導數(shù)中常見的不等式證明方法

不等式的證明方法由于不等式的種類繁多、覆蓋面廣、處理時技巧性較強,因而是高中數(shù)學的一個難點一導數(shù)為我們處理不等式問題提供了一個新的途徑，利用導數(shù)處理不等式問題具有方法簡捷、可操作性強的特點，但處理方式乂技為限活，需要掌握不同的證明方法以及扎實的數(shù)學功底L融獷交叉.創(chuàng)新性的思甦方式一本戰(zhàn)，我們通過對一些試題的研究，提供一些利用導致證明不等式的方法一兵分兩路對于一些較為復雜的函數(shù).如果通過直接構造一個函數(shù)很難或根本就無法解決時，可嚶試通過等價錯化，適當變形.轉化為兩個函數(shù)來處理，M地可能公得到極大的簡化，從而達到順利證明的目的我們稱這種證明方法為兵分兩路本節(jié).我們從:種角度來說明這種方法的使用一一.一分為二1.和差拆分[例]】已知函數(shù)/(x)=Inx—儀I一，)(a€1<).x口)若當時，八十)二0%成仁.求實數(shù)百的職位范圍；川)設代用=3-2二地1工)6=2.7⑻92,求證+當病=-1時，*(幻〈至二!e e1(20㈤年山東省濟宇市府二期期末加Q檢測尻題)【解析】口)由= —Ml—L)C*wR),得/'(#)二1一二二^(.￥>0).X X『 『①當日小時，由知，八工)=0./*)在(1,口)上為熠函數(shù)，所以》)111九/(.Y)>/{I}二。恒成立，所以4<i滿足題意：②當口>1時十由Id〈口時，/'?)<0，所以/(X)在(1,口)上為減函數(shù)，此時f(x)<f[])=0,不符合題意，所以口>1不滿足題意，標上所述，當》>1國,/?)>口恒成立時1實數(shù)E的取值冠圍是1-8/1，TOC\o"1-5"\h\zJe1+1 2cJ+l川)當。=I時tF(x)<j—<=>2-2x-a1hx<： 日’.廿 e'令口(r)=2-2父一*ln,(工>。，p\x)=-3-Injf從而，w(0、e,)時r//(x)>0.pO)單調遞增;x應(e1+x)時.小工)<0,p(x)單調遞減.從而風工)? =2+-^-=〃而貝3)=2。｝y"(a>0)為增函數(shù)，所以g(x)>g(0)=瓦J1所以M工)<型二」二飆0)M/X).從而原不等式卷證. : 爭較是用來研寬連續(xù)函數(shù)性態(tài)的強有力的工具.除在高中階段所認識的一系列顯本初等:函教外，商考導微的壓軸試題常出現(xiàn)或甯要構造下列六種典型的函數(shù)模理來輔助解題；/(A)In/(H)；Q)J_M_.(3).*")：(4) ；(5)上以：9)—ln/(x)f(x) /燈f(x)\命地人經常立足于上述六個鬲鼓命邈一穴的題目.若在同一試題中出現(xiàn)了兩種或兩種以上的典型的敕，就此時往往人工不可能求其械(最)抵此時，就將要處用函數(shù)“分■拆”的手段,將原不等式分折成一些可求局部最值的兩個系數(shù)或更多個函數(shù),逋過分拆與二次替舍的相互配合.可將原不等式的證明問題轉化為求局部函敬的最低問學，然后分別求兩個函數(shù)的最ft!即可達到解決問題的目的. ?【倒2】已知函數(shù)/(x)=xln工一心一<1)當曰二一1時,求函數(shù)/(耳)在｛0,+史)上的最福；(口)求證；對一切工總(0,+g),都有l(wèi)+】nH>=■-J-成立.t解析】(i)函數(shù)=然的定義域為(0,十工)一當日=-1時,/(A)=xlnx+Tv,f'(M)=111142由(耳)=。，得H=」r.節(jié)一￥￡電!)時，/W4O./(犬)單調遞加九三(5，+到時，/J(x)>0t〃x)單調遞增一因此，在H="時取得最小設，即/(幻心=/(5)=-(,但無最大瓶"1工>0時，1mL+1>~—-—'生價Tx(lna+I)>~Xll—r-由□)知r=-1時,/(1)=］加工+，的最小林為一；，當且僅當.r=4時取等號.設5用二合$(x>0),G⑺=M*'*)=0，得Y=1當了匚(0/)，G\r)>0,。(幻單調遞增；當一￥2(1,十年),學幻<0,仃⑴單調遞減因此，仃口)在*=1處取得最大位，即二仃⑴二一上，當日僅當上二1時取等號一,從而從而可知,對一切#w(Oz),都有」(x)>G].rh即1口工+》擊—高一■」■■?■—?一,從而在證明不哥式中，等價轉化是美地，此處利用人眥膽成f(x)>GM，任此處八制與G(x)取到我值的條件不是同一個“工”的值一」方一一■「「一=1例31設函數(shù)/(x)=fdlnx+然，曲線y=/(可在點"/(1?處的切線方程為y=e(x-1)+2.(I)求(ID求證：f{x)>\.(2014年至國1卷理科試題)1解析】(I)函數(shù)/(公的定義域為(0,+8}.ff(x)=werIn^+-er-4<t_|+-ei-|XX X由題意可得/(1)=2,/rU)=j故口=1+b=2.(n)方法由U)知，/(x)=e'1口工+2(/”,因為M>0任x>0,從而1o-JtJnx>支匕-*_2設g(x)=WnH,h(x)=xc~--(j>0)從而g’(幻=1+lnt,令/(犬}=0,得牙=]當he(0「)時gV)<0.鼠工)單調遞減；為工e(L+s)時，gV)>0-鼠幻單e e調遞晦從而g")花R=g處取存最小值乳制”=g(-g=-g而"⑺=e-i-2=e_t(l-k).令相#=0,得工=1一當ne(。」)時*"#}>0,雙刈單調遞增：當/eQw)時，儀制>0，酬工)單調遞減.從向封外在工=1處最得地大伍W=h[l}=--.U由于兩個警號不可能同時取到,所以冢M)A雙幻,即”制>1.工乘積拆分【例4】己知函數(shù)〃#=弛三必一c(I)求的數(shù)人幻的單調區(qū)間：2□I)證明二當萬>0時，+!)<—+—.e'eL'(2O3S年安徽省安慶市重點中學聯(lián)號試題)2(]—r-rln【解析】⑴八用=~———--令若。)=1—工―11n_r,則g⑴=0.xe當。cxcl時，1一4>。+—W口工>0,所以飄冷>0,尸(#)>0,〃動單間遞增專當jc>1時.1一)弋0,-￥hi0,所以烈*)<0,ff(x)<0，/(/)單調遞誠，所以函數(shù)〃制的楙區(qū)間為(0,1),臧區(qū)間為(1++?決g要證明/'U)ln(%+l)c§小擊,即證(1—犬-外力由舊(#+])<(1+5立.令式幻=1-工-工111》(x>0則/(幻=-1-(1]1大+1)=-2-加工.當時tgr(x)>0,￡(彳)單調遞增；當1>1時,宮(x)vOtgU)單調遞減.所以犀《，)—耳(-r)=1+^7>朋,以1—X--工]口H￡IH.e考一 *從而“1如，要證(】一x-HlnA)】n(x+l)《(l+g)x.只需證】口(工+l)ux即可.令應W=]n(》十1)一#LhaO]，從而1(幻— 從而雙燈前調遞世，所以利工)<。(0)=01Jall0<in(x4-1)<x綜上所述，當工>0時，都有八幻+時于同時皆有1】】工與tf的也越的數(shù)，解決時往在需要根據(jù)兩類函敲的特點，挖部始構I掙拉.迪行靈志支影.t碉弓】已知的數(shù)/(，)=出?"為常數(shù).€為自然對數(shù)的庭數(shù)》0)求/(工)的單調區(qū)間r(II)域式#)=(，+0門幻，其中尸⑴為〃幻的導函數(shù),求總對任意無、0,總行烈明式之W.1解析】(Df\x)=]~X~^]nX.當X31時1日1-3<:0.-x\nx<(h知/鋁)《。.〃幻隼調壟增；一。<了<1時，b*H1-1>0,-jrhijc>0j知//貫)單調遞減一從而,可知了(幻的單調遞增區(qū)間為(0.1),遞減區(qū)同為(Lgh(II)由題意如*g(A)=(x~-I-x)--j_"="(1-xInx-jf).令網(wǎng)xj=土?[工>0),則V⑺=-三<0.則能幻單調遞減.從向以力cM0)=l,再令閉x)=I-Hite-二(JT>0)1則戶'(x)=一加二一2,令"(x)=O,從而得x=c~\當0啜工</￡忖，d>o,雙幻單隔遞增】當時，/“￥)<0,p(上｝單調遞減.從而戶口)<p(e")='”?.從……廣【例6】已知函致/(力=十一口Inx-en其中常數(shù)口>己(1)當仃=e時，求函數(shù)了(克)的極值；un若函數(shù)『二/，)有兩個零點，“馬￡0式主]《馬)，求ill：：—<x]<]<x2<al川門求證：/Li—?ehiT一k占0.【解析】U)當以=白時，/(x)=ex-elnx-e?則/'(耳)=--士，易知單調遞增，HJ"U)=O.則當口CHC1時，/'(工)<0,/(幻利駒遞減；當二二1時，f\x)>0,/(x)單調遞增，所也)有極小值/(1)=0,沒有極大植.UJ)先證明了(二)圭0恒成立時，有。<鼻二日成立一若0〈工則/(工)一。(柏工+1)之口恒成立，著二:>[，由，(x)±0,^a￡-——e lnx+1i u”*(In/+1——)個例工)二e,則柄(#=——: K'一.InJt+I (lnx+I)-g(x)=lnx+1--,且'(幻=工+4>0,虱幻單調遞增，且g(l)二口一x Jtx~—<.r<I111tg(jr)<0. <0，妣，)單調通藏；當i#》i時，g(x)>0,-)>0,甲3)單調遞增一所以雙X)用=#(1)二已所以/(I)=e-t7<0,f(a)=e</-a]T]a-a'/"(￡?)=efJ-hit?-2,從而/ff^)=c,J-->c-->0t忻以/,S)二u"—In白—2在(工+工)上單調避增，ae因為/'(a)=efl-Ina-2>eJ-3>0,所以『(4)=￡”一以Ins—4在(1”)上單調遞埔從而/⑷〉/⑹=c"—2d!|]/(幻/(1)<。，所以1M三<2Hda>c.^4/(—)=cd-tiln--t7=ca+alna-a>c,^1/(—)/(!)<0f所以a a '我'—<x,<1.綜上所述，-<xl<l<x2<a(Ill)由<D知,當h=e時,一之。恒成立jHP-elnA>e.設封用二［(x>0),則"⑺二二^一朽0M工<1忖，〃⑴>0,凡一單調遞增：當.>1時,*(工)《0,一行單調遞減一即從而U一名匕所以e*—eln.H之七之,即e”T—亡t1口，一》之0.二、隔離直線在處理不等式的證明問超時,我們以常會逼到兩外函數(shù)的圖象被某條立線隔離的情形一如果我們能夠找到這條11絨，然后再構造兩個差函數(shù)，問題往往能迎刃而解.【例7】若存在實常數(shù)/和乩使得函數(shù)〃幻和以行對其定義域I：的任意實數(shù)工分別滿足：/0)，取+〃和爪”依+人則稱/僦門y=fcr4廿為/<#)和g瓢)的“隔離直線已知應勸=力-^x)=2elnr(其中c為自然對數(shù)的底數(shù)1⑴求F(x)=h(x)-^(x)的極值;(H)函數(shù)可幻和雙幻她否存在隔離直踐？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，清說明理由，【解析】(1)'/F(x)-力(由一中(工)=一一2cIn*(.r>0)TaF\x)=2x--=2^~^^+>/e)當工二小時，F(xiàn)")=0.X X,「當Ovxvje時.F\x)<0>此時函數(shù)/(幻遞減；當，〉W時，F(xiàn)r(x)>0.此時函數(shù)Hx)遞增；二當*=&時，F(xiàn){x}取極小值，其極小值為0.(IIX解法-。由(I)可知函數(shù)出》)和則jr)的圖象在支二a處有公共點.因此若存在網(wǎng)幻和直幻的隔離直線,則該直線過這個公其點.設隔離百戊的斜率為4,則貪戊方程為y—匕=此(犬—忑)+即y;米+由竹(訃之匕十亡一4G(xwJi).nJ得/-kx-弋*k&20當*eR時恒成立vA=(A-2-Te)2+-由AWO,=2Ve.F面證明雙行<2、怎-c當x》0時恒成立.令G(,)=中(力一 +c=2cInx—2\[cx+eT則G(r>在-2心2捉(捉一?當二工人時,<?(工)=0,x x7當0弋冊〈4時,Gr(x)>0,此時函數(shù)C(x)遞增：為二>、忖.G\jcj<().此時函數(shù)行(幻遞減事，當二=及時，GQ)取極大值，其極大值為0.從而G")=2eln.r-2廄x+e<0-即2心-巾田0)恒成立.J函數(shù)網(wǎng)幻和妣X)存在唯一的隔離直線了二2限一￡.睇法一)由⑴可知當月*0時，川乃之則二｝(當且當父=石時取等號).若存在〃(力和例由的隔離直線.則存在實常數(shù)左和/??使得人㈠)之h+不和討(t)M區(qū)+”工>0)恒成立，令x=&$則d“小十力Re<k4i+b十匕=€,即人后面解題步驟同解法一一?■■■?：!■一■>■■■■■■????!■■?■!尋求隔離直線的關鍵是r首先找出兩個函教的公共點，可以采用構造函數(shù)，利用西數(shù)的|I II單調性尋求南數(shù)的零點，得出公共點：其忒將過公共點的直線設成點斜式，代人已知條件，::能同時使兩個不等式恒成立的直線，即為所未隔離直線一叨占■』!■上4占二占占國上口也■ 4國占占4 國E例S1已知函數(shù)人刈三為-ln(x+fl0.當.名2時,求證：/(x)>0.分析二本例的常規(guī)思路是轉化為證明的數(shù)/(x)的最小值丸于口,但在求辱函藪fM=e——L的零點時遇到了困難.轉而現(xiàn)就函數(shù)丁二巳'與丁=1出了+四)的圖象之間x+用的關系(當m=2時如圖1所示，當5m2時如圖2所示)，從中獲取解題思路.【證明】因為y=/在(0J)處的切級方程為y=x+l,.=ln(x+2)L(-LO)處的切線方程為y=h+1-即『=*+1是函數(shù)9二/與函數(shù)y=InCr+2)的公切線一電烈燈二小一了一！.則L當一：>0時,g'⑴>0,儀用單調遞增:當一，(1時p貫X)<。，一力單調遞。一因為g(0)=0,所以F2x+l,當4僅當工=0時取等%所以，除切點(0J)之外，M線y=(/在直線￥=*十1的上方.同理可證：除切點(―1⑼之外，曲線y=ln?十2)在直找+fjt+I的下方一故e'>!n(x+2).而當?n，2,工目(一厘2)時，1M工十峭，ln(x+2)恒成史.故當臂V2時,ex>ln(x+m)，即/(幻>0一本例實屏上是不斷放縮，利用不等式F之x*l2ln(r+2)之In(f+陽)證明/(x)>D.j要熟恚不等式d2五十1及其變科e""/x、cx>cxv1iix<jc-1,hx>l一"-.|ln(H+1)M#FIn(x-1-1)>—]nx<—,Inx>--匚的適用范圍及等號成立的條件，這x4-1c ex;名不等式都是指、對教函數(shù)放綿時常用的不等式.u1■■! man aidii■■ivKaaaa^a口0》■. -Mia? 1Mtaaaaaia ■■■? ._*■aa■.【例9】口知函數(shù)/⑺(i)求曲段八x)在工=i處的切線方程：口1》求證:當了>0時，R'0~->Inx+i(20IS年我徽省太和中學二模試題》【解析】U)對/箕)求導.得/'(犬)=/-2上一由題意設，得/”}=e-2,/U)=e=l,所以曲線/(#)在工=1處的切線方程為y=(匕一分(發(fā)一1)十匕一1,即化一2憂—y才1二0一<n)令第￡)=/r(i),則算’(、)二u—2肖》《In2時，g\x)<0>g]一單調遞減;當xnIi12時，gf(x)>0,黑燈單調遞增，=g(ln2)=/f(ln2)=2-2ln2>0，所以f口)=---在電+砌上酒調遞嘴由于曲線/(#)在*=1的切線方程為y=(c—2H+1.〃l)=c—I,可猜測函數(shù)/(，)的圖象恒在切縫尸=伯一2比十1的」汾.先證明芍時./(x)>(c-2>+l.^h(x)=/(x)-(e-2)x-l(x>OX則T(x)=/—2#-(e—2)，h^x)=e-2當，fln2時,臚(工)<0,成用單謔遞減：x>In2fN,,Aff(x)>0,A'(x)單調遞增.由/“0}=3—e>0,h\]]=^ti0<ln2<l,從而林E2)y0,所以存在^e(0Jn2)t使得磯/)=--從而當時，htx)>0,MR單調通贈：當為￡(通」)時,Af(x)<0,一一單調遞減工當*￡(],+%)時，內燈>口，儀H)單調說姻.因為抑0)=〃(])=0,所以雙工)爸0,即/(幻之(U—2)，41,當工僅當耳廠1時取等號,所映當工>0時，F(xiàn)—V之2―2卜+1,變形可得以港出，乂由于Xx>inrY+L當H僅7K=￥時取等以1證明喀)，所以.十(2：-二二一1三】nK4l.'iJi僅當X=1時取"等號.切域法值得認真探究，若第題是求曲線的M線方程,就需要注意是否運利比筑放嫡法進行故縮解決問題一【例10】對下函數(shù)圖象I.的不同兩點川芭/J,理工心)，如果在函數(shù)圖象上存在點時(%/口)(職中/電(孫巧))使得點M處的切線”MB,則稱宜能以修存在“相依切線”,特別地，”.=n；/時,又稱直線月日存在血中值相依切線”.己虬函數(shù)

f(x)=\nx--ax^bx(.訂H導數(shù)/貝)=0,（I）試用含有口的式?表示8.并求/（幻的單謁區(qū)間;HI）試問；在函數(shù)/（月上是否存在兩點E,使得直線存在“中值相依切線'，？若存在，請求出4、8的坐標；著不存在，請說明理由一E解析】（1》/（行的定義域為（0,+立），\^f,{x}=--ax+b,f,（l）=]-a+b=（）,x群b=n-l.代入，f\x）=一-ax+a-\=-- -.x x當廣?）下。時，—9三一巾‘二"＞（）,由工％0,^（aY+lj（x-l）＜0.X父得Oct＜1,即〃制在（0,1）上單調遞墻當廣（乃＜:0時，_3+lMD＜：0,由K＞0,得+ —l）A0.X星貝＞0,得X＞1,即在（L+功上單調遞減.所以〃力在（02k單調遞增，在口,十兀）匕單調遞減.0D在函數(shù)/*）上不存在的點.4、使得宜線月月存在“中信相依母線"，假設存在兩點*修/[）.8（三,以），不妨設0＜，|Vx「則F