高數(shù)上映射與函數(shù)

高數(shù)上映射與函數(shù)第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)第2頁,共28頁，2024年2月25日，星期天元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M為數(shù)集表示M中排除0的集;表示M中排除0與負(fù)數(shù)的集.簡(jiǎn)稱集簡(jiǎn)稱元第3頁,共28頁，2024年2月25日，星期天表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間第4頁,共28頁，2024年2月25日，星期天無限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:第5頁,共28頁，2024年2月25日，星期天是B的子集,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱A若且則稱A與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,

若設(shè)有集合記作記作必有第6頁,共28頁，2024年2月25日，星期天定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或第7頁,共28頁，2024年2月25日，星期天二、映射某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.第8頁,共28頁，2024年2月25日，星期天引例2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向y軸投影第9頁,共28頁，2024年2月25日，星期天定義4.設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱

f為從X到Y(jié)的映射,記作元素y稱為元素x在映射f下的像,記作元素x稱為元素y在映射f下的原像.集合X稱為映射f的定義域;Y的子集稱為f的值域.注意:1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.第10頁,共28頁，2024年2月25日，星期天對(duì)映射若,則稱f為滿射;若有則稱f為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f為雙射或一一映射.引例2,3引例2引例2第11頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例1.海倫公式例2.如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射)第12頁,共28頁，2024年2月25日，星期天X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X上的泛函X(≠

)Xf稱為X上的變換

R

f稱為定義在X上的函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,第13頁,共28頁，2024年2月25日，星期天定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義5.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量第14頁,共28頁，2024年2月25日，星期天(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值定義域?qū)?yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達(dá)式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域?qū)o實(shí)際背景的函數(shù),書寫時(shí)可以省略定義域.對(duì)實(shí)際問題,書寫函數(shù)時(shí)必須寫出定義域；第15頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例4.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域第16頁,共28頁，2024年2月25日，星期天2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)稱為I上的稱為I上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(見P11)第17頁,共28頁，2024年2月25日，星期天(3)奇偶性且有若則稱f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,偶函數(shù)雙曲余弦記第18頁,共28頁，2024年2月25日，星期天又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記說明:給定則偶函數(shù)奇函數(shù)第19頁,共28頁，2024年2月25日，星期天(4)周期性且則稱為周期函數(shù),若稱l為周期(一般指最小正周期).周期為

周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x為有理數(shù)x為無理數(shù)第20頁,共28頁，2024年2月25日，星期天3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中第21頁,共28頁，2024年2月25日，星期天2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)第22頁,共28頁，2024年2月25日，星期天(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,函數(shù)鏈:但可定義復(fù)合函數(shù)時(shí),雖不能在自然域R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當(dāng)改第23頁,共28頁，2024年2月25日，星期天兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):約定:為簡(jiǎn)單計(jì),書寫復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫出其定義域,默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.第24頁,共28頁，2024年2月25日，星期天4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù).例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學(xué),P17–P20)第25頁,共28頁，2024年2月25日，星期天非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)?shù)?/p>