第十章-1曲線積分

曲線積分與曲面積分前一章我們已經(jīng)把積分概念從積分范圍的角度從數(shù)軸上的一個區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一個區(qū)域，在應(yīng)用領(lǐng)域，有時常常會遇到計(jì)算密度不均勻的曲線的質(zhì)量、變力對質(zhì)點(diǎn)所作的功、通過某曲面的流體的流量等，為解決這些問題，需要對積分概念作進(jìn)一步的推廣，引進(jìn)曲線積分和曲面積分的概念，給出計(jì)算方法，這就是本章的中心內(nèi)容，此外還要介紹Green公式、Gauss公式和Stokes公式，這些公式揭示了存在于各種積分之間的某種聯(lián)系。2023/5/241重點(diǎn)第二型曲線積分與曲面積分的概念和計(jì)算方法Green公式、Gauss公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件難點(diǎn)第二型曲面積分的計(jì)算基本要求①正確理解曲線積分和曲面積分概念②熟練掌握曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法2023/5/242③掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們在概念、性質(zhì)、計(jì)算方法上的異同④掌握第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件⑤牢固掌握Green公式及其成立條件⑥牢固掌握Gauss公式及其成立條件2023/5/243第十一章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間平面域空間域曲線積分曲線弧曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分2023/5/244第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法對弧長的曲線積分

第十一章2023/5/245對弧長的曲線積分及其計(jì)算一、問題的提出實(shí)例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和近似值取極限精確值2023/5/246二、對弧長的曲線積分的概念1.定義2023/5/247積分弧段被積函數(shù)積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量2023/5/2482.存在條件：3.推廣2023/5/249注意：4.性質(zhì)2023/5/2410三、對弧長曲線積分的計(jì)算定理2023/5/2411注意:特殊情形2023/5/24123.計(jì)算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧2023/5/2413推廣:一代、二換、三定限代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：換弧微元定限：定積分限，下限—小參數(shù)，上限—大參數(shù)2023/5/2414例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)2023/5/2415例2計(jì)算其中L為在第二象限的部分解一將L表示為2023/5/2416解二將L表示為解三將L表示為參數(shù)方程2023/5/2417例2解2023/5/2418例3解2023/5/2419例4解例52023/5/2420解由對稱性,知注關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性①若L關(guān)于

y

軸對稱2023/5/2421其中L1是L的關(guān)于

y

軸對稱的部分弧段②若L關(guān)于x

軸對稱其中L2是L的關(guān)于x

軸對稱的部分弧段2023/5/2422③若L關(guān)于原點(diǎn)對稱其中L3是L的對稱的部分弧段④若L關(guān)于直線

y=x

對稱與重積分的對稱性十分類似2023/5/2423四、幾何與物理意義2023/5/24242023/5/2425例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則2023/5/2426五、小結(jié)1、對弧長曲線積分的概念2、對弧長曲線積分的計(jì)算3、對弧長曲線積分的應(yīng)用思考題對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負(fù)嗎？2023/5/