大學(xué)機(jī)械制圖-CAD-及其答案4幾何元素間的相對(duì)關(guān)系市公開(kāi)課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第四章幾何元素間相對(duì)關(guān)系第1頁(yè)本節(jié)討論直線與平面、平面與平面相對(duì)位置關(guān)系及其投影，包含以下內(nèi)容：

1)平行關(guān)系：直線與平面平行，兩平面平行；

2)相交關(guān)系：直線與平面相交，兩平面相交；

直線、平面相對(duì)位置3)垂直關(guān)系：直線與平面垂直，兩平面垂直；

第2頁(yè)基本要求（一）平行問(wèn)題1．熟悉線、面平行，面、面平行幾何條件；

2．熟練掌握線、面平行，面、面平行投影特征及作圖方法。（二）相交問(wèn)題1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面投影含有積聚性）交點(diǎn)求法和作兩個(gè)面交線（其中一平面投影含有積聚性）。

2．熟練掌握普通位置線、面相交求交點(diǎn)方法；掌握普通位置面、面相交求交線作圖方法。

3．掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見(jiàn)性方法。（三）垂直問(wèn)題

掌握線面垂直、面面垂直投影特征及作圖方法。（四）點(diǎn)、線、面綜合題

1．熟練掌握點(diǎn)、線、面基本作圖方法；

2．能對(duì)普通畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題普通解題步驟和方法。

第3頁(yè)一、直線與平面平行幾何條件若平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是處理直線與平面平行作圖問(wèn)題依據(jù)。相關(guān)線、面平行作圖問(wèn)題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

例題1

例題2二、平面與平面平行幾何條件若一個(gè)平面內(nèi)相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行作圖依據(jù)。兩面平行作圖問(wèn)題有：判別兩已知平面是否相互平行；過(guò)一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面所缺投影。

例題3

例題4

例題54.1平行關(guān)系：直線與平面平行、兩平面平行第4頁(yè)定理:若一直線平行于平面上某一直線，則該直線與此平面必相互平行。一、直線和平面平行

第5頁(yè)因?yàn)閑f∥bd，e′f′∥b′d′，即EF∥BD，且BD是ABC平面上一直線，所以，直線EF平行于ABC平面。

例判斷直線EF是否平行于平面ABC。第6頁(yè)例過(guò)已知點(diǎn)k，作一條水平線平行于△ABC平面。步驟：1）在ABC平面內(nèi)作一水平線AD；2）過(guò)點(diǎn)K作KL∥AD；3）直線KL即為所求。第7頁(yè)例如圖所表示，過(guò)點(diǎn)C作平面平行于已知直線AB。（1）過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB（即作cd∥ab，c/d/∥a/b/）；（2）再過(guò)點(diǎn)C作任意直線CE則相交兩直線CD、CE所決定平面即為所求。

作圖步驟：第8頁(yè)二、平面與平面平行

假如一平面上兩條相交直線分別平行于另一平面上兩條相交直線，則此兩平面平行。

因?yàn)椋篈B∥A1B1，BC∥B1C1，所以：平面ABC和平面A1B1C1相平行第9頁(yè)例過(guò)K點(diǎn)作一平面，是其與平面ABC平行解

只要過(guò)K點(diǎn)作兩條相交直線分別平行于△ABC兩條邊，則這兩條相交直線所確定平面就是所求平面作圖步驟：1）作KL∥BC(k

l

∥b

c

,kl∥bc);2)作KD∥AC(k

d

∥a

c

,kd∥ac);3)平面KDL即為所求。第10頁(yè)例判別△ABC與△DEF是否平行？（1）在△DEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作兩條直線EM和EN，使e/m/∥b/c/，e/n/∥a/b/；（2）然后作出em和en，因?yàn)閑m∥bc，en∥ab，所以△ABC∥△DEF。作圖步驟：第11頁(yè)[例題3]試判斷兩平面是否平行m

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行第12頁(yè)[例題4]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過(guò)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k第13頁(yè)[例題5]試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH，所以兩平面平行第14頁(yè)用跡線表示兩平面平行

第15頁(yè)第16頁(yè)4.2直線與平面交點(diǎn)、兩平面交線一、直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)二、兩平面交線是直線三、特殊位置線面相交四、普通位置平面與特殊位置平面相交五、直線與普通位置平面相交六、兩普通位置平面相交直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面共有點(diǎn)。兩平面交線是直線，它是兩平面共有線。求線面交點(diǎn)、面面交線實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線投影。第17頁(yè)一、直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面共有點(diǎn)。第18頁(yè)二、平面與平面相交兩平面交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有第19頁(yè)三、直線與平面相交1、直線與特殊位置平面相交2、特殊位置直線與普通位置平面相交3、普通位置直線與普通位置平面相交

當(dāng)平面或直線投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)兩個(gè)投影有一個(gè)可直接確定，另一個(gè)投影可用在直線上或平面上取點(diǎn)方法求出。

第20頁(yè)1、直線與特殊位置平面相交因?yàn)樘厥馕恢闷矫婺硞€(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。第21頁(yè)判斷直線可見(jiàn)性特殊位置線面相交，依據(jù)平面積聚性投影，能直接判別直線可見(jiàn)性。第22頁(yè)例：求直線MN與平面ABC交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性。空間及投影分析平面ABC是一正垂面，其V投影積聚成一條直線，該直線與m

n

交點(diǎn)即為K點(diǎn)V投影。1)求交點(diǎn)2)判別可見(jiàn)性由V投影可知，K

M

段在平面上，故H投影上km為可見(jiàn)。還可經(jīng)過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。作圖第23頁(yè)2、特殊位置直線與平面相交第24頁(yè)km(n)b●m

n

c

b

a

ac空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K水平投影也積聚在該點(diǎn)上。1)求交點(diǎn)2)判別可見(jiàn)性點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見(jiàn)。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法第25頁(yè)3、普通位置直線與普通位置平面相交

以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖判別可見(jiàn)性

示意圖第26頁(yè)1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk

步驟：1．過(guò)EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF交點(diǎn)K。示意圖第27頁(yè)ABCQ過(guò)MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第28頁(yè)12以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1

步驟：1．過(guò)EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF交點(diǎn)K。k

k2

示意圖第29頁(yè)CAB過(guò)MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第30頁(yè)f

e

e直線EF與

ABC相交，判別可見(jiàn)性。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性124

3

（

）kk

34示意圖(

)2

1

第31頁(yè)直線EF與平面ΔABC相交，判別可見(jiàn)性示意圖ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影點(diǎn)。判別可見(jiàn)性Ⅳ第32頁(yè)四、平面和平面相交求兩平面交線問(wèn)題能夠看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)問(wèn)題,求交線方法主要有：1、直接法2、輔助平面法3、穿點(diǎn)法第33頁(yè)1、直接法nlmm

l

n

bacc

a

b

PBCacbPHA第34頁(yè)判斷平面可見(jiàn)性第35頁(yè)兩平面之一含有積聚性求交線在兩平面之一有積聚性情況下，能夠在沒(méi)有積聚性那個(gè)平面上取兩條直線，分別求這兩條直線與有積聚性那個(gè)平面交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)連線就是兩平面交線。第36頁(yè)例4求普通位置平面ABC與鉛垂面DEF交線解

由圖可見(jiàn)，只要求出上△ABC兩條直線AB、AC和△DEF交點(diǎn)M、N，就能夠求得兩平面交線。第37頁(yè)作圖步驟：1）利用積聚性求AB與△DEF交點(diǎn)M(m,m

)；2）利用積聚性求AC與△DEF交點(diǎn)N(n,n

)；3）連接MN(mn,m

n

)就可得到兩平面交線；4）取直線AB和DF在V面上重影點(diǎn)1

(2

)，分辨可見(jiàn)性。由圖可見(jiàn)，點(diǎn)1在點(diǎn)2前面，故b

m

為可見(jiàn)，為m

l

不可見(jiàn)。因?yàn)檫^(guò)重影點(diǎn)兩線段投影之可見(jiàn)性必不相同，所以能夠確定其它各邊可見(jiàn)性。第38頁(yè)2用輔助平面求交線當(dāng)相交兩幾何元素都不垂直于投影面時(shí)，則不能利用積聚性求交點(diǎn)和交線。

第39頁(yè)用輔助平面求交點(diǎn)第40頁(yè)例：已知直線CD、EF、GH，要求作一條直線AB平行于CD，且與EF、DH相交。第41頁(yè)用輔助平面求交線第42頁(yè)用輔助面三面共點(diǎn)法求交線第43頁(yè)第44頁(yè)兩跡線平面相交第45頁(yè)普通位置平面和水平面相交第46頁(yè)當(dāng)兩個(gè)平面在圖紙區(qū)域不相交時(shí)第47頁(yè)4.3幾何元素垂直問(wèn)題一、直角投影特征二、直線與平面相互垂直三、直線與直線相互垂直四、平面與平面相互垂直第48頁(yè)1、若直角中有一邊平行于某一投影面，則它在該投影面上投影仍為直角。2、反之，若一直角投影仍是直角，則被投影角最少有一邊平行于該投影面。

一、直角投影特征總之，相互垂直兩直線當(dāng)中，最少有一條直線平行于投影面時(shí)，這兩直線在該投影面上投影才會(huì)垂直。第49頁(yè)二、直線與平面垂直直線與平面垂直，則直線垂直平面上任意直線（相交或不相交）。反之，直線垂直平面上任意兩相交直線，則直線垂直該平面。第50頁(yè)第51頁(yè)定理1若一直線垂直于一平面、則直線水平投影必垂直于屬于該平面水平線水平投影；直線正面投影必垂直于屬于該平面正平線正面投影。knk

n

第52頁(yè)定理2（逆）若一直線水平投影垂直于屬于平面水平線水平投影；直線正面投影垂直于屬于平面正平線正面投影，則直線必垂直于該平面。第53頁(yè)[例題7]平面由

BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)K作平面法線。a

cac

n

nkk

第54頁(yè)h

[例題8]試過(guò)定點(diǎn)K作特殊位置平面法線。hhhh

h

（a）（c）（b）第55頁(yè)[例題9]平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。e

f

ef第56頁(yè)[例題11]試過(guò)點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面夾角為60°，與H面夾角為45°。第57頁(yè)分析：平面法線與平面最大斜度線對(duì)同一投影面夾角互為余角第58頁(yè)直徑任取NM作圖過(guò)程|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

n第59頁(yè)例：求C點(diǎn)到直線AB距離。二、直線與直線垂直第60頁(yè)第61頁(yè)四、平面與平面垂直若直線垂直一平面，包含這直線一切平面都垂直于該平面。反之，從第一平面任意一點(diǎn)向第二平面所作垂線，必定在第一平面內(nèi)。第62頁(yè)繪制相互垂直平面兩種方法：1、使平面Q經(jīng)過(guò)垂直于平面P直線AB；2、使平面Q垂直于平面P上直線CD；第63頁(yè)g

[例題12]平面由

BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)K作已知平面垂面。ha

cac

h

g第64頁(yè)[例題13]試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定平面是否垂直。f

fd

d結(jié)論：因?yàn)锳D直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。第65頁(yè)[例題14]試過(guò)定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。第66頁(yè)EQ分析

過(guò)已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。FAK第67頁(yè)作圖2

1a

efaf

e

1

22

1PV1

2k

k第68頁(yè)第69頁(yè)4.4平面上最大斜度線1．平面上投影面最大斜度線—平面上對(duì)某個(gè)投影面傾角最大直線。它與投影面傾角反應(yīng)該平面與投影面傾角。2．平面上對(duì)某投影面最大斜度線與該平面上對(duì)某投影面平行線相互垂直。3．平面上投影面最大斜度線有三組，即分別對(duì)正面投影面、水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。（1）平面上對(duì)水平投影面最大斜度線（2）平面上對(duì)正面投影面最大斜度線（3）平面上對(duì)側(cè)面投影面最大斜度線

例題6

例題7

例題8

例題9第70頁(yè)P(yáng)CD

aE1

S

AE第71頁(yè)（1）平面上對(duì)水平投影面最大斜度線EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABPEFBA第72頁(yè)（2）平面上對(duì)正面投影面最大斜度線CD

A