江蘇省啟東市2024屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

江蘇省啟東市2024屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．2．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．3．如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．4．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．5．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．6．將函數(shù)向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關(guān)于點對稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B．函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點對稱C．圖象關(guān)于直線對稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個根7．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:8．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．59．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．10．已知集合，則等于（）A． B． C． D．11．設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．12．為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記等差數(shù)列和的前項和分別為和，若，則______.14．某校高二（4）班統(tǒng)計全班同學(xué)中午在食堂用餐時間，有7人用時為6分鐘，有14人用時7分鐘，有15人用時為8分鐘，還有4人用時為10分鐘，則高二（4）班全體同學(xué)用餐平均用時為____分鐘.15．某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機選出名同學(xué)代表該小組參加知識競賽，則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________．16．已知集合，其中，.且，則集合中所有元素的和為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當(dāng)與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標準方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：18．（12分）已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足（2，2）（1）求拋物線Γ的方程；（2）已知經(jīng)過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經(jīng)過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．19．（12分）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為、，與直線的交點為，求線段的長.20．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.21．（12分）試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M，N．22．（10分）已知圓,定點,為平面內(nèi)一動點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，設(shè)動點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程（2）過點的直線與交于兩點，已知點，直線分別與直線交于兩點，線段的中點是否在定直線上，若存在，求出該直線方程；若不是，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現(xiàn).2、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過點時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.3、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)向量坐標運算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.5、D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項中的對稱中心錯誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對稱；當(dāng)時，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當(dāng)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時僅有一個解為，所以D錯誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.7、C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運算，由向量的關(guān)系，可得選項.【詳解】，，∴等價于，故選：C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.9、A【解析】

投影即為，利用數(shù)量積運算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

計算的中點坐標為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標準方程，意在考查學(xué)生的計算能力.12、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當(dāng)作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因為,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式及等差中項的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、7.5【解析】

分別求出所有人用時總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為：7.5【點睛】此題考查求平均數(shù)，關(guān)鍵在于準確計算出所有數(shù)據(jù)之和，易錯點在于概念辨析不清導(dǎo)致計算出錯.15、【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有，符合條件數(shù)有，后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機選出2人的總數(shù)有，則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件，∴故答案為：【點睛】組合數(shù)與概率的基本運用，熟悉組合數(shù)公式16、2889【解析】

先計算集合中最小的數(shù)為，最大的數(shù)，可得，求和即得解.【詳解】當(dāng)時，集合中最小數(shù)；當(dāng)時，得到集合中最大的數(shù)；故答案為：2889【點睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由短軸長可知，設(shè)，，由設(shè)而不求法作差即可求得，將相應(yīng)值代入即求得，橢圓方程可求；（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候，成立，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合中點坐標公式，弦長公式，得到與的關(guān)系，將表示出來，結(jié)合基本不等式求最值，證明最后的結(jié)果【詳解】解：（1）由已知，得由，兩式相減，得根據(jù)已知條件有，當(dāng)時，∴，即∴橢圓的標準方程為（2）當(dāng)直線斜率不存在時，，不等式成立.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)由得∴，∴由化簡，得∴令，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號∴∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上，【點睛】本題為直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓方程的求法，點差法處理多未知量問題，能夠利用一元二次方程的知識轉(zhuǎn)化處理復(fù)雜的計算形式，要求學(xué)生計算能力過關(guān)，為較難題18、（1）y2＝4x；；（2）直線NL恒過定點（﹣3，0），理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的方程，求得焦點F（，0），利用（2，2），表示點P的坐標，再代入拋物線方程求解.（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因為A（3，﹣2），B（3，﹣6）在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得y1y2＝12，然后表示直線NL的方程為：y﹣y1（x），代入化簡求解.【詳解】（1）由拋物線的方程可得焦點F（，0），滿足（2，2）的P的坐標為（2，2），P在拋物線上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）設(shè)M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），則y12＝4x1，y22＝4x2，直線MN的斜率kMN，則直線MN的方程為：y﹣y0（x），即y①，同理可得直線ML的方程整理可得y②，將A（3，﹣2），B（3，﹣6）分別代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直線kNL，則直線NL的方程為：y﹣y1（x），即yx，故yx，所以y（x+3），因此直線NL恒過定點（﹣3，0）．【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標方程即可；（2）設(shè)，，由，即可求出，則計算可得；【詳解】解：（1）圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）可化為，∴，即圓的極坐標方程為.（2）設(shè)，由，解得.設(shè)，由，解得.∵，∴.【點睛】本題考查了利用極坐標方程求曲線的交點弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設(shè)恰好獲得60元為事件A，因為60＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應(yīng)的概率，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).21、y＝2sin2x．【解析】

計算MN，計算得到函數(shù)表達式.【詳解】∵M，N，∴MN，∴在矩陣MN變換下，→∴曲線y＝sinx在矩陣MN