八年(-)高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細解析(下)

第九章直線、平面和簡單的幾何體

［考試內(nèi)容］

平面及其基本性質(zhì).平面圖形直觀圖的畫法.

平行直線.

直線和平面平行的判定與性質(zhì).直線和平面垂直的判定.三垂線定理及其逆定理.

兩個平面的位置關(guān)系.

空間向量及其加法、減法與數(shù)乘.空間向量的坐標(biāo)表示.空間向量的數(shù)量積.

直線的方向向量.異面直線所成的角.異面直線的公垂線.異面直線的距離.

直線和平面垂直的性質(zhì).平面的法向量.點到平面的距離.直線和平面所成的角.向量

在平面內(nèi)的射影.

平行平面的判定和性質(zhì).平行平面間的距離.二面角及其平面角.兩個平面垂直的判定

和性質(zhì).

多面體.正多面體.棱柱.棱錐.球.

［考試要求］

(1)理解平面的基本性質(zhì)。會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠

畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系.

(2)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；理解直線和平面垂直的概念，掌握

直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理.

(3)理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.

(4)了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念.掌握空間向量的坐標(biāo)運算.

(5)掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)：掌握用直角坐標(biāo)計算空間向量數(shù)量積的

公式；掌握空間兩點間距離公式.

(6)理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念.

(7)掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對于異面直

線的距離，只要求會計算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定

理掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理.

(8)了解多面體、凸多面體的概念.了解正多面體的概念.

(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖.

(10)了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)。會畫正棱錐的直觀圖。

(11)了解球的概念.掌握球的性質(zhì).掌握球的表面積、體積公式.

［八年試題匯編］

選擇題(共22題)

1.【2004年理7】對于直線m、n和平面a,下面命題中的真命題是()

A.如果相ua,“<Z。,根、n是異面直線，那么〃〃a

B.如果加<==,”《。,相、n是異面直線，那么〃與。相交

C.如果加u、n共面，那么機〃”

D.如果加〃、n共面，那么加〃”

■:muoxH—ke是異rati,購衣與。平

行或相交,散播除AE，扶畫直裝ee平行于同一個

平面"?雨E5平行漫相交，/I*D-故玷C.

2.［2005年理11文11］不共面的四個定點到平面a的距離都相等，這樣的平面a共有()

A3個B4個C6個D7個

解：共有7個，它們是由四個定點組成的四面體的三對異面直線間的公垂線的三個中垂面；

四面體的四條高的四個中垂面，選(D)

3.【2006年理7】如圖，平面aJ_平面夕，4Ga,B",A8與兩平面卜、［

a、￡所成的角分別為多哈過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為才噓力

A'、B',則48：4夕=

(A)2：1(B)3：1(C)3：2(D)4：3

解析：連接A區(qū)和A」，設(shè)AB=a,可得AB與平面a所成的角為NBAB'，jr,在

4

Rt842中有A6'=—a,同理可得AB與平面夕所成的角為NABA=工，所以AA=,

所以A8:A'8'=a」a=2:l,故選A

因此在冊4T9中A'8'=

22

本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關(guān)系，要用到勾股定理及直角三角形中的

邊角關(guān)系.有一定的難度

4.【2006年文7］如圖，平面a_L平面夕，與兩平面a、

jrTT

尸所成的角分別為:和二。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'、

46

8；若AB=12,則A?=()

(A)4(B)6(C)8(D)9

jr

解析：連接A6和Al,設(shè)AB=12,可得AB與平面a所成的角為N3A9=—,在

4

TT

放即,中有鉆,=6立同理可得AB與平面夕所成的角為WA=z，所以=

因此在R‘A4'5'中45'=6'故選B

本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關(guān)系，要用到勾股定理及直角三角形中的

邊角關(guān)系.有一定的難度

5.[2007年理7】已知正三棱柱ABC-A.B^1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB,與側(cè)面

ACGAi所成角的正弦等于

V6V1OV26

(A)—(B)—(C)—(D)—

4422

解.已知正三棱柱ABC—A|B|C]的側(cè)棱長與底面邊長相等，取AiG的中點D1,連接BDj,

叵

AD|,/BIADJ是AB|與側(cè)面ACGAi所成的角，sinN8AO=立-=也r，選A。

11V24

6.[2007年文7】已知三棱錐的側(cè)棱長的底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等

于()

解.已知三棱錐的側(cè)棱長的底面邊長的2倍，設(shè)底面邊長為1,側(cè)棱長為2,連接頂點與底

面中心，則側(cè)棱在底面上的射影長為且，所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于3,選A。

36

7.【2008年理10】已知正四棱錐S-ABC。的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點,

則AE,所成的角的余弦值為()

【解析】連接AC、BD交于O,連接OE,因OE〃SD.所以NAEO為所求。設(shè)側(cè)棱長與底

面邊長都等于2,則在/AEO中，OE=1,AO=J5,AE=J2?-1,

于是cosZAEoJg)—［(女)2=々=吏［答案］c

2x6x1V33

8.[2009年理5文5】己知正四棱柱A8CD—A4G〃中，的=248,E為A4中點，

則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為

V101c?嚕3

A.--B.-D.-

1055

解：令A(yù)B=1則A4,=2,連CQ〃48.?.異面直線BE與C〃所成的角即43

與BE所成的角。在然臺后中由余弦定理易得cosNABE=*0。故選C.

9.【2010年文8】已知三棱錐S-ABC中，底面A8C為邊長等于2的等邊三角形，S4垂

直于底面ABC,SA=3,那么直線4B與平面SBC所成角的正弦值為

3

(C)

")44V叫

【解析】D:本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角。

過A作AE垂直于BC交BC于E,連結(jié)SE,過A作AF垂直于SE交

SE于F,連BF,?正三角形ABC,:.E為BC中點，VBC±AE,SA

±BC,二BCJL面SAE,:.BC±AF,AF±SE,:.AFJL面SBC,VZ

ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長3,:.AE=6,

33

r--sinNABF=-

AS=3,:.SE=2V3,AF=2,:.4

10.[2011年理6】已知直二面角a-N-B,點AGa,ACJ.N,C為垂足，BeB,BDJL2,

D為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于

(D)1

a33*

【思路點撥】本題關(guān)鍵是找出或做出點D到平面ABC的距離DE,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)不難

證明ACL平面夕，進而平面6L平面ABC,所以過D作DE1于E,則DE就是要求的

距離。

【精講精析】選C.

如圖，作OEL8c于E,由a—/一萬為直二面角，AC_L/得

AC，平面尸，進而ACLDE,又BC上DE,BCAC=C,于是DE，平面ABC,故

DE為D到平面ABC的距離。

在RfABCO中，利用等面積法得。后=處匹=?咨=逅.

BC63

11.[2011年文8】已知直二面角a-2-8,點Aea,AC±^,C為垂足，BeP,BD±^,

D為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則CD=

(A)2(B)V3(C)V2(D)1

【思路點撥】解決本題關(guān)鍵是找出此二面角的平面角，然后把要求的線段放在三角形中

求解即可。

【精講精析】選C.在平面內(nèi)過C作CM幺8D,連接BM,則四邊形CMBD是平行四邊形，

因為B。！/,所以CM，/,又AC_U,:.NACM就是二面角

￡的平面角。ZACM=90.

所以AB?=A"2+MB2=AC2+3Zy+a>2,代入后不難求出8=血。

12.[2010年理11文11】與正方體ABCD—A|B|CQ|的三條棱AB、CG、AQi所在直線

的距離相等的點

(A)有且只有1個(B)有且只有2個

(C)有且只有3個(D)有無數(shù)個

【答案】D

【命題意圖】事試題主要考查.

【解析】直線B：D上取一點P,分別作P0：,P0：,P0：垂直于B：D：,K,B：A于0：,0：,0,則P0：

1平面AC,P0：1平面B：C,P0：1平面A：B,0：,0；,0：分別作

0『V-垂足分別為M,R,Q,連PMJNJQ,由三垂設(shè)定理可

得，尸\一&。卜丹/—eq/。一?好，由于正方體中各個表面、陵顛余蓑，所以

PO：=PO；=PO：,0?V=0,J/=0.0,/.PM=PN=PQ,即P到三條遺工8、CG、44所在直線

的距離相等，所以有無窮多點滿足條件，故選D.

13(2004年理10】已知球的表面積為20口，球面上有A、B、C三點.如果AB=AC=2,BC=2j5,

則球心到平面ABC的距離為()

A.IB.V2C.V3D.2

SHIE2.J1璋心。___A

作平面ABC電垂緩,垂足為

D.J?8的長為尊心。到平胃三Z二二;-

西ASC的運育.?；6=QB(>J

=8.二D為AABC的外心，\J

.-.DA==￡38=DC,又AB

=AC^2,BC=2V3?.---Hitl

形AHCD是荽形.，BD=2.虹

14.【2004年文3】正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2,且與底面成45°角，則此三棱柱的

體積為()

B.V6

(文)A本題考查幾何體的體積.由做易知正三棱柱的側(cè)面為

正方形并且底面邊長為后則三棱柱的體積為:亨(萬)2xj2

=亭，故選A.

15.(2004年文11】已知球的表面積為20乃，球面上有A、B、C三點.如果AB=AC=BC=2A/5,

則球心到平面ABC的距離為()

B.V2C.V3

(文)A本想考查球的有關(guān)性質(zhì)，由題易知球的半徑R滿足4宜小

=2Qn=>/?=6如圖為球心,(W'_L面A8C于"，因ZUBC為等

邊三角形，。必為△.兒曲的中心，則在

Rt2XA?*，'中.0.4=-^4/?=2，所以()()'V

=xZ4<>2-0.4-=v/(^5~)2-22=],

Atr送AB

16.[2005年建4文4】設(shè)三棱柱ABC—44a的體積為V，尸、Q分別是側(cè)棱A4,、CC,

上的點，且PA=QG，則四棱錐3-APQC的體積為()

A-VB-VC-VD-V

^H-PCQ\=%CQA+LPGV；AF=QG,

.,-APQC,,APQC都是平行四邊形,

,,匕-PCQA=^B-CQAy+匕一QC4=5（^B-CQ\十%-PC%）

121

=5S%BC-A^G=§%BC-A6IG，選。

17.【2006年理4】過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與

球的表面積的比為

⑷得⑻卷<O|（04

解析:設(shè)球的半徑為R,過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，由勾股定理可得一

CC萬（X-E）-3

個半徑為上R的圓，所以3=_2_^=士故選A

2S24兀R?16

本題主要考察截面的形狀和球的表面積公式，難度中等

18.【2008年理12文12】已知球的半徑為2,相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓.若

兩圓的公共弦長為2,則兩圓的圓心距等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【解析】設(shè)兩圓的圓心分別為。1、。2,球心為。，公共弦為AB,其中點為E,則。。E&

為矩形，于是對角線。|。2=OE,而OE=y/oA2-AE2=722-12=g,6

【高考考點】球的有關(guān)概念，兩平面垂直的性質(zhì)

19.【2008年文8】正四棱錐的側(cè)棱長為2百，側(cè)棱與底面所成的角為60。，則該棱錐的體

積為（）

A.3B.6C.9D.18

【答案】B

【解析】高，=2gsin6（P=3,又因底面正方形的對角線等于2g,...底面積為

S=2x,x2gx6=6,.?.體積丫=」、6*3=6

23

【備考提示】在底面積的計算時，要注意多思則少算

20.【2010年理9】已知正四棱錐S-ABCO中，SA=26,那么當(dāng)該棱錐的體積最大時,

它的高為

(A)1(B)G(C)2(D)3

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考查錐體的體積，考察高校函數(shù)的最顫題.

t解析】設(shè)底面邊長為a,則高h=JSA-,所以體積

設(shè)v=12a',ID1Jv'=4Sa'-3a:?當(dāng)y取最值時,

9*

y'=48a3-3a5=0,解得a=0或a=4,所以當(dāng)a=4時，體積最大，此時h=J12-勺=2,

故選C.

21.【2009年理12文12】紙質(zhì)的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、

西、北?，F(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則

標(biāo)“△”的面的方位是

(A)南(B)北(C)西(D)下

答案：B

解析：.此題用還原立體圖方法直接得出結(jié)果，使上在正上方依次找

到對應(yīng)面即可。

22.【2011年理11文12】已知平面a截一球面得圓M,過圓心M且與a成60°二面角的平

面B截該球面得圓N.若該球面的半徑為4,圓M的面積為44，則圓N的面積為

(A)7?(B)9?(C)ll乃(【))13〃

【思路點撥】做出如圖所示的圖示，問題即可解決。

【精講精析】選D.

作示意圖如，由圓M的面積為4〃，易得

MA=2,OM==2>/3,

RtkOMN中，ZOMN=30。

故ON=xs而30=G,.

NC70c2-ON?=5-(后=屈,所以圓N的面積為13乃。

填空題(共7題)

1.【2011年文15】已知正方體/比沙48心〃中，E為G"的中點，則異面直線AE與BC所

成角的余弦值為.

【思路點撥】找出異面直線AE與BC所成的角是解本題的關(guān)鍵。只要在平面ABCD內(nèi)過E

作及BC的平行線即可。

2

【精講精析】一取AB的中點M連接EM,AM,AE,則NAEM就是異面直線AE與BC所成

3

22

2_L3-52

的角。在\AEM中，cosZAEM=——-一~-=-。

2x2x33

2.[2011年理16】己知點E、F分別在正方體4?（呀4Me的棱能，、C4上，且2斤2班,

CFCFG,則面力廝與面49C所成的二面角的正切值等于.

【思路點撥】本題應(yīng)先找出兩平面的交線，進而找出或做出二面角的平面角是解決此問題的

關(guān)鍵，延長EF必與BC相交，交點為P,則AP為面AEF與面ABC的交線.

【精講精析】—.延長EF交BC的延長線于P,則AP為面AEF與面ABC的交線，因為

3

NC4P=90,所以NfCA為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角。

2

tanZFC4=—=i=—

CAy/23

3.[2006年文14]圓。?是以/?為半徑的球。的小圓，若圓G的面積E和球0的表面積S的

比為號：S=2:9,則圓心0到球心。的距離與球半徑的比OQ：H=o

解：設(shè)圓Q的半徑為r,則'=萬/，S=4萬A'由S|：S=2:9得r：R=2應(yīng)：3

又產(chǎn)+oo：=代,可得oq：R=i：3

4.[2007年理15文15】一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上.如果正四

棱柱的底面邊長為1cm,那么該棱柱的表面積為cn?.

解.一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。正四棱柱的對角線的長為球的

直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長為1cm,設(shè)正四棱柱的高為h,；.2R=2=712+12+A2）解得

h=JL那么該棱柱的表面積為2+4血cn?.

5.[2008年理16文16】平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對

邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：

充要條件①；

充要條件②.

（寫出你認為正確的兩個充要條件）

【答案】兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行

四邊形.

注：上面給出了四個充要條件.如果考生寫出其他正確答案，同樣給分.

6.[2008年理15文16】設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45。角

77

的平面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于——，則球O的表面積等于

4

答案：8n

解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進行運算.

設(shè)球半徑為R,圓C的半徑為廣，由4萬戶=女，得產(chǎn)=[.因為OC=42.0=Y2R。

44224

由R2=（手R）2+/="R2+；得R2=2.故球。的表面積等于8萬.

7.【2010年理16文16】已知球。的半徑為4,圓”與圓N為該球的兩個小圓，為圓

M與圓N的公共弦，AB=4,若OM=ON=3,則兩圓圓心的距離MN=?

【答案】3

【命題意圖】本試題主要考查球的截面圓的性質(zhì)，解三角形問題.

【解析】設(shè)E為AB的中點，則0,E,M,N四點共面，如圖，?.?AB=4,所以

OE=J?_（等）-=26，,ME=V3,由球的截面性質(zhì)，有OM_LME,ON，NE,

?；OM=ON=3,所以AMEO與ANEO全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，

由面積相等，可得，MN=2MEM'O=3

OE

三.解答題（共8題）

p

1.【2004年理20文21]如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD

為矩形，AB=8,AD=4A/3,側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與-二）

底面所成二面角為60°.-----------------------B

（I）求四棱錐P—ABCD的體積；

（II）證明PA±BD.

本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題

能力.滿分12分.

解：（I）如圖1,取AD的中點E,連結(jié)PE,則PE_LAD.

作PO_L平面在ABCD,垂足為0,連結(jié)OE.

根據(jù)三垂線定理的逆定理得0ELAD,

所以NPE0為側(cè)面PAD與底面所成的二面角的平面角,圖1

由已知條件可知NPEO=60°,PE=6,

所以P0=3g,四棱錐P—ABCD的體積

VP-ABCD=—x8x4V3x3-\/3=96.

3

（H）解法一：如圖1,以0為原點建立空間直角坐標(biāo)系.通過計算可得

P(0,0,3石)，A(26，-3,0),B(2V3,5,0),D(一26一3,0)

所以麗=(2V3-3-3V3),BD=(^73-8,0).

因為麗?瓦＞=-24+24+0=0,所以PA1BD.

解法二：如圖2,連結(jié)AO,延長AO交BD于點F.通過計算可得EO=3,AE=2A/L

又知AD=4g,AB=8,

,口EOAD

hf---=---.

AEAB

所以RtAAEO^RtABAD.

得NEAO=/ABD.

所以NEAO+/ADF=90°

所以AF1BD.

因為直線AF為直線PA在平面ABCD內(nèi)的身影，所以PAJ_BD.

2.【2005年理18文19］如圖，在四棱錐V-ABCD中,

底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，

平面VADJ_底面ABCD

（I）證明ABJ_平面VAD

（II）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小

方法一：（I）證明：

AB

平面VAD，平面ABCD

ABLAD

>=>AB1平面VAD

ABu平面ABC。

AD=平面VADc平面ABC。

(II)解：取VD的中點E,連結(jié)AE,BE

：VAD是正三角形；.AE_LVD,AF=—AD

2

：AB_L平面VAD；.AB_LAE

又由三垂線定理知BELVD,因此，NAEB是所求二面角的平面角

于是，tan乙4所=絲=2叵，即得所求二面角的大小為arctan述

AE33

方法二：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系。,

(I)證明：不妨設(shè)A(1,O,O),則30,1,0),v7,0,^

48=（0,1,0）,VA=

由A8?l64=0,得

又A3,A。，因而A3與平面憶4。內(nèi)兩條相交直線L4,V。都垂直。

平面VAO

(II)解：設(shè)E為。V中點，則立

44

3.灼

一，1,,-，--------

44

由=得E3J.OV,又E4J.。丫

因此，NAEB是所求二面角的平面角。

EAEB_V21

cos（EA>EB

可網(wǎng)7

解得所求二面角的大小為wccos——

7

3.【2006年理19文20]如圖，在直三棱柱中,

AB^BC,。、E分別為SB】、AG的中點.

(I)證明：ED為異面直線BBi與AC,的公垂線；

(II)設(shè)AA=4C=，i48,求二面角A1-A￡)—G的大小.

解法一:

(1)設(shè)。為AC中點，連接EO,BO,則EO幺^GC,又C】C幺B\B,所以EO幺DB,

E08。為平行四邊形，ED//OB.2分

'：AB=BC,：.BO±AC,

又平面ABC1平面ACCA，BOu面ABC,故BO_L平面4CG4,

平面ACGAi，BDLACt，ED工CG，

；.EDLBBi，為異面直線AG與BBi的公垂線.……6分

(II)連接AE,由AA|=AC=4i48可知，A|ACG為正方形,

：.AlE±AC],又由EO_L平面ACC\A\和E￡)u平面ADC｝知平面

A￡>GJ_平面4ACG，，A|E_L平面AQQ.作EF_L4Q,垂足為F,連接A尸,則為F

1AD,NAFE為二面角4一4。一G的平面角.

十八、“,AEXED質(zhì)

不妨設(shè)A4|=2,則rlAC=2,AB=?rD=OB=1,EF=~^—=^

tan/A|FE=V§,AZA,FE=60°.

所以二面角4—A。一G為60°............12分

解法二：

(1)如圖，建立直角坐標(biāo)系。一孫z,其中原點。為AC的中點.

設(shè)A(a,0,0),8(0,b,0),5(0,b,2c).

則C(~a,0,0),G(—a,0,2c),E(0,0,c),0(0,b,c)........3分

ED=(0,b,0),麗=(0,0,2c).

~ED.就=0,：.ED±BBi.

又k=(-2a，0,2c),

'EDAC\=Q,：.ED±ACt,.......6分

所以ED是異面直線BBi與AG的公垂線.

(II)不妨設(shè)A(l,0,0),則B(0,1,0),C(-l,0,0),0,2),

BC=(-1,-1,0),AB=(-1,1,0),需=(0,0,2),

~BC~AB=Q,'BC~AA\=0,即BCLLA8,BC±AAt,又ABAAAf,

；.BC_L平面AMD.

又E(0,0,1),0(0,1,1),C(-l,0,1),

EC=(-1,0,-1),AE=(-1,0,1),ED=(0,1,0),

EC-AE=0,ECED=0,BPECLAE,ECLED,又4ECEO=E,

.?.后^面GAD....10分

cos<EC,即得記和記的夾角為60°.

|￡C|-|BC|

所以二面角A—AO—G為60°......12分

4.【2007年理19文20］如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD

為正方形，側(cè)棱SDL底面ABCD,E、F分別是AB、SC的中點

(1)求證：EF〃平面SAD

(2)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小

解法一：(1)作FG〃OC交SO于點G,則G為SO的中點.

連結(jié)AGFGJCD,又CD4AB,

2

故FG旦AE,AEFG為平行四邊形.

EF//AG,又AGu平面SAD,Ebz平面SAO.

所以EE〃平面SAO.

(2)不妨設(shè)0c=2,則SO=4,DG=2,4ADG為等

腰直角三角形.

取AG中點〃，連結(jié)。”，則。/7J.AG.

又A8J_平面SAO,所以AB,OH,而ABAG=A,

所以O(shè)”_L面AE尸.

取E尸中點M,連結(jié),則HMA.EF.

連結(jié)DM,則DM±EF.

故NDM”為二面角A—E尸一。的平面角

EB

XA

tan?"=%邛=△

所以二面角4一67?-。的大小為015211正.

解法二：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z.

設(shè)A(a,O,O),S(0,0,b),則5(a,a,0),C(0,a,0),

吟0,

EF=

取SO的中點G(0,0,g),則AG=、a,0,g).

EF=AG,EF//AG,AGu平面SAO,EW平面SAO,

所以EF〃平面SAO.

(2)不妨設(shè)A(L0,0),則8(1,1,0),C(0,L0),S(0,0,2),E(

EF中點加力=(_，，一，,一41,E/=(-1,0,1),

[22y222)

又E4=(0,—3,0),EAEF=0,EALEF,

所以向量MQ和EA的夾角等于二面角A-EF-。的平面角.

MDEA

cos<MD,EA>-

|MD||EA|

所以二面角A-E尸-。的大小為arccosJ.

3

5.【2008年理19文20］如圖，正四棱柱ABCD—A4CA中，

然=245=4,點E在CG上且GE=3EC.

(I)證明：4。_!_平面8￡。；

夕C

B

(II)求二面角A—?！暌?的大小.

解法一：依題設(shè)知AB=2,CE=1.

(I)連結(jié)AC交50于點尸，則8CAC.

由三垂線定理知，BDYA.C.3分

在平面A.C4內(nèi)，連結(jié)E尸交AC于點G,

由于簧嚏=2立

故Rtz^AACsRt^FCE,ZA4,C=ZCFE,

NCFE與NFCA互余.

于是

AC與平面BE。內(nèi)兩條相交直線8D,EF都垂直,

所以A。J?平面8E。....................................................6分

(II)作G//_LOE,垂足為“，連結(jié)由三垂線定理知4”，DE,

故44177G是二面角A—OE—8的平面角.......................................8分

EF=7CF2+CE2=瓜

CG=CExCFEG=NCE2-CG2=走.

EF上3

EG1-1EFxFDV2

---——，GH=—x--------=——.

EF33￡>EV15

又4c=〃L4：+AC2=2娓,4G=

tanZAiHG=加=56

HG

所以二面角4—OE—5的大小為arctan56........

解法二：以。為坐標(biāo)原點，射線。A為左軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz.

X

依題設(shè)，8(220),C(0,2,0),￡(0,2,1),4(2.04).

DE=(0,2,1),03=(2,2,0),

A。=(-2,2,-4),必=(2,0,4)............................................3分

(I)因為4。￡>3=0,\CDE^O,

故A.CLDE.

又DBDE=D,

所以AC_L平面。BE....................................................6分

(ID設(shè)向量”=(x,y,z)是平面。AE的法向量，則

n±DE,nJ_D\.

故2y+z=0,2x+4z=0.

令y=l,則z=-2,x-4,n-(4,1,一2)..................................9分

(〃，4C)等于二面角A-DE-B的平面角,

所以―■面角A—DE—B的大小為arccos.12分

6.【2009年理18文19】如圖，直三棱柱ABC—AAG中，AB±AC,D.E分別為"、

4。的中點，DEJ_平面6CG

(I)證明：AB=AC

(II)設(shè)二面角A-為60°,求4c與平面BCO所成的角

的大小。

(I)分析一：連結(jié)BE,

ABC—AUG為直三棱柱，43c=90°,

E為4c的中點，.?.BE=EC。又OE,平面BCG，

BD=DC（射影相等的兩條斜線段相等）而D4J■平面

ABC,

：.AB=AC（相等的斜線段的射影相等）。

分析二：取3c的中點尸，證四邊形AFEO為平行四邊形，進

而證A尸〃OE,AFVBC,得A5=AC也可。

分析三：利用空間向量的方法。

（I）以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示

的直角坐標(biāo)系A(chǔ)一xyz。

設(shè)B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),

則片(1,0,2c),E(—,—,c).

22

~1h~~~

于是。￡=0),BC=(-1,b,O)屈DE_L平面BCG知DEIBC,DE-BC=0,

22

求得b=l,所以AB=AC。

（II）分析一：求4c與平面所成的線面角，只需求點4到面BOC的距離即可。

作于G,連GC,KiJGC1BD,NAGC為二面角A—50—C的平面角,

NAGC=60°.不妨設(shè)AC=26，則AG=2,G6，.在RTA48O中，由

ADAB=BD,,易得A￡>=迷.

設(shè)點4到面50c的距離為〃，4c與平面

BCO所成的角為a。利用

gs雞Bc.DE=；S.BCD.h，可求得力=26,又可

求得4Gsin。=±='.?.￡=30°.

1B.C2

即4c與平面8co所成的角為30°.

分析二：作出8c與平面BCO所成的角再行求解。如圖可證得8c_1面4尸五。，所以

面AFED，面3DC。由分析一易知：四邊形AFEO為正方形，連AE、DF,并設(shè)

交點為。，則E01面BL,二。。為EC在面BEH內(nèi)的射影。

，NECOS□為所求。以下略。

分析三：利用空間向量的方法求出面BOC的法向量〃，則4c與平面3CO所成的角

即為4c與法向量〃的夾角的余角。

(2)解：設(shè)AC=AB=1,AA,=2x

x

作AG±BD于G,貝(|AG=-,

&+1

依題意有CA_L面ABB1,連CG,貝l」CG_LBD

AC

所以ZCGA=60°,由——=tanNCGA得

+1=瓜解得工=變，所以AA|=五

x2

以A為坐標(biāo)原點,AB、AC、AA1分別為x、y、z軸正方向

建系，則BD=(-l,0,正),BC=(-1,1,0)

2

n-BD=—xH------z=0

設(shè)n=(x,y,z),且v2

n-BC=—x+y=0

取n=(1,1,0,又CB|=(1,-1,72)

總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半

壁江山的狀況。命題人在這里一定會兼顧雙方的利益。

7.【2010年理19文19］如圖，直三棱柱ABC—Age；中，c

AC=BC,AAl=AB,￡>為的中點，E為Ag上的一點，/\\

AE=3印.

(I)證明：OE為異面直線A4與CO的公垂線；

(II)設(shè)異面直線A4與CO的夾角為45。，求二面角的大小.

【分析】本題考查了立體幾何中直線與平面、平面與平面及異面直線所成角與二面角的基

礎(chǔ)知識。

(1)要證明DE為AB1與CD的公垂線，即證明DE與它們都垂直，由AE=3EB1,有DE與BA1

平行，由A1ABB1為正方形，可證得，證明CD與DE垂直，取AB中點F。連結(jié)DF、FC,證

明DE與平面CFD垂直即可證明DE與CD垂直。

(2)由條件將異面直線AB1,CD所成角找出即為NFDC,設(shè)出AB連長，求出所有能求出的

邊長，再作出二面角的平面角，根據(jù)所求的邊長可通過解三角形求得。

【解析】解法一：

(I)連結(jié)A》，記A|B與AB1的交點為F.因為面AA|BB|為正方形，故.A|B_LAB-

且AF=FB「又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D為BB1的中點，故DE〃BF,DE±AB,.

作CG_LAB,G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點.

又由底面ABC面AA]B|B,得CG_LAA|B|B.(■____________r,

連結(jié)DG,則DG〃AB],故DE，DG,由三垂線定理，/；\'、、\

得DEJ.CD.

所以DE為異面直線AB,與CD的公垂線.

(II)因為DG〃AB1,故NCDG為異面直線AB】與CD的夾角，ZCDG=45.

設(shè)AB=2,貝UAB1=2及，DG=后，CG=0,AC=6.

作B|H_LA|G，H為垂足，因為底面_1_面44|。。，故81_1面441&。，

又作HK_LAC1,K為垂足，連結(jié)B|K,由三垂線定理，得B|K_LAC1,因此NB|KH為

二面角A「AC「Bi的平面角.

HC1rs酉而音.

AG