，b＝7，c＝2【答案】D【解析】【解答】A.(1B.a＝b，∠C＝45°，不是直角三角形，故B錯(cuò)誤；C.最大角∠C＝180°×5D.(7故答案為：D.【分析】選項(xiàng)A、D根據(jù)勾股定理逆定理解題；選項(xiàng)B無(wú)法判斷是否是直角三角形；選項(xiàng)C根據(jù)三角形內(nèi)角和180°解題.6．（2020八上·臨川月考）三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，且滿足(a-b)2A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】C【解析】【解答】解：由(a-b)2=c即a2∵a,b,c為三角形的三邊長(zhǎng)，∴這個(gè)三角形是直角三角形，故答案為：C．

【分析】先化簡(jiǎn)，再利用勾股定理的逆定理判斷即可。二、填空題7．（2022八下·黔西月考）如圖，一棵垂直于地面的大樹(shù)在離地面3米處折斷，樹(shù)的頂端落在離樹(shù)干底部4米處，那么這棵樹(shù)折斷之前的高度是米.【答案】8【解析】【解答】解：如下圖.由題意得：AC=4米，BC=3米，∠ACB=90°，∴折斷的部分AB的長(zhǎng)為：AC∴折斷前高度為5+3=8（米）.故答案為：8.【分析】根據(jù)勾股定理算出折斷部分AB的長(zhǎng)，再利用AB+BC即可算出折斷前的高度.8．（2020八上·儀征月考）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面圓的周長(zhǎng)是8，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是.【答案】5【解析】【解答】解：圓柱側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，AC為最短距離，則BC=12∵AB=3，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC∴AC=即：爬行的最短距離為5.【分析】首先將圓柱側(cè)面展開(kāi)，即可得出最短距離為展開(kāi)后AC的距離，根據(jù)勾股定理即可求出AC，即最短距離.9．若正整數(shù)a，n滿足a2+n2=(n+1)2，這樣的三個(gè)整數(shù)a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我們稱(chēng)它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)"．當(dāng)n<150時(shí)，共有組“完美勾股數(shù)"．【答案】8【解析】【解答】解∵n<150，a2=(n+1)2-n2=2n+1，∴a2<301，a2為奇數(shù)，滿足條件的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8個(gè)，共有8組這樣的“完美勾股數(shù)"．故答案為8．【分析】根據(jù)n<150，a2=(n+1)2-n2=2n+1，求解即可。10．（2020八上·富平期末）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長(zhǎng)是cm.【答案】15【解析】【解答】解：由題意可得，當(dāng)展開(kāi)前面和右面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是：(7+5)當(dāng)展開(kāi)前面和上面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是：7當(dāng)展開(kāi)左面和上面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是：5∵15<7∴一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長(zhǎng)是15cm，故答案為：15.【分析】根據(jù)題意，過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的平面展開(kāi)圖分三種情況，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理可以分別求得三種情況下的最短路線，然后比較大小，即可得到A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線，本題得以解決.11．（2020八上·東陽(yáng)期末）如圖，將一根長(zhǎng)度為16cm、自然伸直的彈性皮筋A(yù)B兩端固定在水平的桌面上，然后把中點(diǎn)C豎直向上拉升6cm至點(diǎn)D，則此時(shí)該彈性皮筋被拉長(zhǎng)了cm.【答案】4【解析】【解答】解：由題意，得AD=BD，CD⊥AB，AC=BC=8，∵CD=6∴AD=BD=∴AD+BD=10+10=20∴此時(shí)該彈性皮筋被拉長(zhǎng)了20-16=4cm故答案為：4.【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判定AD=BD，CD⊥AB，AC=BC，然后根據(jù)勾股定理求得AD，即可得解.三、解答題12．（2019八上·畢節(jié)月考）一棵樹(shù)在離地面9米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)根底部12米處，求樹(shù)折斷之前的高度？（自己畫(huà)圖并解答）【答