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文檔簡(jiǎn)介

2024屆甘肅省武威市河西成功學(xué)校高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心2.某市氣象部門(mén)根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線(xiàn)圖,那么,下列敘述錯(cuò)誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個(gè)D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢(shì)3.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律:每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積,則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近()A. B. C. D.4.“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”,最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題:將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612425.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽取了一個(gè)容量為的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在(單位:元)的同學(xué)有34人,則的值為()A.100 B.1000 C.90 D.906.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題7.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④8.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.9.已知甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用共享單車(chē)一次(假定費(fèi)用只可能為、、元).甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、,甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為()A. B. C. D.10.一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為;當(dāng)無(wú)放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,11.設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.12.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的最小值為2,則_________.14.已知平面向量,,滿(mǎn)足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.15.根據(jù)如圖所示的偽代碼,輸出的值為_(kāi)_____.16.若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某芯片公司對(duì)今年新開(kāi)發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測(cè)評(píng),該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為五個(gè)小組(所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中.(1)求這100顆芯片評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測(cè)試,該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行初測(cè)。若3個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分,則認(rèn)定該芯片合格;若3個(gè)工程手機(jī)中只要有2個(gè)評(píng)分沒(méi)達(dá)到11萬(wàn)分,則認(rèn)定該芯片不合格;若3個(gè)工程手機(jī)中僅1個(gè)評(píng)分沒(méi)有達(dá)到11萬(wàn)分,則將該芯片再分別置于另外2個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行二測(cè),二測(cè)時(shí),2個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分,則認(rèn)定該芯片合格;2個(gè)工程手機(jī)中只要有1個(gè)評(píng)分沒(méi)達(dá)到11萬(wàn)分,手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立,并且芯片公司對(duì)芯片的評(píng)分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對(duì)芯片的評(píng)分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個(gè)工程手機(jī)中的測(cè)試費(fèi)用均為300元,每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格,將不再進(jìn)行后續(xù)測(cè)試,現(xiàn)手機(jī)公司測(cè)試部門(mén)預(yù)算的測(cè)試經(jīng)費(fèi)為10萬(wàn)元,試問(wèn)預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測(cè)試完這100顆芯片?請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,離心率,其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)作夾角為的兩條直線(xiàn)分別交橢圓于和,求的取值范圍.19.(12分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,且.(I)求角的大??;(Ⅱ)若,求面積的取值范圍.20.(12分)設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線(xiàn)相切.記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn),且直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),設(shè),,求證:為定值.21.(12分)已知數(shù)列滿(mǎn)足:,,且對(duì)任意的都有,(Ⅰ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅱ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅲ)證明:.22.(10分)某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階,寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí),可以一步走一個(gè)臺(tái)階,也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階,若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為,每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為.為了簡(jiǎn)便描述問(wèn)題,我們約定,甲從級(jí)臺(tái)階開(kāi)始向上走,一步走一個(gè)臺(tái)階記分,一步走兩個(gè)臺(tái)階記分,記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過(guò)程中,恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

解出,計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.2、D【解析】

根據(jù)折線(xiàn)圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由繪制出的折線(xiàn)圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān),故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個(gè),故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了折線(xiàn)圖,意在考查學(xué)生的理解能力.3、A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征,我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式,觀(guān)察可知,每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布,結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖,將數(shù)字塔中的數(shù)寫(xiě)成指數(shù)形式,可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”,前10層的指數(shù)之和為,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問(wèn)題,邏輯推理,等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用,屬于中檔題4、C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。5、A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率,再結(jié)合支出在(單位:元)的同學(xué)有34人,即得解【詳解】由題意,支出在(單位:元)的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知,支出在的同學(xué)的頻率為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類(lèi)討論打開(kāi)絕對(duì)值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對(duì)于命題q,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),,由,得,無(wú)解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯(cuò)誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯(cuò)誤;為真命題,D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類(lèi)討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、B【解析】

由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).8、A【解析】

先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算,是一道容易題.9、B【解析】

甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】由題意甲、乙租車(chē)費(fèi)用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性事件的概率.掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).10、B【解析】

分別求出兩個(gè)隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算,應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值,再利用排列組合知識(shí)求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計(jì)算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無(wú)放回的區(qū)別.11、C【解析】

恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則恰有兩個(gè)不同的解,求出可確定是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,令通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿(mǎn)足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn),所以恰有兩個(gè)不同的解,顯然是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,且這個(gè)解不等于1.令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而,且.所以,當(dāng)且時(shí),恰有兩個(gè)極值點(diǎn),即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,函數(shù)與方程的應(yīng)用,屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因?yàn)?,所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,所以平?在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線(xiàn)面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為,用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

首先利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào),之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式,對(duì)照函數(shù)值等于2的時(shí)候?qū)?yīng)的自變量的值,從而得到分段函數(shù)的分界點(diǎn),從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式,求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時(shí)是分界點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的解析式,可以判斷0不可能,所以只能是是分界點(diǎn),故,解得,故答案是.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)最值的求解等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】

計(jì)算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.15、7【解析】

表示初值S=1,i=1,分三次循環(huán)計(jì)算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán):S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循環(huán):S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循環(huán):S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循環(huán)結(jié)束,輸出:i=7.故答案為:7【點(diǎn)睛】本題考查在程序語(yǔ)句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù),求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間,然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增,列出不等式求解即可.【詳解】由知,當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在和上均單調(diào)遞增,,

的取值范圍為:.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測(cè)試完這100顆芯片,理由見(jiàn)解析【解析】

(1)先求出,再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù);(2)先求出每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望,再比較得解.【詳解】(1)依題意,,故.又因?yàn)椋?,所求平均?shù)為(萬(wàn)分)(2)由題意可知,手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個(gè)工程機(jī)中進(jìn)行檢測(cè)評(píng)分達(dá)到11萬(wàn)分的概率.設(shè)每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用為X元,則X的可能取值為600,900,1200,1500,,,故每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為(元),因?yàn)?,所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測(cè)試完這100顆芯片.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、(1);(2).【解析】

(1)由已知短軸長(zhǎng)求出,離心率求出關(guān)系,結(jié)合,即可求解;(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率都存在時(shí),不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為,直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立,利用相交弦長(zhǎng)公式求出,斜率為,求出,得到關(guān)于的表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)用“”判別式法求出范圍,當(dāng)有一斜率不存在時(shí),另一條斜率為,根據(jù)弦長(zhǎng)公式,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)由得,又由得,則,故橢圓的方程為.(2)由(1)知,①當(dāng)直線(xiàn)的斜率都存在時(shí),由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為,由,,設(shè),則,則,由橢圓對(duì)稱(chēng)性可設(shè)直線(xiàn)的斜率為,則,.令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由得,所以,即,且.②當(dāng)直線(xiàn)的斜率其中一條不存在時(shí),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)設(shè)直線(xiàn)的方程為,斜率不存在,則,,此時(shí).若設(shè)的方程為,斜率不存在,則,綜上可知的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,注意根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、函數(shù)最值、橢圓性質(zhì)的合理應(yīng)用,意在考查邏輯推理、計(jì)算求解能力,屬于難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【詳解】(I)因?yàn)?,所以,,,或,或,因?yàn)?,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),又因?yàn)?,所以,所以【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)已知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),由此可得曲線(xiàn)的方程;(2)設(shè)直線(xiàn)方程為,,則,設(shè),由直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得,,由,,用橫坐標(biāo)表示出,然后計(jì)算,并代入,可得結(jié)

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