數(shù)理方程第二版課后習(xí)題答案

第一章曲線論

§1向量函數(shù)

1.證明本節(jié)命題3、命題5中未加證明的結(jié)論。

略

2.求證常向量的微商等于零向量。

證：設(shè)F=展，twI為常向量，因為

r(t+dt)-r(t)_

lim------=0

ZtGE。At

所以聲=0。證畢

3.證明

d件)、=叫Mt)-F(t)d(t)

證：

色㈣

小年⑹at

講(t)/(t)一五。，(t)

PW

證畢

4.利用向量函數(shù)的泰勒公式證明：如果向量在某一區(qū)間內(nèi)所有的點其微商為零,

則此向量在該區(qū)間上是常向量。

證：設(shè)F=f(t)={x(。y(t)式。},tw/為定義在區(qū)間［上的向量函數(shù)，因為

汽t)在區(qū)間I上可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)量函數(shù)Mt),和工?在區(qū)間I上可導(dǎo)。所以，

vtoGI,根據(jù)數(shù)量函數(shù)的Lagrange中值定理，有

%⑴=x(tQ)+/⑸(t-t0)

鞏0=式、)+G-%)

式t)=式3+/⑻a-%)

其中無，&2,%介于電與弋之間。從而

?=={x(t)y(t)式切

=+善炳)jKt(j)+火&-3式％)+￡(班W-3:

=任(城式城式3}十日伊。/W4%)壽-%)

=石+武t-10)

上式為向量函數(shù)的0階Taylor公式，其中仔=0'(%)4%)，(式。如果在

區(qū)間I上處處有機(jī)(t)={x'(t)yl(t)z(t)}=0,則在區(qū)間I上處處有

k'(t)=y'(t)=。，從而5={*'(%)才(")}=0,于是齊=%。

證畢

5.證明笊=六t)具有固定方向的充要條件是手X9=0。

證：必要性：設(shè)m=六。具有固定方向，則亍=汽?？杀硎緸?==p(t)羨

其中p(t)為某個數(shù)量函數(shù)，[為單位常向量，于是MxG=p(t)d(t)\x2=。。

充分性：如果FxF=o,可設(shè)7wo,令F=F(t)=其中Q(t)為某個數(shù)

量函數(shù)，代。為單位向量，因為F=p'G)3(t)+p(t)M；。，于是

rxr*=oxk'COKt)+pGW(t)]=。tp2(t)[s(t)Xa1(t)]=0

因為干W。，故p2(t)W0,從而Kt)X矛(t)=0T[式t)X3<t)]2=0T

心潞黑臥。T；心』”鏟…小)=0"(好

為常向量，于是，r==即工=汽?具有固定方向。證畢

6.證明后=之。平行于固定平面的充要條件是⑦汽聲')=0。

證：必要性：設(shè)亍=穴土)平行于固定平面，則存在一個常向量落使得丙=。，對

此式連續(xù)求導(dǎo)，依次可得而'=。和pr"=0,從而F,rf,和產(chǎn)共面，因此

(r,r*,r")=0。

充分性：設(shè)任,鵑聲)=。，即&X聲""=0,其中，如果亍X聲=0,根據(jù)第5題

的結(jié)論知，彳=具有固定方向，則彳=F任)可表示為不=F(t)=p(t)3,其中

p(t)為某個數(shù)量函數(shù)，Z為單位常向量，任取一個與Z垂直的單位常向量E,于是

作以書=3x寺為法向量過原點的平面！r,則F平行于殂。如果京xFw。，則F與產(chǎn)不

共線，又由苗己聲)=0可知，?,聲，和”共面，于是和=口?"十年(。聲，

其中p(t),中(t)為數(shù)量函數(shù)，令7=rXrf,那么i?=FXr"=<p(t)n,這說明品與

濟(jì)共線，從而濟(jì)X轉(zhuǎn)=。，根據(jù)第5題的結(jié)論知，屬具有固定方向，則咒=云(?？?/p>

表示為轉(zhuǎn)=武。=？?￡其中雙t)為某個數(shù)量函數(shù)，芯為單位常向量，作以營為

法向量，過原點的平面在，則信平行于需。證畢

§2曲線的概念

1.求圓柱螺線彳={cost,Sint,*在點(1,0,0)的切線與法平面的方程。

解:*={-8111t,CO8t,l},點(1篇,0)對應(yīng)于參數(shù)*=0,于是當(dāng)t=。時,+=[1,0,0),

=[0,14},于是切線的方程為：

X-1y

l

法平面的方程為

y+r=0

2.求三次曲線不=匕，"2,大2)?在點”處的切線和法平面的方程。

解：*=口2蛇3d2},當(dāng)&="時,F=也電/端c蠟},產(chǎn)={%2峋,3c舟,

于是切線的方程為：

x-a_y-bt^CZQ

a2bta3。蛤

法平面的方程為

a(x-ct)+2bta(y-b詔)+3c咯(w-c培)=0

3.證明圓柱螺線F={acost,ashit,bt)的切線和z軸成固定角。

證：F={—a-sintfaccst,b}

令&為切線與w軸之間的夾角，因為切線的方向向量為F={-asintcostrb},s

軸的方向向量為1={0,0，},則

八Fb

cosv=—―3-=,

|河IMVa2+b2

cb

&=arccog-：=

Va2+b2

證畢

4.求懸鏈線i5={a&acosht}(-8vtV+?>)從￡=0起計算的弧長。

解：聲={arasinht}

Va2+(asinht)2dt=a|jcoshtdt=a|sinht|

Q

5.求拋物線了=b/對應(yīng)于一a$#$a.的一段的弧長。

解：y'=2bx

s=J?+y,2dx

=IV1+4b2x2dx=2jV1+4b2x2dx=-J+(2bx)sd(2bx)

=g1bxj1+4rb52+^ln^2bx+4T+4b2%2IE

=a-Vl+4a2產(chǎn)+或屈^2ab+y1+4a2b2

6.求星形線霹=a(5>8t)s,F=a(slnt)a的全弧長。

解：

s=41"J4"+j/2dt=12aI-sintcostdt=6a

JQ/Q

1.求旋輪線*=c(t-skit),y=a(l-co")對應(yīng)于0St￡2IE一段的弧長。

解：

2n「新「

|以―+嚴(yán)dt=v2aVl-aos￡dt=2aIsin-dt=8a

Q

8.求圓柱螺線下={3acost,3asmt,4at}(-sVt<+s)從它與0*y平面的交

點到任意點M(t)的弧長。

解：圓柱螺線孑={3&00$030811104￡14與0”￥平面工=0的交點為（3￡1,0,0）,交

點對應(yīng)的參數(shù)為&=點而4={-3a-sint,3a-GOSt,4a),

s=|J|rf|dt|=|J,32a24da2dt=5afdt=5a|t|

Q

9.求曲線—=38）,2%工=a2在平面》=g與平面y=之間的弧長。

解：取工為曲線參數(shù)，曲線的向量參數(shù)方程為:

a?

E獲

xia2

xia2

1網(wǎng)1=—砂十+—公2

平面￥=申對應(yīng)于參數(shù)*=a,平面尸=9a對應(yīng)于參數(shù)x=3a,

『閡=r（,+梟）曲=以

10.將圓柱螺線于={acosslnt,bt}化為自然參數(shù)表示。

解：rl=(-aslnt,acost,b},因為自然參數(shù)

2222

=式。=1|F|dt=ya+b［由=V'?-+b1其中f泥t<0均可

所以4K,于黑

bs

r=(acosta={acos____==ra-------r，-------y1

rVa2+b2Va4+

11.求極坐標(biāo)方程？=p(d)給定的曲線的弧長表達(dá)式。

解：極坐標(biāo)方程9=口(0)給定的曲線的方程可化為向量參數(shù)形式:

r=(p(0)cos&p(&)sin處

r1={，(&)cos&-p(&)sin8。'(3)sin8+P(8)cos8}

s=]|河由=/￥[/?伊)產(chǎn)+產(chǎn)面rB>a

*a*n

§3空間曲線

1.求圓柱螺線木={acost,a.ski，bt}在任意點的密切平面的方程。

解：密切平面的方程為

-acostY-asintZ-bt

—asintaco8tb=。

—acost—aslot0

即ab81nt(X-acost)-abcos￡(K-astnt)+a2(Z-bt)=0

2.求曲線R={tsinGtcostfteq在原點的密切平面、法平面、從切平面、切線、

主法線、副法線的方程。

解：r={tslnt,tcost,t

r1={sin14tcost,cost-tsint,(1+t)

r"={2cost—tslut,-2slat—tcost,(2+t)ec}

原點(o,ao)對應(yīng)于參數(shù)t=o,于是在t=o處，

r=(0A0}

r*={0X1}

r"=2{1A1}

r*Xr,r1

[14,-1}

\rlXr"|—歲

6=/Xa=

密切平面的方程為

J+r-z=o

副法線的方程為

-=-=---

11-1

法平面的方程為:

r+z=o

切線的方程為

C11

從切平面的方程為

2X-r+z=o

主法線的方程為

￡_r_z

Q一五一父

3.證明圓柱螺線F={acost,aslnt,bf）的主法線和w軸垂直相交。

證：r={acostrQslntrbt}

l

r={-aslntracostrb}

rn={-acos，—asin,。}

"丙"1帝加一。Slntrtt8s,㈤

FX和1

F=F7^=砂83?

p=yXa={—cost,—sint,0)

一方面，主法線的方程為

X-acost_Y-bsint_2-it

costsint0

另一方面，過圓柱螺線#={aco8t,a8hit,bt)上任意一點M(aco8￡:,aslnjbt)

作平面7r與三軸垂直，無的方程為Z-bt=O,無與w軸的交點為N(0,0*￡),過時與N

的直線顯然與w軸垂直相交，而其方程為

X-acost_Y-bsint_Z-bt

costsint0

這正是主法線的方程，故主法線和囂軸垂直相交。證畢

4.在曲線孑={cosacost,ccsaslnt,tslna}的副法線的正向取單位長，求其端點

組成的新曲線的密切平面。

解：令a=cosa,b-sina,則曲線的方程可表示為：

22

Ctir={acost,asint,bt}ra+b=1

設(shè)G的副法線向量為宜則有

￥=75：—,={bslnt,"bgztro)=1bsln±-bcosta}

『'Xr"lVaa+i>2r

根據(jù)題意，新曲線的方程可表示為

C2：p=r+r={acost+bslnt,a-81nt-bcost,a+bt}

將a=cosa,b=slna代入上式，整理后，得

C2ifi={cos(t-ar),81n(t-a),(slna)t+coscr)

p1={-sln(t—a),cos(t—cr),sina)

n

p={-cos(t-a)r—sln(t—a)r0}

p'Xp"={sinasln(t-a),—sinacos(t—a),l}

于是新曲線Cz的密切平面為：

sina81Mt-a)[X—cos(t—a)]—slnacos(t—a)[V—sina]

4Z—(slna)t-cosa=0

即：

sinasln(t—a)X—sincecos(t—a^Y4-Z=(sincr)t+cosa

5.證明球面曲線的法平面通過球的中心。

證：設(shè)曲線(C):孑=之￡)為球心在原點，半徑為a的球面上的曲線，其中S為自然

參數(shù)。曲線(。上任意一點。(。點的向徑為？)處的基本向量為充J,yo則有

(1)產(chǎn)=a2

上式兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，得

(2)ra=0

設(shè)3為法平面上的點的向徑，則曲線(。上任意一點夕處的法平面的向量方程為

(3)a1(p-的=0

根據(jù)(2)式p=0滿足方程(3),故法平面過原點。證畢

6.證明過原點平行于圓柱螺線F的副法線的直線的軌跡是

2a2a

錐面a(X&+y)=bjo

證：r={acost,asint,fet}

(

r={-aslntracostrb}

,r

r={—acostr—asint,0}

l西西一廣八…，叼

設(shè)過原點(0。0)且與S平行的直線上的點為(無匕力，則直線的方程為

XYZ

bsint-boosta

化為參數(shù)方程，得

(Jr=(hslnt)?

jf=-(bslnt)u

1z=au

則有M(12+〃2)=b2Z2

這說明直線上的點(x,y,z)都在錐面於(爐+/)=//上。證畢

7.求下列曲線的曲率和撓率。

(1)r=(a.cosht,asinh%at),(3)r=(a(3t-ta),3ata,a(3t+ta))

解：對于曲線⑴

r*=(asinht,acosht,a}

r*f={acosht,asinht,0}

/”={asinht,aco-sht,0}

_|r*Xr,e|_1

氏一|刊&—2a(cosht)2

|r(Xr11!1Z*(msht)2

對于曲線⑵

r*=3a(l-13,2t1+12)

r*1=6a(-t,I,6

=6a{-l,0,1)

評Xr*f|_1

|?|3=3a(t2+1-

(聲,〃#“)_1

廿x利|2=3a(t2+I)2

8.給定曲線7=Kco808，Glnt）a,cos2t},求（1）基本單位向量瓦f；（2）

曲率和撓率；（3）驗證伏雷內(nèi)公式。

解：對于給定曲線，有

34.

r=——sin2t[cestr-sint,—

⑵dr=--sln2t(cost,-sintf

?-------5

⑶ds=y(dr)2="|sia2t|dt

.dr34

⑷=s--(wst,-sint,j}

其中，s=±1

-4而d*dt6,e~

(5)a=-=----=slnt,-cost,0)

ds出而25|sdin3t|1'

(6)§=-3-=a{-sint,.-cost,0)

㈤

，、..-43

(7)Y=aX￡=-{cos匕-sint

(8)%=|由=?[

Z5|sin3q

,.Adycfydt8、

(9)y=—=―—―=———~~—{—sint,-cost0)

、八曲dt而25|sin2￡llff

.43

(10)T=-2=-兩而而

根據(jù)⑸(6)(8)式可得者=席,根據(jù)⑹(9)(10)式，可得；=一才，又根據(jù)(6)式,得

*Md^dt2.、

p="T-=rr=TV~,~Z-T{-COSt,sint,0}

dsdtcfs15|sln2tll>

另一方面，根據(jù)(4)(7)(8)(10)式，可得

一2

—ka+T?=—————{—cost,sin01

f5|siu2t[l)

從而，6=-ka+rfo

9.證明：如果曲線的所有切線都經(jīng)過一個定點，則此曲線是直線。

證1：設(shè)曲線(。的向量參數(shù)方程為：r=r(s),其中s為自然參數(shù)。(。上任意一

點。(。點的向徑為3)處的基本向量為品，f,丸因為(。在尸點處的切線都經(jīng)

過一定點Q(Q點的向徑設(shè)為格)，所以另一布與日共線，進(jìn)而有

(1)(彳一3)X星=0

上式兩端關(guān)于S求導(dǎo)并利用Frenct公式，得:

(2)k(r-rQ)X=0

⑵式中的方為（。在。點處的曲率。又（2）式中。，這是因為如果

行一石）X#=0,則齊一年同時與信和戶共線，但這是不可能的，因為金和戶是相互

正交的單位向量。從而根據(jù)⑵式有4=0,即（。是直線。證畢

證2：設(shè)曲線的方程為；=；?）,因為曲線上任一點】的切線經(jīng)過一定點則

r-ro與r共線，但r=（r-ro）,于是r一ro與（r一ro）共線，從而

（r-ro）x（r-ro）'=0,由此可知r-「0具有固定的方向，即廠-與一個常向量p平

行，于是r-ro=/l萬，或r=ro+Xp,這說明曲線上的點r都在以p為方向向量，

過點［的直線上，所以曲線為直線。證畢

10.證明：如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一個定點，則此曲線是平面曲線。

證：設(shè)曲線（Q的向量參數(shù)方程為：r=T（S）,其中￡為自然參數(shù)。曲線（。上任意

一點0（。點的向徑為鈣處的基本向量為落S,我因為我們只研究不含逗留點

的曲線（參見教科書P.31的腳注），即才X?W0,

而

4u?|rXr|

r.XrWO…='-aW0

即（。上任何點的曲率土W。。

設(shè)(。在。點處的密切平面都經(jīng)過一個定點Q(Q點的向徑設(shè)為將)，則于一而為

(。在。點處的密切平面上的一個向量，從而有

(1)=0

(1)式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：

⑵手行一希)情=。

⑵式中的T為(0在。點處的撓率。

由⑵式可知，簾=0或者一%)情=0

但件一%)4學(xué)0,因為如果行一石)情=0結(jié)合(1)式，可知寧一市與糖共線，于是

(3)(r-ib)Xa=0

(3)式兩端關(guān)于5求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：

(4)機(jī)不一石)X，=0

(4)式中的R為(。在。點處的曲率。因為之=0,所以&一%)xB=。,結(jié)合(3)

知不一而同時與厘和。共線，但這是不可能的，因為關(guān)和自是相互正交的單位向量。

這個矛盾說明一而)W0,于是由(2)式可知，只能雷=。，曲線(。是平面曲

線。證畢

11.證明：如果曲線的所有法平面都包含常向量￡則此曲線是平面曲線。

證1:設(shè)曲線(。的向量參數(shù)方程為：r=r(s),其中s為自然參數(shù)。(。上任意一

點。(夕點的向徑為了)處的基本向量為武瓦Fo因為(。在。點處的法平面都

包含常向量"則有

(1)ea=0

注意到，⑴式兩端關(guān)于s從辦到s求積分，得：

(2)s[r(s)-抬>>1=0

(2)式說明曲線(。在以常向量芯為法向量且過點為s。的平面上。證畢

證2:設(shè)曲線(。的向量參數(shù)方程為：r=r(s),其中5為自然參數(shù)。(。上任意一

點。(。點的向徑為的處的基本向量為電，，；o因為我們只研究不含逗留點的

曲線(參見教科書P.31的腳注)，即rXr^O,

而

『。一無=喀1金。

即(Q上任何點的曲率無W。。

因為(。在0點處的法平面都包含常向量/則

(1)表=0

上式兩端關(guān)于s求導(dǎo)并利用Frenct公式，得：

⑵族口=0

因為“不0,所以

⑶9^=0,

結(jié)合⑴式可知[與3共線,從而

⑷3X予=0

(4)式兩端關(guān)于S求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：

(5)raXP=0

(5)式中3X^00,否則，根據(jù)(3)式，=0和3,=0將同時成立，即0既與

3平行，又與？垂直，這是矛盾。于是只能是工=0,所以曲線(。是平面曲線。

證畢

12.證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數(shù)的曲線。

證：設(shè)曲率為常數(shù)笈的空間曲線(。的向量參數(shù)方程為：：？=改5)，其中S為自然參

數(shù)。(。上任意一點。處的基本向量為嬴J，r,曲率半徑為又設(shè)(Q

的曲率中心的軌跡為r,『的曲率記為町根據(jù)題意，r的方程為

(1)$=中十或

⑴式兩邊關(guān)于S求導(dǎo)，得

⑵歹=所『

(3)pn=R(—72g+卡的

⑷式說明『的曲率［也是常數(shù)且E=后。證畢

13.證明曲線(。：■?=Q+3t+2t2,Z-2t+5t2,1-為平面曲線，并求出它

所在平面的方程。

解:

r,=(3+4t,-2+lOt,-2t)

r*f={%10,-2)

F"=fO,0,0}

G護(hù)劑f)

=0

~(PXr")2

由上式可知，(。為平面曲線。

令t=0,則有

r={1,2,1)

r*=岸，-2,0}

r"={4,10,-2}

產(chǎn)=他0r。}

聲X聲=2(2,3,19)

(。所在平面的方程為2(x—1)+3(y-2)+19(r-1)=0o

14.設(shè)在兩條曲線G和Cz的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的切線

平行，證明它們在對應(yīng)點的主法線以及副法線也分別平行。

證：設(shè)曲線，的方程為五=%5),SW4,其中S為q的自然參數(shù)，曲線的方程

為力=年⑶，歹2為，其中京為曲線小的自然參數(shù)。因為所討論的曲線都是正則

曲線，于是曲線q上的點廣和區(qū)間4內(nèi)的參數(shù)s一—對應(yīng)，曲線G上的點Q和區(qū)間與

內(nèi)的參數(shù)§一一對應(yīng)，如果兩條曲線的點尸與。之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，則對應(yīng)

的參數(shù)$與5之間也建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從而

⑴§=虱￡)

設(shè)詼，瓦，和式為曲線C1在點尸處的基本向量，a2,fiz,和克為曲線Cz在點。處

的基本向量，曲線q在點P處的曲率和撓率分別記為方和r,曲線/在點。處的曲

率和撓率分別記人為和獲如果兩條曲線總保持在對應(yīng)點P與。處的切線平行，則

有

⑵a2=晶，其中3=±1

⑵式兩邊關(guān)于手求導(dǎo)，得

(3)礫后=8也

從而，

⑷在=碓)償招

(4)式說明C］和0在對應(yīng)點P與Q處的主法線平行。又因為為=團(tuán)通，由⑵式和

(4)式，得

⑸?"苞通=(3瓢

(5)式說明G和Cz在對應(yīng)點P與6處的副法線平行。證畢

15.設(shè)在兩條曲線q和q的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的主法

線總是相互平行，證明它們在對應(yīng)點的切線成固定角。

證：設(shè)曲線S的方程為匕=之。)，sw其中s為q的自然參數(shù)，曲線&的方程

為年=為⑸，Jez2,其中§為曲線C2的自然參數(shù)。因為所討論的曲線都是正則

曲線，于是曲線q上的點P和區(qū)間4內(nèi)的參數(shù)s一—對應(yīng)，曲線q上的點Q和區(qū)間4

內(nèi)的參數(shù)于一一對應(yīng)，如果兩條曲線的點尸與Q之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，則對應(yīng)

的參數(shù)s與考之間也建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從而

(1)⑶

設(shè)扁，瓦，和西為曲線G在點尸處的基本向量，感，風(fēng)，和張為曲線G在點。處

的基本向量，曲線q在點P處的曲率和撓率分別記為由和5，曲線，在點。處的曲

率和撓率分別記而為和其如果兩條曲線總保持在對應(yīng)點產(chǎn)與。處的主法線平行，

則有

(2)質(zhì)=或.，其中3=±1

根據(jù)(2)式，可得

(3),(?!,否2)=(兩2+詼,(確第=/隔),心?%?(而遇3=°

設(shè)最與局之間的夾角為G,則根據(jù)(3)式,

(4)cos0=?]_?ct2=const

(4)式說明q和q在對應(yīng)點f與Q處的切線成固定角。證畢

16.如果曲線q的主法線是曲線q的副法線，J的曲率和撓率分別為后和客，求證

南=。(區(qū)2+二)其中。是常數(shù)。

證：設(shè)曲線C1的方程為甚=之8),SW6其中F為q的自然參數(shù)，曲線c2的方程

為君=云(可，手64,其中手為曲線G的自然參數(shù)。因為所討論的曲線都是正則

曲線，于是曲線q上的點F和區(qū)間與內(nèi)的參數(shù)s一—對應(yīng)，曲線上的點Q和區(qū)間i2

內(nèi)的參數(shù)$一一對應(yīng)，如果兩條曲線的點尸與Q之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，則對應(yīng)

的參數(shù)§與亨之間也建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從而

(1)9⑸

設(shè)電,禹.，和直為曲線G在點P處的基本向量，a2,#2，和％為曲線q在點＜?處

的基本向量，曲線q在點P處的曲率和撓率分別記為土和j曲線/在點Q處的曲

率和撓率分別記E為和口如果曲線q的主法線是曲線G的副法線，依題意，有下

面兩式成立：

⑵%=8丸其中3=±lo

⑶&=京⑸+?$)氏0)

(3)式兩邊關(guān)于F求導(dǎo)，得

⑷Q償)=金工+琉+t(-呵+而

整理(4)式，可得

⑸詼由-的副司噫膽叱嫡R

利用(2)式，在⑸式兩邊與瓦作內(nèi)積，得

⑹f(新。

⑹式中由于

ds

故￡=0,從而t=o?為常數(shù)，(5)式化為

⑺Q=[a-譴)信)+上償)R=總+凡

⑺式兩邊關(guān)于S求導(dǎo)，得

(8)通(^?)=4A+(JfA-陽)無+成I

因為為=8瓦，上式兩邊同時與房作內(nèi)積，得

(9)函一詔=。

根據(jù)⑺式，(9)式等價于

上"陽匐-了卜催)]=0

即

-ak)-a^2=0

從而，4=Ct(&2+3曰。證畢

17.曲線

r={a(t—sin-cost)f4aco-s-)

在哪些點的曲率半徑最大?

解：解：對于給定曲線，有

(1)/—cost),sint,-2fin=a[2卜—分,2slu^cosy,

⑵2as^tn-{sin—cos——l}dt

2：

(3)dsV(dr)=2^2a\sin|dt

T

(4)a=cos—1)

其中，s=±1

4dadadtstt

⑸a=7T=3777=----------r-{cos-,-sln-,0)

dsdtdsga|sin￡.|22

(6)k=\a\=----------z-

'>8als嗚|

==

RBa|sln^|

⑺Tft/

根據(jù)⑺式，當(dāng)t=(2Af±1>,?=0,±L±2,…時，A=8a最大。

18.已知曲線（Q:孑=丞⑶W上一點的鄰近一點五s+As）,求點?（s+As）

到點火S）的密切平面、法平面的距離（設(shè)⑹在點穴5）的曲率和撓率分別為無和零。）

解：設(shè)曲線（。在點六s）的基本向量分別為法，，和彳，則點F（s+As）到點演工）的

密切平面和法平面的距離分別為

(1)內(nèi)=|y[r(f+AP)-r(s1)]I=|y(亂+#⑶&s?"!?最的￡)+可&N)|

⑵d2=|a[r(p+As)—r(p)]|=\a[r(s)Ls+](￡)△—+,[r(y)+句Asa)|

其中,

因為

F(s)=a,氏s)=?(￡，)=kg,

]=kg+k{—ka+T『)=—k2a十2，十AT?

將它們代入⑴式和⑵式中，得

111

⑶=|—kr&s3+—raA^a|—fchll^la

》J?)！

aa

(3)d2=|Ay-^-fcA?芮&?3|學(xué)|&ff—尚4%3|

19.如果曲線Qr=F(s)為一般螺線，其中s為r的自然參數(shù)。a,人?為C1上

任意一點。處的基本向量，R為G在。處曲率半徑，證明：曲線&:

0=版一JB而

也是一般螺線。

證：曲線心的方程兩邊關(guān)于S求導(dǎo)，得

(1)p1=Aa

⑵p"=Ra-kA

(3)p1xpn=-kft2r

根據(jù)⑴式和(3)式，得

(g習(xí)與-=商=萌

其中a=±1

g-，'x，"-

⑹釬薩k-了

(7)&=向X?2-7?

因為曲線Cl：r=r{s)為一般螺線，故存在一個常向量市使得eP=Q從而,

(e)遍=-前B=。

(8)式說明曲線，也是一般螺線。證畢

20.證明：一條曲線(Q:7=軌$)為一般螺線的充要條件是?點V)=九

證：充分性：如果=。，則曲線(D)：#=齊(5)的撓率為零，(G為平面

曲線，于是存在一個常向量力，使得成=0,但不=&=々無故々前=。，因為我

們只研究不含逗留點的曲線(參見教科書P.31的腳注)，從而★裝0,于是方3=0,

即(。為一般螺線。

必