第四章 線性方程組習題及答案

解：因為此方程組有非零解，故系數(shù)矩陣的|解：因為此方程組有非零解，故系數(shù)矩陣的|23a3a1-1.2||A=|A=|(xlx2(xlx22233(xlx3(xlx32=x2(|-2)|lx32T為方程組的基礎解系.T,k2(211-1)(112-1)(1A=|2212|喻|0-1-31|喻|0x132|343(23-1A=|41-36|喻|10-5（1-24-7)（1-24(1-23-12)(1-23喻|02-825|喻|001A=|5101-5|喻|001010-1035)-12||-7)-12)-46||327)-1)喻A=|79喻A=|79)-2000)l-17x2+19x3-20x4=04-2x2lx3(x)(1)(0)（x4lx3(x)(1)(0)（x4)（0)（1)T,2T為方程組的基礎解系.,k29)（0(9)（0(3-8-834-2-3-5-1313|||||4|||||4|||（2-2)-2)（2（2-2)7-1700-8009x43-17x42323-17x4(x3)(17)(0)（x4)（0)（17)（x4)（0)（17)T,2故通解為X=k12222-x34lx12-3x34lx12-3x34（1245)（077-3-8)（1245)（077-3-8)所以，此方程組無解.(2314)(1-24-5)|--||-|(2314)(1-24-5)|--||-|喻|0000|喻|0000|（0000)（0000)=T(21-111)(14-35-2)(21-111)(14-35-2)|喻|0-7|-35-2)(10-35-2)-35-2)(10-35-2)5x43-9即(|x12l|x3l4459445TT02424522=-1|3|3||0|11241213121316-3-111-1-112-2-212-2-216-6-6a)b-3a2-b-3a2-5a)lx245lx2ξ1TTT，lx24lx2lx24lx22②當t=-2，P=-8時，方程組有無窮多解.(x=4T=-x4-14T為導出組的基礎解系,”0=(-1,1,0,0)T為方程組的一個特解.故方程組的通解為X=kξ+”0keR.2222(1-a)00-a3-a22-a=10002a-a2-a(3120)(3120)(3120)(3120)(3120)(3120)lx23-9lx23-9a22.x=-.T2B2A2x=2βTαβTα.αβTαβTx=24αβTxB4x=24x24aβTx=23aβTx+24x+γ23(2αβT-αβT-2E3)x=γ23(αβT-2E3)x=γ3)(xlx2方程組等價于(xlx23333(x=-x-1(x=-x-1lx2(|-1)|02相同的秩，且β3可由a1,a2,a3線性表示，求a,b的值.解：因為β3可以由a1,a2,a3線性表示,a2,a3)X=β3有解.330963096-73|3-6b)3-69-12b)1-2b3b)-λ)|故()()r(“1,“2,“3)=r(β1,β2,β“1=2討論λ取可值時，β不能由“1,“2,“3線性表示.λ取何值時，β可由“1,“2,“3唯一線性表示.λ取何值時，β可由“1,“2,“3線性表示，解：β是否能由“1,“2,“3線性表非齊次線性方程組(“1,“2,“3)X=β是否有解.|(λ+11|0λλ+111行喻|0λ+1-λ-λ2-3λ-λ)|-λ)|1λ+1λ-λ-λ1-(λ+1)2解.也即β可由“1,“2,“3線性表示，并且有無窮多表示方法.11+12,lk1（0)（1)(將X的表達式代入方程組（II）得k2)l11+12,lk1（0)（1)(將X的表達式代入方程組（II）得k2)lx2-x4=033)X=β(2)||||(2)||||求非齊次方程組AX=b的通解.(0)-21||||(0)-21||||1,2T1,22|2-k2)1,21,2lxlx12keRX=(k,-k,-k,-k)T=k1(1,-1,-1,keRT部非零公共解.lx1232-1124334+x-x35-100)35-100)-1)|(x1)(1)(0)（x2)（0)（1)（x2)（0)（1)得β1T為（I）的一個基礎解系.x1β1)|（x4)故r(β1,β2,-“1,-“2)<4.(β1,β2,“1,“2)行喻|01-20lx2(x=2x-xlx24T,2TT2(||2|123,求一秩為2的矩陣B，使AB=0.解：先求AX=0的基礎解系23(23A=||A=|002)(002)故齊次線性方程組AX=0等價于2=-x2-2x3T,2T為AX=0的一個基礎解系并且AB=0.2,2n)T,in,2ny2n=0解：將題中所求通解的線性方程組記為BY=0a21M（ana21M（an1a22n12na22nLan2n)|||||||LLLL22MaLan2Laa12n)(an2nLLb21nLLb21n1n2b22Mb22MLb22nbn2Lb22nb)|||)||||(b11b12Lb12n)(||||212222n||1222n2212222n||1222n2故AT的每一列為BY=0的解向量.234(1)||T為AX=0的一個基礎解系.2343T為AB=β的一個特解故AB=β的通解為X=kξ+η0的行向量組也是該方程組的基礎解系常存在可逆陣P=礎解系,則A的行向量組與B的行向量組等價基礎解系.16.設AX=0的解都是BX=0的解，則AX=0與BX=0同解常r(A)=r(B).證：必要性.若AX=0與BX=0同解，則AX=0與BX=0具有相同的解空間,即N(A)=N(B)故n-r(A)=n-r(B),所以r(A)=r(B).充分性.n-r是AX=0的基礎解系，r(A)=r，因為AXn-r是BX=0的n-r個線性無關的解向量.n-r(B)=n-r(A)=n-rn-r為BX=0的一個基礎解系.故AX=0與BX=0同解.ABX=0與BX=0同解常r(AB)=r(B)證：必要性.N(AB)=N(B)因此n-r(AB)=n-r(B),故r(AB)=r(B).充分性.，BX=0的解都是ABX=0的解.n-r也是ABX=0的線性n-r(AB)=n-r(B)=n-rn-r為ABX=0的基礎解系，故ABX=0與BX=0同解.AX=B有解常r(AMB)=r(A)證：必要性.令X=(X1,L,Xp)，B=(b1,L,bp)因為AX=B所以AX1=b1,AX2=b2,L,AXp=bp故r(A1)=r(A2)L=r(Ap)=r(A)即矩陣B的列向量組可以由A的列向量組線性表示所以r(AMB)=r(A)充分性.若有r(A)<r(Ai)<r(AMB)=r(A)i=1,L,p故AX=b1,AX=b2,L,AX=bp有解.設解分別為X1,X2,L,XpA(X1,X2,L,Xp)=(b1,b2,L,bp)即AX=B有解.(A)AX=0與BX=0同解常r|（B)|=r(A)=r(B)證：若AX=0與BX=0同解，則X=0與AX=0同解.又X=0的解一定是AX=0的解.(A)(A)r=r(B)故(A).(A).又因為X=0的解都是BX=0的解，所AX=0與BX=0同解.(Ab)2,n)T，若r(A)=r(B)b)AX=b有解.故AX=b有解.所以AX=b有解.22．若方陣A的行列式為0，則A的伴隨陣A*各行成比例.故A*的行向量組的秩為1，不妨設第一行“1為行向量的極大無關組，則剩余行向量均可*設ξ為AX=0的一個基礎解系.則任意解X=kξ,keR.所以，任意兩解成比例.T是AX=0的解.設X1是AX=0的一個非零解，則AX1=0則(A+D)X=0有非零解，設為X1因為A為反對稱陣，所以故X(A+D)X1=0XAX1+XDX1=0XAX1=0XDX1=0但所XDX1>0，此為矛盾（2）令f|x0A D 0x01y1)1y1)|,(x11y121y1)|(x11y1(x11)nn方程組（未知量為k,b）12nn(x1||x2r|M|（xn(x1||x2|Mn|||(x1||x2r|M|（xn(x1||x2|Mn|||||||||有解，故矩陣|a2bc222與|M|bn)nb1)b(a11|b|a2222Mbn)與|Mncn)c1)c（anbncn)1M1y1y2Mynyn)yn)1x2x2y2nxnyn1)(a1(1)(a1(a1ab11x2x2y2nxnyn有解，即n條直線共點.（anbn)（anbncn)矩陣|a（anbn)（anbncn)i1in)T(i,“2,L,“r線r1x1r2x2rnxn2α2rαr12x21nxn|a21x1+a22x2r1|a21x1+a22x2k1βTα1+k2βTα2rβTαr+kβTβ=02α2rαrr線性無關，所以有rr,β線性無關.T,η223x34x412x234x422x24x43T,η3-η1個線性無關解.(a12a343c2(a12a343c2242x322x40a2)a0c4)0)|4b35|2|4b35|221,k2eR).t線性無關.t)22α2t是齊次線性方程組AX=0的基礎解系，向量β不是AX=0的解，2α2t線性無關.242x32a00a0a00a0||||0a02|a02|aa2與2|aa2t|，且方程組AX=0的基礎解系中含有兩個解向量，求t|，且方程組AX=0的基礎解系中含有兩個解向量，求 a2-a)|a0a