2020-2021學(xué)年樂(lè)山市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析)

2020-2021學(xué)年樂(lè)山市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知命題p：任意久ER,sin%<1,則它的,否定是()

A.存在I€Rsitu21B.任意IeR$in121

c.存在在Rsitu>lD.任意RsiiuNl

2.(8類題)如圖，已知六棱錐P—HBCDEF的底面是正六邊形，1平

面ABC,PA=43AB,則下列結(jié)論正確的是()/

A.PB1AD/

B.平面P4BJ_平面PBC2^---------y

C.直線BC//平面PAE

D.APFB為等邊三角形

3,圓/+y2一6x=0的圓心恰為y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，貝l]p的值為()

A.4B.5C.6D.7

4.下列四個(gè)命題：

①定義在阿0上的函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充要條件是f(a)f(6)<0；

②關(guān)于x的方程/+ax+2=0一根大于1且另一根小于1的充要條件是a<-3；

③直線人與％平行的充要條件是4與％的斜率相等；

222

④已知p：橢圓B+2y2=1的焦點(diǎn)在y軸上，q：雙曲線梟+￡=1的焦點(diǎn)在%軸上，當(dāng)p/\q為真

時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,9,

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

5.已知方=(1,2/)1=(%,1,2)，且0+2方)〃(2)一%)，則%4=()

A.-B.2C.—|D.—1

6.已知直線/為拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，直線AB經(jīng)過(guò)F且與拋物線交于A,B兩

點(diǎn).過(guò)點(diǎn)48做直線1的垂線，垂足分別為C,D,線段CD的中點(diǎn)為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列

命題中錯(cuò)誤的是()

A.CF-DF=0B.=0

C.存在實(shí)數(shù)；l使得力？=AODD.三角形/MB為等腰三角形

7.如圖，在直三棱柱（即1面4BC）中，AC=AB=

AAt=V2,BC=2AE=2,則異面直線/E與&C所成的角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

22

8.已知P為橢圓2+匕=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M為圓G：（%+3）2+y2=1上的

2516

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓C2：。一3/+y2=i上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最大值為（）

A.8B.12C.16D.20

9.兩圓相交于點(diǎn)4（1,3）、兩圓的圓心均在直線x—y+c=0上，則m+c的值為（）

A.3B.2C.0D.-1

10.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為&（5,0）,它的漸近線方程為y=±1x,則該雙曲線的方程為（）

,,2,,222-.2-.22

A.--匕=1B.匕一v土=1C.Y--^=1D.匕一v二=1

169169916916

11.如圖,甲、乙、丙所示是三個(gè)立體圖形的三視圖，與甲乙丙相對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)是（）

①長(zhǎng)方體

A.④②③B.①②③C.③②④D.④②①

12.如圖，點(diǎn)E是矩形4BCD的邊BC上一點(diǎn)，將AABE沿直線AE折起至AAEM,點(diǎn)M在平面4ECD上

的投影為。，平面4EM與平面力ECD所成銳二面角為a,直線MC與平面4ECD所成角為.，若OB=

OC,則下列說(shuō)法正確的是（）

M

D

C.a<2/?D.無(wú)法確定

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.不等式組的解集記為。，有下列四個(gè)命題：其中真命題是____

1%Ly4,

(1)：V(x,y)eD,x+2y>—2

(2)：3(x,y)GD,%+2y>2

(3)：V(x,y)ED,%+2y<3

(4)：%+2y<-1.

14.已知ATIBC的頂點(diǎn)8、c在橢圓1r上,/7上，頂點(diǎn)a是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦

點(diǎn)在BC邊上，貝必4BC的周長(zhǎng)是

15.將6個(gè)半徑都為1的鋼球完全裝入形狀為圓柱的容器里，分兩層放入，每層3個(gè)，下層的3個(gè)小球

兩兩相切且均與圓柱內(nèi)壁相切，則該圓柱體的高的最小值為

2

16.已知雙曲線C；y-y2=1,P,Q是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，P關(guān)于兩焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為4,B(P與焦

點(diǎn)不重合)，線段PQ的中點(diǎn)在雙曲線C上，則MQ|—|BQ|=.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在三棱柱力BC-中，44]i底面743c且△/比為正三角形，A4]=4B=6,為

4c的中點(diǎn)?

(I)求證：直線AB1〃平面BC]D；

(口)求證：平面平面4CC14；(皿)求三棱錐c-Bq。的體積.

18.已知雙曲線C與雙曲線＞2-2/=2有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2,/).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若&,尸2是雙曲線C的左右焦點(diǎn)，過(guò)尸2且傾斜角為30°的直線交雙曲線c于4B兩點(diǎn)，求ANFiB的

面積.

19.如圖，四邊形ABCD中，AB1AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分另U在BC,AD上，

EF//AB,現(xiàn)將四邊形48CD沿EF折起，使平面4BEF_L平面EFDC.

(1)若BE=1,是否在折疊后的線段4D上存在一點(diǎn)P,且羽=APD，使得CP〃平面A8EF?若存在，

求出2的值，若不存在，說(shuō)明理由；

(2)求三棱錐力-CDF的體積的最大值，并求出此時(shí)二面角E-AC-F的余弦值.

20.如圖，拋物線C：必=20刀的焦點(diǎn)為F(l,0),E是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線4B經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸

且與拋物線交于4,8兩點(diǎn)，直線AE,BE分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，記ATlBE,AMNE的面積分

別為S「S2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)高是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)求Si+S2的最小值.

21.如圖，在等腰梯形4BCD中，AB//CD,乙4BC=5BC=CD=CE=1,

EC1平面2BCD,EF'LALP是線段EF上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面BCE1平面4CEF；

(2)求平面P42與平面8CE所成銳二面角。的最小值.

22.在平面直角坐標(biāo)系式。丫中，直線/：y=依+/n(/c>0)交橢圓氏9+、2=1于兩點(diǎn)。，D.

(I)若m=k=且點(diǎn)P滿足稅+說(shuō)+赤=6,證明：點(diǎn)尸不在橢圓E上；

(II)若橢圓E的左，右焦點(diǎn)分別為0,F2,直線/與線段F1F2和橢圓E的短軸分別交于兩個(gè)不同點(diǎn)M,

N,且|CM|=|DN|,求四邊形CF1DF2面積的最小值.

參考答案及解析

1.答案：C

解析:解:命題為全稱命題，則根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，得命題的否定是:存在久GR,sinx>1,

故選：C.

2.答案：D

解析：解：???4D與PB在平面的射影力B不垂直，

a不成立，

又平面P4B1平面PAE,

二平面24B_L平面PBC也不成立；BC〃A。//平面PAD,

直線BC〃平面P4E也不成立.

vPA=陋AB，PA1平面4BC

PF=PB,BF=WAB

為等邊三角形，

故選：D.

利用題中條件，逐一分析答案，通過(guò)排除和篩選，得到正確答案.

本題考查直線與平面成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案:C

解析：解：,圓尤2+y2-6%=0的圓心(3,0),y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)g,0),

圓心恰為*=2px(p>0)的焦點(diǎn)，

???^=3,p=6.

故選：C

圓/+y2-6久=0的圓心(3,0),y2=2p久(p>0)的焦點(diǎn)《,0),兩個(gè)點(diǎn)重合，即可求出P的值.

本題綜合考查了圓，拋物線的幾何性質(zhì)，基礎(chǔ)難度不大，很容易做出來(lái).

4.答案:B

解析：解:①定義在［a,句上的函數(shù)y=/(%)在(a,b)內(nèi)若/(a)f(b)<0,則函數(shù)/(%)有零點(diǎn),反之不

一定成立，比如/(X)=因在［―1,1］存在零點(diǎn)0,但/(—1)/(1)〉0,.?.①錯(cuò)誤；

②若關(guān)于x的方程/+ax+2—。一根大于1且另一根小于1,則設(shè)/(尤)=x2+ax+2,則/'(1)=3+

a<0,即a<—3,.,.②正確；

③若人與％的斜率相等，則直線%與%平行，但%與％的傾斜角為90°時(shí)，滿足兩直線平行，但匕與G的

斜率不存在，.?.③錯(cuò)誤；

21722

④若橢圓2+2y2=1的焦點(diǎn)在y軸上，貝Uo<k—3<；,即3<k<；,若雙曲線3+1二=1的焦

K—3NN2.KK.-4

點(diǎn)在工軸上，則［匕Ho,即0<k<4,

???當(dāng)p/\q為真時(shí)，p，q同時(shí)為真，即FvkV5,解得3<k<g.?.實(shí)數(shù)k的取值范圍是(3,9,.?.④錯(cuò)

(.0<fc<422

誤.

故正確的是②，

故選：B.

①根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷.

②根據(jù)一元二次函數(shù)根的分布進(jìn)行判斷即可.

③根據(jù)直線平行的充要條件，即可判斷.

④根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，以及復(fù)合命題的關(guān)系即可判斷.

本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，考查學(xué)生的綜合知識(shí)的應(yīng)用.

5.答案：B

解析：

本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由位+2及〃(2五—尤)，可得存在實(shí)數(shù)k使得N+2B=k(23一母，利用向量相等即可得出.

解：a+2Z?=(1+2%,4,4+y)>2a—/?=(2—x,3,2y—2)>

(a+2K)//(2a-K).

.,.存在實(shí)數(shù)k使得日+2b=k(2a-b),

1+2x=k(2—%)

4=3fc,解得％=%y=4.

4+y=k(2y-2)

：.x-y=2.

故選：B./

c------------~^TA

6.答案：D-

解析：解：4、由于4B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知一/彳//

拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即C4=AF,DB=BF,

因?yàn)镃、。分別為4、8在I上的射影，所以故A正確；

B、取4B1久軸，則四邊形ABDC為矩形，

則MF在X軸上，故MF14B；不垂直時(shí)可設(shè)4B方程并與拋物線聯(lián)立，可求得MF斜率與4B斜率之積

為-1,故B正確；

C、取481x軸，則四邊形力BDC為矩形，

則可知4。與CB交于原點(diǎn)，故A。過(guò)原點(diǎn)，則C正確；

D、如圖知，若48與x軸不垂直，則四邊形ABDC為梯形，即得4CKBD,

又由CM=MD,ZXCM=ABDM,貝i]AM4BM,則。錯(cuò)誤.

故答案為。.

A、由于4,B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知CF=4F,DF=BF,從而由相等的角，由此可

判斷CF1DF；

B、取4B1久軸，則四邊形4BDC為矩形，不垂直時(shí)可設(shè)力B方程并與拋物線聯(lián)立，可求得MF斜率與

4B斜率之積為-1,則可得結(jié)論；

C、取軸，則四邊形2BDC為矩形，則可得結(jié)論；

。、取力B與％軸不垂直，則四邊形4BDC為梯形，則可得結(jié)論.

本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用拋物線的定義.

7.答案：C

解析：解：取Big.的中點(diǎn)連結(jié)力送1，EQ

根據(jù)勾股定理可得，△ABC是等腰直角三角形，又?：BC=2AE=2,

可得4E為直角三角形斜邊上的中線，

???4E1同樣是斜邊上的中線，「aE〃&NE/iC是異面直線4E與41C所成的角，

AC=AB——AA1=-2,A^B-^-711C1=AB=AC—V2,

4向+=Bi。/,即a/iia?,

]

Rt△i41B1C14?=1,

在正方形4416。中，41c=V2,4___________G

E±C=J"/+E]C/=V3>

22

：.+ErC=ArC,即&E11ECP\

RtA&EiC中，（：05/々力道=兼=aA\\--------:金

???異面直線4E與&C所成的角是60。.

故選：C.

取B16的中點(diǎn)位，連結(jié)EQ由4E〃&Ei，得NEiAC是異面直線4E與&C所成的角，由此能

求出異面直線力E與&C所成的角.

本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空

間想象能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

8.答案：B

解析：

本題考查橢圓的定義、方程和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意定義法和圓的性質(zhì)的合理

運(yùn)用，屬于中檔題.

由題設(shè)知橢圓E+藝=1的焦點(diǎn)分別是兩圓(久+3)2+y2=1和(久一3)2+y2=1的圓心，運(yùn)用橢圓

2516

的定義,由此能求出|PM|+|PN|的最大值為2a+2.

22

解：依題意，橢圓匕=1的焦點(diǎn)為(-3,0),(3,0),

2516

分別是兩圓(久+3)2+y2=1和(x—3)2+y2=1的圓心，

所以(|PM|+\PN\)max=\PC.\+\PC2\+2

=2x5+l+l=12,

故選：B.

9.答案:A

解析：試題分析：由圓的知識(shí)可知公共弦的垂直平分線過(guò)兩圓的圓心，0中點(diǎn)為□代入直線得

S，□

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：兩圓相交時(shí)，兩圓心的連心線是公共弦的垂直平分線

10.答案：C

解析：解：???雙曲線的漸近線方程為y=±:X,即W—[=0，

22

.?.對(duì)應(yīng)的雙曲線方程為菅—工=/UK0,

,??雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為&(5,0),

c=5,且4>0,

?7

則A"

貝UM=92,b2=16A,

則=9A+16a=25A=25,

則a=1,

27

即雙曲線的方程為二—匕=1,

916

故選:C

根據(jù)雙曲線的漸近線方程，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.

本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出漸近線方程，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求

解是解決本題的關(guān)鍵.

11.答案：A

解析：解：根據(jù)幾何體的三視圖知,

甲是圓柱，乙是圓錐，丙是三棱錐;

則甲乙丙對(duì)應(yīng)的序號(hào)是④②③.

故選：A.

根據(jù)幾何體的三視圖得出與甲乙丙相對(duì)應(yīng)的幾何體.

本題考查了根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

12.答案：A

解析:解：當(dāng)OB=0c時(shí),NMB。=Z.MC0=

設(shè)B。交力E于F,貝ijAE1MF,乙MFO=a,

又由于BF=MF,???乙MBF=ZFMF=/?,

2/3=a,

故選：A.

利用幾何體判斷a,￡的對(duì)應(yīng)角，然后判斷大小

即可,

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系、直線與平面所成角，二面角等立體幾何知，考查考生空間想

象能力和作圖能力，屬于中檔題.

13.答案：(1)(2)

解析：解：作出不等式組

(x+y>1

表示的區(qū)域:

(%—2y<4

由圖知，區(qū)域D為直線x+

y=1與x-2y=4相交的

上部角型區(qū)域，

顯然，區(qū)域。在x+2yN

-2區(qū)域的上方，故(1)：

V(x,y)eD,x+2y>-2

成立.

由圖知，在直線比+2y=2的右上方區(qū)域，：3(%,y)eD,x+2y>2,

故(2”Q,y)e。，x+2y22正確.

由圖知，03：V(x,y)eD,久+2yW3錯(cuò)誤.

x+2y<-1的區(qū)域(左下方的虛線區(qū)域)恒在區(qū)域。下方，

同理，P4：3(^,y)GD,x+2y<-l錯(cuò)誤.

綜上所述，⑴、(2)正確,

故答案為：(1)(2).

作出不等式組『十；的表示的區(qū)域D,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.

(%—zy<4

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于難題.

14.答案：4收

解析：試題分析：由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,

可得△ABC的周長(zhǎng)為4a=4收，所以，答案為4格.

考點(diǎn)：橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，涉及橢圓的焦點(diǎn)弦時(shí)，往往要運(yùn)用橢圓的定義。

15.答案：2+辿

3

解析：解：上面三個(gè)球的球心所在平面EFG與下面三個(gè)球的球心所在平面力BC平行,

且平面EFG與圓柱上底面的距離為1,平面力BC與圓柱下底面距離為1,

如圖：

E

△ABC與AFFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)上下底面的中心分別為01，02,

連接。1。2，則。1。2為平面4BC與平面EFG的距離，

取FG中點(diǎn)M,則AM=W，EM=V3,M01=y,

取BC中點(diǎn)K,連接4K,貝Uz02=竽，可得4N=A。？一MO1=日，

...010?=MN=J（百尸一（當(dāng)2=乎，

則該圓柱體的高的最小值為2+2.

3

故答案為：2+辿.

3

通過(guò)分析，可知上面三個(gè)球的球心所在平面EFG與下面三個(gè)球的球心所在平面力BC平行，且平面EFG

與圓柱上底面的距離為1,平面力8c與圓柱下底面距離為1,再求出平面A8C與平面EFG的距離，即

可求得圓柱體的高的最小值.

本題考查圓柱內(nèi)切球有關(guān)的問(wèn)題，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，難度較大.

16.答案：+4V3

\BQ\=2\MF2\,

.■.\AQ\-\BQ\=2(<\MF1\-\MF2\),

???點(diǎn)M在雙曲線上，

\MF±\-\MF2\=±2百，

???\AQ\-|BQ|=±4V3.

故答案為：±4舊.

設(shè)PQ的中點(diǎn)為M,作出示意圖，結(jié)合雙曲線的定義及中位線的性質(zhì)即可得解.

本題考查雙曲線的定義及三角形中位線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：（/）證明：連接B：C交BC：于點(diǎn)0,連接0D,則點(diǎn)0為時(shí)的中點(diǎn)，

為AC中點(diǎn)，得D0為，18c中位線，，43OD，

?：ODu平面44c二平面直線AB：〃平面BC：D;

（〃）證明：..,區(qū)4一底面以灰7,.?.14-BD，

...底面.13。正三角形，D是AC的中點(diǎn)/.BD1AC>

必r\AC=A，二BD_L平面ACC：&，?:BDu平面BCQ,二平面一平面4CG4

（/〃）：9點(diǎn).

解析：解：

。）證明：連接B：C交g于點(diǎn)0,連接0D,則點(diǎn)。為B：C的中點(diǎn)，

；D為AC中點(diǎn)，得D0為爪15。中位線，」.43OD，

?.?ODu平面典;平面H5。,直線AB：〃平面BC-D;

（〃）證明：：W4-底面H3C,「.W&_BD，

..?底面H8C正三角形，D是AC的中點(diǎn).'.BD±AC>

^<ic/c=A，/.BDJ?平面ACCA>?:BDU平面BCQ,二平蒯G。一平面4cq.4；

1

（/〃）由（2）知△4BC中，BD_LAC,BD=BCsin60°=3\l；3'，，$=,X3X3,

=Vr.Dn=—0-^^'6=9V3.

又CC：是底面BCD上的高，--ayu?_—w；su32*

18.答案：解：（1）由題意，設(shè)所求雙曲線方程為y2—2/=3

代入點(diǎn)M（2,&）,可得4=-6,

則所求雙曲線的方程為史-加=1.

36

（2）由雙曲線的方程得&（一3,0）,尸2（3,0），

,?,直線的傾斜角為30。，

.??直線4B的方程為y=一3）,

代入到匕—藝=1,消y可得5久2+6%-27=0,

36

設(shè)力（久1，乃），8（久2，%），

,627

%1+%2=―，X1X2=一g，

\AB\=Jl+|-+叼）2—4叼久2=

設(shè)Fl到直線4B的距離為d,貝Ud=L3一丁31=3,

的面積S=||aB|-d=1x警x3=等

解析：（1）由題意，設(shè)所求雙曲線方程為*-2/=九代入點(diǎn)”（2,a）,可得2=-6,問(wèn)題可得，

（2）根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定

理，可計(jì)算MB|,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出d,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，三角形的面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算

BE=1,可得F(0,0,0),4(0,0,1),D(0,5,0),C(2,3,0).

可得平面2BEF的法向量為麗=(0,5,0).

■.■AP^APD，.-.FP=^-FA+^-FD=*(0,0,1)+*(0,5,0)=(。,言擊)

???P(哈，擊)，

二方=(—2,爭(zhēng)，告)，則方,而=%2=°，解得2=

1+A1+A1+Az

.??線段4。上存在一點(diǎn)P(0,3,|),且布=|前，使得CP〃平面48EF.

(2)設(shè)BE=a,AF=a(0<a<4),FD=6-a.

???V三棱錐A-CFD=|xaxjx2x(6-a)=|a(6-a)<|x(生尸/=3)當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)取等號(hào).

???當(dāng)a=3時(shí)，三棱錐4-CDF的體積有最大值3.

可得4(0,0,3),D(0,3,0),C(2,l,0),E(2,0,0),

.,.荏=(2,0,—3)，前=(2,1,—3),同=(0,0,3),而=(2,1,0).

設(shè)平面4CE的法向量為沅=(比1，%,21),則m-AC=0

~m-~AE=0

(2x+yi—3zi=0

r,令％i=3,解得力=0,Zi=2,

(2x1—3zr=0

.?.m=(3,0,2).

設(shè)平面acF的法向量為元=(如月多)，則性巨=°

(n-FC=0

同理可得元=(1,—2,0),

,―>—、m-n33A/65

.-.cos<m,n>=—=7^==—,

二面角E-AC-F的余弦值為逅.

65

解析：(1)由EF//4B,ABA.AD,可得EF1AF,EF1FD,折起后平面力BEF1平面EFDC,可得力F1

平面EFDC,假設(shè)線段力。上存在一點(diǎn)P,且Q=APD，使得CP〃平面4BEF,若BE=1,可得平面力BEF

的法向量為麗=(0,5,0).由布=44，可得麗=展而+擊的可得方，利用衣?麗，解得2即

可判斷出.

(2)設(shè)BE=a,可得4F=a(0<a<4),FD=6-a..V^^A_CPD=|xax|x2x(6-a),利用基

本不等式的性質(zhì)可得：當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)取等號(hào).三棱錐4-CDF的體積有最大值.設(shè)平面4CE的法

向量為記=(/,%0),利用口||二；，可得沆設(shè)平面4CF的法向量為元，同理可得元，利用cos<

萬(wàn)，元>=晶即可得出.

本題考查了線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用向量垂直與數(shù)

量積的關(guān)系及平面的法向量的夾角求出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)

算能力，屬于中檔題.

20.答案：解:(1)拋物線C：y2=2Px的焦點(diǎn)為F(l,0),

即有］=1,即p=2,可得拋物線的方程為必=軌；

(2)由已知可得F(l,0),由于直線4B的斜率不可能為0,

可設(shè)力B：x=my+1,聯(lián)立I消去x可得y?—4my-4=0,

設(shè)8(%2，丫2)，則為+丫2=4徵,月丫2二一4，

2

所以Si=1\EF\-|yi-y2l=|x2xJ(%+%)2—4yly2=4V1+m,

2

而=%i+犯+2=my1+1+my2+1+2=m(y1+y2)+4=4(1+m),

所以爵=4(定值)；

I2101

(3)直線4E：y=^(x+l),可得M(0,等同理可得N(0,焉)，

所以S2=^xlx|^——=i|^------^|,

111

小42x2+lXt+12my2+2桃n+2”

即S=I.2--I=——=1

2>222?

2my1y2+2m(y1+y2)+4|-4m+8m+4|Vl+m

所以Si+S=4V1+m2+-r==,

2Vl+m2

令71+*=>1),則S］+S2=4t+p

設(shè)/⑷=4t+/t21,廣⑷=4>0,即/??)在［l,+8)遞增,

可得Si+S2>5,

故&+S2的最小值為5,此時(shí)直線1無(wú)軸.

解析：(1)由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得(=1,解得p,可得拋物線的方程；

(2)設(shè)4B的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，消去無(wú)，可得y的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的面積

公式，結(jié)合拋物線的定義可得|4B|,相除，可得定值；

(3)求得直線2E的方程，求得M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合換元法和

對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得所求最小值.

本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和拋物線

的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查三角形的面積公式和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，突出考查方程思想和

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)證明：在等腰梯形ABCD中，

TTX

???AB11CD,^ABC=BC=CD=1,、

3*r/\!\

I___

AB=2,

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos-=3,<>

3

■■.AB2=AC2+BC2,故ACLBC,

EC1平面ABCD,

EC1AC,

又ECClBC=C,ECu平面BCE,BCu平面BCE,

AC_L平面BCE,

又力Cu平面力CEF,

平面8CE_L平面ACEF；

(2)由(1)可知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線C4,CB,CE分別為%軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

令EP=2(0<2<V3),則C(0,0,0),4(8,0,0),5(0,1,0),P(2,0,1),

AB=(-V3,1,0),BP=(A,-1,1).

設(shè)平面P4B的一個(gè)法向量為南=(久,y,z),貝4千.絲=_禽乂+?=0,可取沅=(1,怖,g