2020屆高考數學二輪復習講練測思想03 數形結合思想（講）（解析）

思想03數形結合思想

釬布考

1.（2016?全國高考真題（文））函數尸"-e3在［-2,2］的圖像大致為（）

【解析】

函數￡々）=2*2-6岡在［_2,2］上是偶函數，其圖象關于y軸對稱，因為/'（2）=8—1,0<8—/<1，所

以排除4B選項；當xe［0,2］時,y，=4x-e”有零點，設為小，當％c（0/。）時,“乃為減函數，當xe（x0,2）

時，f（x）為增函數.故選D

2.（2017?全國高考真題（理））在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD

相切的圓上.若AP=/1AB+〃AD，則；1+〃的最大值為（）

A.3B.272C.75D.2

【答案】A

【解析】

如圖所示，建立平面直角坐標系.

設A（0,l）,B（0,0）,C（2,0）,r>（2,l）,P（x,y）.

2

易得圓的半徑r=7不，即圓C的方程是（x—2）一+丁

uuuUUUUUU1

AP=（x,y-l）,AB=（0-l）,A￡>=（2,0）,若滿足AP=/L43+〃A￡>，

x=2uxx

則《，〃=一,4=1-y,所以4+/z=—y+1,

y-\=-A22

設2=1—丁+1,即:y+l-z=O,點P（x,y）在圓（》一2），;/=1

|2-z|2

x-L<

所以圓心（2,0）到直線一一丁+1—2=0的距離1〈廠，即n一—忑,解得lWz43,

2J-+1-+1

4

所以Z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故選A.

x+2y-4<0

3.（2014?浙江高考真題（理））當實數滿足｛x-y—1W0時,l〈or+y?4恒成立，則實數a的取

x>l

值范圍是.

'3

【答案】

【解析】

作出不等式組表示的區(qū)域如下圖所示的陰影部分區(qū)域,

由圖可知：不等式l4ax+y44在陰影部分區(qū)域恒成立，令2=女+^可知。20，因為當。之0,且

當x=l,y=O時，z=ax+y=a+O=a<（）不能使得1<ar+y<4恒成立；由aNO得z=ax+y在點

（1,0）處取得最小值，即Zmm=ox+y=a,在點（2,1）處取得最大值，即=or+y=2。+1,所以有

3

｛篇“解得1。、.

4.（2017?全國高考真題（文））四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC^-AD,ABAD=NABC=90°.

2

（1）證明：直線8C//平面PAD;

（2）若△PC。面積為2療，求四棱錐P-ABC。的體積.

【答案】（I）見解析（II）

【解析】

（1）在平面48CO內，因為NB/O=N/8C=90°，所以8c〃4D

又BC<2平面PAD、ADu平面PAD,故BCH平面PAD.

（2）取4。的中點仍，連接

由48=BC=???力。及8C〃N48C=90”,

2

得四邊形48CM為正方形，則CA/J.力￡）..

因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面/8CO，平面P/OCI平面ABCD=AD，

所以PM1尸MJ■底面ABCD.

因為CA/u底面488，所以PMJ.CA/,

設8C=x，則CA/=x,CO=&x,PA/=JIx,PC=P￡>=2x，取C。的中點N，連接PN，貝U

PN上CD,所以PN=5&X，

2

因為APCQ的面積為2J7，所以L五xx史~=2出，

22

解得x=—2(舍去)，x=2.

于是AB=BC=2,AD=4,PM=26.

所以四棱錐P力6co的體積/=￡x2(2+4)x2^=4^

32

5.(2013?浙江高考真題(文))(2013?浙江)已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1)

(I)求拋物線C的方程；

(II)過F作直線交拋物線于A、B兩點.若直線OA、OB分別交直線1：y=x-2于M、N兩點，求|MN|

的最小值.

V

(2)當t=-爭寸，|MN|的最小值是2普

【解析】

(I)由題意可設拋物線C的方程為x2=2py(p>0)則賢1,解得p=2,故拋物線C的方程為x?=4y

(II)設A(xi,yi),B(X2,y2).直線AB的方程為y=kx+l

fy=kx+l

由《9消去y,整理得x2-4kx-4=0

J4y

=42

所以X|+X2=4k,X|X2=-4,從而有|xi-(町+乂2)2-4X[X2Vk+l

n2xi

--X2Xi--~S=-^-

由，X[解得點M的橫坐標為XM=----

x.-y._±14-X]

y=x-2X14

同理可得點N的橫坐標為XN=J&-

qx2

|-8^心+]

所以|MN|二技M-XN|=A/^&---4--1=8費-----

4X4x-4(x+x)+1614k-3|

12XjX2t2

令4k-3=t,i不為0,則k=±3

4

一、考向分析:

二、考向解讀

考向一、構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍

典例1.（福建省福州市2019屆高三上學期抽測）如圖，函數〃》）的圖像為兩條射線C4CB組成的折

線，如果不等式/?（為2/一》一￡1的解集中有且僅有1個整數，那么實數a的取值范圍是（)

A.{a|-2<a<-1]B.{a|-2<a<-1}

C.{a|-2<a<2}D.[a\a>-2}

【答案】B

【解析】

根據題意可知"4=一，

J+2,x>0

不等式f(x)-x-a等價于a^x-f(x),

令g(x)=x-x-f^x)

_(x2-3x-2,x<0

Ix2-2zx>0

又g(0)=-2,g(l)=-l,g(-l)=2,

?,?要使不等式的解集中有且僅有1個整數，

則-2WK1,

即a取值范圍是{a|-2WHV1}.

故選：B.

典例2.(2019?寧夏大學附屬中學高三月考(理))已知當0<xW2時，不等式勁上<2a+l-,以恒

x2

成立，則實數。的取值范圍為（)

A.（In2+l,+oo）B.（In2-1,+oo）c.（—,+00）D.（In2-1,0）

2

【答案】B

【解析】

不等式生/<2。+1一；蘇，可看作函數〃力=為竺，g（x）=_ga（x_4）+i,在區(qū)間（0,2］上,

/（%）的圖像在g（%）圖像下方.f（x）=2（1—?”）,所以"》）在（0同上遞增，在（e,+8）上遞減，所以

“X）在x=e時取得極大值也即是最大值，且x>l時，〃x）>0.g（x）圖像過點

（4,1）,/（2）=In2J（2）=上詈，所以過8（2,匕詈）的〃x）的切線方程為

y-ln2=上臂（X-2）,點A（4,1）在切線上,g（x）也過點A（4,l）.畫出/（x）,g（x）在區(qū)間（0,2］上的

圖像如下圖所示，由圖可知，一<。<&8=上詈，解得a>ln2—1.

考向二、構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍

ln（x+l）,x>0

典例3.（2018?山東高考模擬（文））已知函數/（X）='1，若m<〃，且/（/〃）=/（〃）,

-x+l,x<0

12

則〃一機的取值范圍為（）

A.[3-21n2,2)B,[3-21n2,2]C.[f-1,2)D.[e-1,2]

【答案】A

【解析】

作出函數/(x)的圖象，如圖所示，若加<〃，且外加)=/(〃)，

則當ln(x+l)=l時，得x+l=e,即x=e—1,

則滿足。<〃<e-l,-2<m<0,

JJiJln(n+l)=—m+1,即m=ln(〃+l)-2,則〃一加=〃+2—21ri(〃+l),

2

9n_i

設/z(/z)=〃+2-21n(〃+l),0v力We-l,則”(〃)=1+----=---

當〃(九)>0,解得當解得0v〃vl,

當〃=1時，函數力(〃)取得最小值"⑴=l+2—21n(l+l)=3—21n2,

當〃=0時，〃(0)=2—21nl=2；

當72=e-l時，=l+2-21n(e-l+l)=e—1<2,

所以3-2如2〈人〃)<2,即〃—〃7的取值范圍是[3—21n2,2),故選A.

{cr—ab,aWb,

典例4.對于實數。和協定義運算：〃坨=「設氏0=(21-1)*(工一1),且關于x的

[b—ab,a>b.

方程yU)=m(〃7￡R)恰有三個互不相等的實數根為，X2,X3,則為12尤3的取值范圍是.

【答案】―心，0

X-x,x<0,

【解析】由定義可知，Ax)=、作出函數f(x)的圖象，如圖所示.

[―x—x,%>0.

由圖可知，當0〈水;時，f(x)=w(0dR)恰有三個互不相等的實數根小，xz,的

11X-

不妨設汨<X2〈X3,易知上2>0,且*2+X3=2X]=l,，起水].令，4

、求0,

解得X」沙或k(舍去).?/g〈x】<0,〈丁丁丁<0.,答案0

4’24m41J6Pk16

考向三、構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系

典例5.函數/(x)=/^乂的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()

(x+c)~

(A)々>0,b>0,c<0(B)。<0,Z?>0,c>0

(C)Q<0,b>0,c<0(D)a<0,b<0,c<0

【答案】C

【解析】由/(x)='W、及圖象可知，XX-C,-c>0,則c<0；當x=0時，/(0)=4>0,

(x+c)c

b

所以/?>0；當y=0,ax+b-0.所以x=——>0,所以。<0.故a<0,b>0,c<0,選C.

a

考向四、構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式

典例6.(上海市2018-2019學年高二下學期檢測)“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同同一事物從不同

角度看，我們會有不同的認識.請解決以下問題：設函數f(x)=ajc2+(2b+\)x-a-2(a,Z?eR,aW0)在[3,4]

至少有一個零點，則標+從的最小值為

【答案】上

100

【解析】

把等式看成關于a,b的直線方程：(/-1)。+2功+『2=0,

由于直線上一點(a，b)到原點的距離大于等于原點到直線的距離,

lx-2l

即2

1)2+(2x)2

所以"2+/N(常1

+4)2，

x-2

'：x-2+----在［3,4］是減函數，

x-2

55

.*?2H—(］―2H-----<1+5；

2x—2

95

即一金-2+----<6；

2x—2

____i____>_L

故(*-2+，+4)2一10°；

x-2

23

當x=3,a-----,b—----時取等號,

2550

故cr+b1的最小值為---.

100

故答案為：---

100

典例7.(湖北省黃岡市2019屆高三元月調研)關于*的實系數方程必+ax+b0的一個根在(0,1)內,

另一個根在(1,2)內，則a+2b—3的值域為—

【答案】(-5,-2)

【解析】

令f(x)=x2+ax+

由方程必+。*+%=0的一個根在(0,1)內，

另一個根在(L2)內，

'f(0)=b>0

則有(〃1)=l+a+b<0,畫出(a,b)的區(qū)域,

/(2)=4+2a+6>0

如圖所示，△ABC的區(qū)域(不含邊界).

其中，4(-1,0)、8(—2,0)、C(-3,2)，

令z=a+2b-3，

平移z=a+2b-3，

當a=-2,b=0時，Z=(-2)-3=-5>取得最小值，

當Q=-3,b=2時，Z=(-3)+2x2-3=-2.取得最大值；

故Q+26-3的值域為(一5,—2)；

故答案為(一5,-2).

考向五、構建立體幾何模型研究代數問題

典例8.(2019?北京高三月考(理))如圖，在菱形ABC。中，ZABC=60°,E,尸分別是邊AB,CO的

中點，現將AABC沿著對角線AC翻折，則直線EF與平面ACD所成角的正切值最大值為()

B

A.72B.—C.—D.—

332

【答案】D

【解析】

如圖，

以AC的中點0為坐標原點，建立空間直角坐標系，設二面角B-AC-O為6,可證NBQD=6，設

棱形的邊長為4,則A（0,—2,0）,5（273cos^,0,273sin0）,E（V3cos^,-1,73sin,C（0,2,0）,

O（260,0）,F（^,l,0）

.1,EE=（Gcose-6,-2,￡sin6）

易知平面ACO的法向量”=（0,0,1）

設直線石廠與平面ACO所成角為a,則

（\n-FE\}3sin2^3sin2^3（l-cos2^）

MMq3（cos^-l）2+4+3sin2010-6cos62（5—3cos6）

i_x2/、

令X€（-U）

3X2—10X+3(3x-l)(x-3)

(3x-5『(3x-5)2

則/'(x)>0時一1<x<；即/(x)在(一1,上單調遞增；

/'(x)<0時g<x<l即/(x)在匕單調遞減:

sin2a_1

tan2a]

/maxcos2a2

V2

.?.(tana)

2

故選：D

典例9.(福建省泉州市2019屆高三1月質檢)類比圓的內接四邊形的概念，可得球的內接四面體的概

念.已知球。的一個內接四面體4BCD中，4BJ.BC，BD過球心0,若該四面體的體積為1，且4B+BC=2,

則球0的表面積的最小值為.

【答案】387r

【解析】

設他結合體積為時,昨申=故”島所以

=X,BC=2-X.B0=R1%(2-01,

00'=i/i=^―,所以BO'=^x2+(2-x)2,結合

8。,2+。。，2=5。2,建立方程,得到4#=品6+2Tzi+4,令

/i(x)=2T2-4x+4,結合二次函數的性質可知以?在(0,1)遞減,(1,2)遞增

令r(x)=，，4n)=必(2-的2,結合復合函數的單調性可知,以力在(0,1)遞增,在(1,2)遞減,而r(x)

始終遞減，故4R2在(0,1)遞減,在(1,2)遞增，故當竄=1,4R2取到最小值為38

所以面積最小值為387r

考向六、構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題

典例10.(2018屆云南省昆明市第一中學高三月考)已知函數f(x)=3X+CO5GX)-11,若兩個正數

a，b滿足f(2a+b)<1,則震的取值范圍是()

A.(0$B.仔+8)C.(谷)D.(-oo,i)u(1,+oo)

【答案】C

【解析】由/1(X)=3x+cos(；；x)-11可得，f'(x)=3--5in(-x)，

即廣(x)>0對xeR恒成立，所以〃戈)在實數R上單調遞增.

因為/'(4)=3x4+85二—11=1，由f(2a+b)<1可得/'(2a+b)<f(4),

2

(2a+&<4

由題意可得Q>0，畫出Q、b的可行域，

b>0

則震可看作區(qū)域內點(a,b)與定點P(—2,—1)的斜率.

4-(-1)_5

直線2a+b=4與橫軸交于點A(2,0)，與縱軸交于點8(0,4),又因為以?=學”=三，kAC

2-(-2)40-(-2)-2

所以以？e(；,：),

故選C.

典例11.(上海市2018-2019學年高二下學期檢測)如圖，已知四面體ABC。中，DA=DBDC=3五

且。A=O8=OC兩兩互相垂直，點。是AABC的中心.

(1)過。作OEL4),求AOEO繞直線。。旋轉一周所形成的幾何體的體積；

(2)將△ZXO繞直線CO旋轉一周，則在旋轉過程中，直線D4與直線BC所成角記為8,求cos。的

取值范圍.

【答案】(1)逑乃：(2)0<cos^<—,

93

【解析】

(I)過E作經計算得。0=指，04=26，OE=2,由此得后”=氈，

3

所以ADEO繞直線DO旋轉一周所形成的幾何體的體積V=；萬(竽)-V6=坐■兀.

(2)過。作OGAC交AB于G，

以。為坐標原點，。尸為x軸，0G為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，

則。(0,。痣),y=f(^-x),c(百3,0),

設A(x,y,0),則BC=(373,-3,0),AD=(-x,-y,6)，所以cos0=由罩,

6V2

在xOy平面上，點A的軌跡方程為x2+y2=U,

令t=6x+丫,將/=Gr+y看作直線y=一Gx+t,

則直線廣一Jix+t與圓x2+y2=12有公共點,

則。=也23

2

所以于是

3

考向七、構建方程模型，求根的個數

典例12.(黑龍江省哈爾濱市第三中學校2019屆高三上期末)已知函數

f(X)=S3X3~x2~3x+2x~5,則函數y=/6?)的零點個數為()

(-log3(x+4),x>5

A.6B.7C.9D.10

【答案】B

【解析】

當T<5時，f'(x)=x2-2x-3=(x+l)(x-3)，

據此可得函數在區(qū)間(一8,-1)上單調遞增，在區(qū)間(—1,3)上單調遞減，在區(qū)間(3,5)上單調遞增,

由函數的解析式易知函數在區(qū)間(5,+8)上單調遞減，

繪制函數圖像如圖所示，

注意到f(-3)<0,/(-2)>0/(0)>0/(1)<0,/(4)<0/(5)>0.

故方程r(t)=0的解：“e(-3,-2),t2e(0,l),t3e(4,5)，

則原問題轉化為求方程rCr)=ti(i=1,2,3)時解的個數之和,

由函數圖像易知滿足題意的零點個數為7個.

本題選擇8選項.

考向八、研究圖形的形狀、位置關系、性質等

典例13.(浙江省2019屆高考模擬卷(二))函數y=(cos2x)?ln|x|的圖像可能是()

【答案】A

【解析】

由題意得函數f(x)=(cos2x)?ln|x|的定義域為(-8,0)u(0,+co),

x)=[cos(-2x)]?ln|-x|=(cos2x)?ln|x|=f(x)?

函數〃x)為偶函數，

???函數圖象關于y軸對稱，故排除C,D.

又當X6(0,1)時，/(X)<0.

因此可排除B.

故選A.

點睛：函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域,

判斷圖象的上下位置.(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱

性.(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項.

典例14.如圖，長方形43C。的邊A5=2,3C=1,。是A3的中點，點P沿著邊BC,CD與D4

運動，記NBOP=x.將動產到A、B兩點距離之和表示為x的函數/(x),則y=/(x)的圖像大致為

()

【答案】B

【解析】由已知得，當點P在邊上運動時，即OKxW工時，PA+PB=Vtan2x+4+tanx；當

4

點尸在CD邊上運動時，即工包,X。巳時，PA+PB=,(——―1)2+1+.(―+1)2+1,當

442\tanxVtanx

龍=工時，PA+PB=20；當點P在邊上運動時，即至萬時，PA+PB=y/tan2x+4-tanx,

24

從點P的運動過程可以看出，軌跡關于直線％=生對稱，且/(?)>/(]),且軌跡非線型，故選B.

考向九、數形結合，根據不等式恒成立求參數或解不等式

3

典例15.(2019?河南省魯山縣第一高級中學高一月考)若關于x的不等式4"—在

上恒成立，則實數a的取值范圍是()

A.Ri]氏N，；[C.g]D.

L4JI4」|_4JI4」

【答案】A

【解析】

由題意得4'--Wlog,x在xG(0,1上恒成立，

2I2」

(113

即當時，函數丫=4'-5的圖象不在y=log.x圖象的上方，

31

由圖知：當a>l時，函數y=4"—5(0<%?5)的圖象在y=log.x圖象的上方;

111

當OVaVl時，log2>-,解得一.

6a24

故選：A.

典例16.(2019?敦煌中學高考模擬(文))已知奇函數/(x)在xNO時的圖象如圖所示，則不等式

4(x)<0的解集為()

A.(1,2)B.(-2,-1)u(l,2)c.(-2,-1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】

Vxf(x)V0則：當x>0時，f(x)<0,結合函數的圖象可得，l<x<2,當xVO時，f(x)>0,

根據奇函數的圖象關于原點對稱可得，-2VxVT,.?.不等式xf(x)<0的解集為(-2,-1)U(1,2).故

答案為(-2,-1)U(1,2).

1.數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形:

一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象

來直觀地說明函數的性質：二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，

形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.

2.運用數形結合思想分析解決問題時;要遵循三個原則：

（1）等價性原則.在數形結.合時，代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現漏洞.有

時，由于圖形的局限性，不能完整的表現數的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，要

注意其帶來的負面效應.

（2）雙方性原則.既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分

析容易出錯.

（3）簡單性原則.不要為了“數形結合”而數形結合.具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值

范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線.

3.數形結合思想在高考試題中主要有以下六個?？键c

（1）集合的運算及Venn圖；

（2）函數及其圖象；

（3）數列通項及求和公式的函數特征及函數圖象；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；

（5）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；

（6）對于研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖象求解（函數的零點、頂點是關

鍵點），做好知識的遷移與綜合運用.

4.數形結合思想常用模型：一次、二次函數圖象；斜率公式；兩點間的距離公式（或向量的模、復數

的模）；點到直線的距離公式等.

5.數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇

特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度.具體操作時，應注意以

下幾點：

（1）準確畫出函數圖象，注意函數的定義域；

（2）用圖象法討.論方程（特別是含參數的方程）的解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首

先.要把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩個

函數的圖象，由圖求解；

（3）在解答題中數形結合思想是探究解題的思路時使用的，不可使用形的直觀代替相關的計算和推理

論證.

典例17.（2019.夏津第一中學高三月考）已知函數/（x）是定義在［T,0）D（0,4］上的奇函數，當

xe(O,4]時，的圖象如圖所示，那么滿足不等式/(x)N3'—1的x的取值范圍是().

A.[-1,-2][2,1]B.[-A-2][0,1]

C.[T-2][2,4]D.[-1,0)[2,4]

【答案】B

【解析】

Q

/(X)為[T,0)u(0,4]上的奇函數，所以如圖，畫出/(X)在[-4,0)的圖象，得點(一2,-1)、點(1.2)

在，(x)上，

畫出y=3'-l的圖象，得到其漸近線為丁=-1,且在第一象限與的圖象交點為(L2),要解不等

式則結合圖象，需f(x)的圖象在y=3,-1圖象的上方，從而解得:XG[-4,-2]U[0,1].

故選：B.

典例18.(2019?甘肅高考模擬(文))定義在R上的偶函數Ax)滿足/(x-D=/(x+l),且當

xef-1,0］時，/(x)=%2,函數g(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，g(x)=lgx,則函數

〃(x)=/(x)-g(x)的零點的的個數是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

由于/(x—l)=/(x+l),所以，函數y=/(x)的周期為2,且函數y=/(無)為偶函數，

由〃(力=0,得出/(x)=g(x),問題轉化為函數y=/(x)與函數y=g(x)圖象的交點個數,作出

函數y=與函數N=g(x)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，00(x)Wl,當％>10時,g(x)=lgx>l,

則函數y=/(x)與函數y=g(x)在(10,+oo)上沒有交點，

結合圖像可知，函數，=/(")與函數，=8(力圖象共有11個交點，故選：C.

m

典例19.(2019?全國高三專題練習(理))已知函數/(x)=xe'—/nr+5(e為自然對數的底數)在

(0,+8)上有兩個零點，則的范圍是()

A.(0,e)B.(0,2e)C.(e,+oo)D.(2e,+oo)

【答案】D

【解析】

jrimI

由/(%)=xex-=0得xe"=mx---=m(x——),

222

當X=L時，方程不成立，即XX4，

22

xex

則機=-T,

h(x)=----/八口1、

設1(%>0且不。不),

x——2

—cx(x-1)(2尤+1)

???x>0且xw,，...由〃(x)=0得X=l,

2

當x>l時，A'(x)>0,函數為增函數，

當0<x<l且xwg時，A'(x)<0,函數為減函數，

則當x=l時函數取得極小值，極小值為//(D=2e,

當0<x<，時，〃(x)<0,且單調遞減，作出函數〃(x)的圖象如圖:

2

要使機=-T有兩個不同的根,

X——

則〃?>2e即可,

即實數m的取值范圍是(2e,T8),

=mx--=m(x--),

22

設g(尤)=xe',/i(x)=m(x--),

g'(x)=ex+xex=(x+l)ex,當尤>0時，g'(x)>0,則g(x)為增函數，

設=-與g(x)=xe",相切時的切點為(a,ae"),切線斜率&=(。+l)e",

則切線方程為y-aea=(a+l)ea(x-a),

當切線過(L,0)時，-aea=(a+1)ea(--a),

22

IlIJ—a=—ciH---—a，即2a2—a—1=0，得a=l或a=—(舍)，則切線斜率攵=(l+l)e=2e,

222

要使g(x)與h{x)在(0,+oo)上有兩個不同的交點,則機＞2e,

即實數m的取值范圍是(2e,+R).

典例20.(2018屆湖北省荊州中學、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶撁恕备呷?月聯考)

2x+y>2

尸(乂))滿足｛%-丁一140,則/+尸的最小值為.

x+2y<4

4

【答案】-

5

X2+y2的表示可行域上的點到原點的距離的平方，其最小值顯然是原點到直線AC距離的平方:

0+0-2?4

,4+1J5

4

故答案為