七級(jí)數(shù)學(xué)思維探究（9）絕對(duì)值與方程含試卷分析詳解

商高是公元前世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)家，當(dāng)時(shí)中國(guó)正在處于奴隸制社會(huì)的西周時(shí)期，數(shù)學(xué)研究還處于非常初級(jí)的階段．商高最大的成就是在世界上第一個(gè)提出了勾股定理，在我國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高和周公的一段對(duì)話．商高：“故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”即當(dāng)直角三角形的兩直角邊分別為和時(shí)，直角三角形的斜邊就是，勾股定理在西方被叫做畢達(dá)哥拉斯定理，是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的．9．絕對(duì)值與方程解讀課標(biāo)絕對(duì)值是數(shù)學(xué)中活性較高的一個(gè)概念，當(dāng)這一概念與其他概念結(jié)合就生成許多新的問(wèn)題，如絕對(duì)值方程、絕對(duì)值不等式、絕對(duì)值函數(shù)等．絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫絕對(duì)值方程，解絕對(duì)值方程的基本方法是：去掉絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的方程求解．其基本類(lèi)型有：1．最簡(jiǎn)絕對(duì)值方程形如是最簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程，可化為兩個(gè)一元一次方程與．2．含多重或多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的復(fù)雜絕對(duì)值方程這類(lèi)方程常通過(guò)分類(lèi)討論法、絕對(duì)值幾何意義轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)絕對(duì)值方程和一般方程而求解．問(wèn)題解決例1方程的解是________．試一試原方程變形為，再把此方程化為一般方程求解．例2若關(guān)于的方程無(wú)解，只有一個(gè)解，有兩個(gè)解，則，，的大小關(guān)系為（）．A．B．C．D．試一試從方程有解的條件入手．例3解下列方程：（1）；（2）；（3）．試一試對(duì)于（1），從內(nèi)向外，運(yùn)用絕對(duì)值定義、性質(zhì)簡(jiǎn)化方程；對(duì)于（2）、（3）運(yùn)用零點(diǎn)分段討論法去掉絕對(duì)值方程；需要注意的是，方程（3）利用絕對(duì)值幾何意義可獲得簡(jiǎn)解．例4如圖，數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為、，已知與互為相反數(shù)．點(diǎn)為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（1）若點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)以每分鐘個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)以每分鐘個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每分鐘個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)幾分鐘時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等？試一試由絕對(duì)值的幾何意義建立關(guān)于的絕對(duì)值方程．例5討論關(guān)于的方程的解的情況．分析與解與方程中常數(shù)、有依存關(guān)系，這種關(guān)系決定了方程解的情況．故尋求這種關(guān)系是解本例的關(guān)鍵，利用分類(lèi)討論法或借助數(shù)軸是尋求這種關(guān)系的重要方法與工具．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到數(shù)軸上表示數(shù)和的點(diǎn)的距離和的最小值為，由此可得原方程的解的情況是：（1）當(dāng)時(shí)，原方程有兩解；（2）當(dāng)時(shí)，原方程有無(wú)數(shù)解；（3）當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解．?dāng)?shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1．若是方程的解，則_______；又若當(dāng)時(shí)，則方程的解是_____．2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．3．如果，那么的值為_(kāi)_______．4．已知關(guān)于的方程的解滿(mǎn)足，則的值為（）．A．或B．或C．或D．或5．若，則等于（）．A．或B．或C．或D．或6．方程的解的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè)B．個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè)D．不確定7．解下列方程（1）；（2）；（3）；（4）．8．求關(guān)于的方程的所有解的和．9．解方程．10．已知、、、都是整數(shù)，且，則_______．11．若、都滿(mǎn)足條件，且，則的取值范圍是_______．12．滿(mǎn)足方程的所有的和為_(kāi)_______．13．若關(guān)于的方程有三個(gè)整數(shù)解，則的值為（）A．B．C．D．14．方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（）A．B．C．D．15．若是方程的解，則等于（）A．B．C．D．16．解下列方程（1）；（2）．17．當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，關(guān)于的方程有一解？有無(wú)數(shù)多個(gè)解？無(wú)解？應(yīng)用探究樂(lè)園18．如圖，若點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，且，滿(mǎn)足．（l）求線段的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，且是方程的解，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）在（1）、（2）的條件下，點(diǎn)，，開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分剮以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過(guò)后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．請(qǐng)問(wèn)：的值是否隨著時(shí)間的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其常數(shù)值．19．已知，求的最大值和最小值．微探究從三階幻方談起相傳大禹在治洛水的時(shí)候，洛水神龜獻(xiàn)給大禹一本洛書(shū)，書(shū)中有如圖所示的一幅奇怪的圖，這幅圖用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)，就是一個(gè)階幻方，也就是在的方陣中填入，其中每行、每列和兩條對(duì)角線上數(shù)字和都相等．現(xiàn)在人們已給出一般三階幻方的定義：在的方陣圖中，每行、每列、每條對(duì)角線上個(gè)數(shù)的和都相等，就稱(chēng)它為三階幻方．可以證明三階幻方以下基本性質(zhì)：（1）在的方格中填入個(gè)不同的數(shù)，使得各行各列及兩條對(duì)角線上個(gè)數(shù)的和都相等，且為，若最中間數(shù)為，則．（2）在三階幻方中，每個(gè)數(shù)都加上一個(gè)相同的數(shù)，仍是一個(gè)三階幻方．（3）在三階幻方中，每個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)，仍是一個(gè)三階幻方．解三階幻方問(wèn)題，常需恰當(dāng)引元，運(yùn)用三階幻方定義、性質(zhì)，整體核算等方法求解．例1如圖①，有個(gè)方格，要求在每個(gè)方格填入不同的數(shù)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和都相等．問(wèn)：圖中左上角的數(shù)是多少？試一試雖然問(wèn)題要求的只是左上角的數(shù)，但是問(wèn)題的條件還與其他的數(shù)相關(guān)．故為充分運(yùn)用已知條件，需引入不同的字母表示數(shù)（如圖②）．例2如圖，在的方格表中填入九個(gè)不同的正整數(shù)：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三個(gè)數(shù)的和都相等，請(qǐng)確定的值，并給出一種填數(shù)法．試一試如下頁(yè)圖，引入不同字母表示數(shù)，表中各行、各列三數(shù)的和都是相等的正整數(shù)，即為正整數(shù)，又，從估計(jì)和的最小值入手．整體核算法整體核算法即將問(wèn)題中的一些對(duì)象看作一個(gè)整體，觀察、分析問(wèn)題中的題設(shè)與結(jié)論之間的整體特征和結(jié)構(gòu)，從整體上計(jì)算、推理．例3如圖①，、、、、、、、、分別代表，，，，，，，，中某一個(gè)數(shù)，不同字母代表不同的數(shù)，使每個(gè)小圓內(nèi)個(gè)數(shù)的和都相等，那么的值是多少？分析與解設(shè)這個(gè)相等的和是，現(xiàn)將這個(gè)小圓中個(gè)數(shù)求和，可得：，故．先從所在的小圓看，至少是，最多只能是，再?gòu)乃诘男A看，最多只能是，由于，所以必須，，由此可以求得圖②．對(duì)照?qǐng)D①與圖②中各數(shù)的位置，可看到．當(dāng)然也可以有另一解法．將含、含、含、含、含與含的個(gè)小圓內(nèi)個(gè)數(shù)求和，可得：，即，所以．練一練1．將到這個(gè)自然數(shù)填入圖中的個(gè)圓圈中，每個(gè)數(shù)只能用一次，且使每一條直線上的三個(gè)數(shù)的和相同，則中間的圓圈中的數(shù)是_______，對(duì)應(yīng)的每一條直線上的個(gè)數(shù)的和是_______．2．請(qǐng)構(gòu)造“幻角”，將這個(gè)整數(shù)填入圖中的小三角形內(nèi)（和已填好），使圖中每個(gè)大三角形內(nèi)四數(shù)之和都等于．3．請(qǐng)將，，，，，，，，，這個(gè)數(shù)分別填入圖中方陣的個(gè)空格，使行、列、條對(duì)角線上的個(gè)數(shù)的和都是．4．如圖，、、、、、均為有理數(shù)，圖中各行各列及兩條對(duì)角線上的和都相等，求的值．5．如圖是一個(gè)的幻方，當(dāng)空格填上適當(dāng)?shù)臄?shù)后，每行、每列以及對(duì)角線上的和都是相等的，求的值．6．圖中顯示的填數(shù)“魔方”只填了一部分，將下列個(gè)數(shù)：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及對(duì)角線上各數(shù)相乘的積相等，求的值．7．幻方第一人幻方，相傳最早見(jiàn)于我國(guó)的“洛書(shū)”，如圖①，洛書(shū)中行、列以及條對(duì)角線上的點(diǎn)數(shù)之和都等于，是一種“階幻方”（如圖②）．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝是對(duì)幻方從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行系統(tǒng)研究的第一人，他在《續(xù)古摘奇算法》一書(shū)中給出從階到階的幻方，并對(duì)一些低階幻方介紹了構(gòu)造方法，其中運(yùn)用了對(duì)稱(chēng)思想．例如，用，，，…，構(gòu)造階幻方的方法是：先將，，，…，依次排成圖③，然后以外四角對(duì)換，即與對(duì)換，與對(duì)換，再以?xún)?nèi)四角對(duì)換……請(qǐng)你在圖④中填寫(xiě)用這種“對(duì)換”方法得出的階幻方．8．把數(shù)字，，，…，分別填入圖中的個(gè)圈內(nèi)，要求三角形和三角形的每條邊上三個(gè)圈內(nèi)數(shù)字之和都等于．（1）給出一種符合要求的填法；（2）共有多少種不同填法？證明你的結(jié)論．微探究商品的利潤(rùn)商品的利潤(rùn)涉及商品進(jìn)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率、打折銷(xiāo)售等名詞術(shù)語(yǔ)，理解相關(guān)概念并熟悉它們之間的關(guān)系是解這類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)．（1）；（2）利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；（3）售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×（利潤(rùn)率）．例1一家商店將某件商品按成本價(jià)提高后，標(biāo)價(jià)為元，又以折出售，則售出這件商品可獲利潤(rùn)_______元．試一試從求出成本價(jià)切入．例2某商店出售某種商品每件可獲利元，利潤(rùn)率為．若這種商品的進(jìn)價(jià)提高，而商店將這種商品的售價(jià)提高到每件仍可獲利元，則提價(jià)后的利潤(rùn)率為（）．A．B．C．D．試一試?yán)毛@利不變建立方程．例3某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商開(kāi)發(fā)一套房子的成本隨著物價(jià)上漲比原來(lái)增加了，為了賺錢(qián)，開(kāi)發(fā)商把售價(jià)提高了倍，利潤(rùn)率比原來(lái)增加了，求開(kāi)發(fā)商原來(lái)的利潤(rùn)率．試一試因售價(jià)=成本×（利潤(rùn)率），故還需設(shè)出成本．例4某超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，規(guī)定如下：（1）若一次購(gòu)物少于元，則不予優(yōu)惠；（2）若一次購(gòu)物滿(mǎn)元，但不超過(guò)元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；（3）若一次購(gòu)物超過(guò)元，其中元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)元部分給予折優(yōu)惠．小明兩次去該超市購(gòu)物，分別付款元與元．現(xiàn)在小亮決定一次去購(gòu)買(mǎi)小明分兩次購(gòu)買(mǎi)的同樣多的物品，他需付款多少？分析與解第一次付款元，可能是所購(gòu)物品的實(shí)價(jià)，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款，故應(yīng)分兩種情況加以討論．情形l當(dāng)元為購(gòu)物不打折付的錢(qián)時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為元，又，其中元為購(gòu)物元打九折付的錢(qián)，元為購(gòu)物打八折付的錢(qián)，（元）．因此，元所購(gòu)物品的原價(jià)為（元），于是購(gòu)買(mǎi)小明花（元）所購(gòu)的全部物品，小亮一次性購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付（元）．情形2當(dāng)元為購(gòu)物打九折付的錢(qián)時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為（元）．仿情形1的討論，購(gòu)（元）物品一次性付款應(yīng)為（元）．練一練1．某商品的進(jìn)價(jià)為元，售價(jià)為元，則該商品的利潤(rùn)率可表示為_(kāi)______．2．某商店老板將一件進(jìn)價(jià)為元的商品先提價(jià)，再打八折賣(mài)出，則賣(mài)出這件商品所獲利潤(rùn)為_(kāi)______元．3．某商場(chǎng)推出全場(chǎng)打八折的優(yōu)惠活動(dòng)，持貴賓卡可在八折基礎(chǔ)上繼續(xù)打折，小明媽媽持貴賓卡買(mǎi)了標(biāo)價(jià)為元的商品，共帶省元，則用貴賓卡又享受了_______折優(yōu)惠．4．某商品的價(jià)格標(biāo)簽已丟失，售貨員只知道“它的進(jìn)價(jià)為元，打七折售出后，仍可獲利”，你認(rèn)為售貨員應(yīng)標(biāo)在標(biāo)簽上的價(jià)格為_(kāi)_______．5．一商場(chǎng)對(duì)某款羊毛衫進(jìn)行換季打折銷(xiāo)售，若這款羊毛衫每件按原銷(xiāo)售價(jià)的八折銷(xiāo)售，售價(jià)為元，則這款羊毛衫每件的原銷(xiāo)售價(jià)為_(kāi)______元．6．甲用元購(gòu)買(mǎi)了一些股票，隨即他將這些股票轉(zhuǎn)賣(mài)給乙，獲利．而后乙又將這些股票反賣(mài)給甲，但乙損失了，最后甲按乙賣(mài)給甲的價(jià)格的九折將這些股票賣(mài)給了乙．若上述股票交易中的其他費(fèi)用忽略不計(jì)，則甲（）．A．盈虧平衡B．盈利元C．盈利元D．虧損元7．年爆發(fā)的世界金融危機(jī)，是自世紀(jì)年代以來(lái)世界最嚴(yán)重的一場(chǎng)金融危機(jī)，受金融危機(jī)的影響，某商品原價(jià)為元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為元，下列所列方程正確的是（）．A．B．C．D．8．某商店出售某種商品每件可獲利元，利潤(rùn)率為．若這種商品的進(jìn)價(jià)提高，而商店將這種商品的售價(jià)提高到每件仍可獲利元，則提價(jià)后的利潤(rùn)率為（）．A．B．C．D．9．某種商品的進(jìn)價(jià)為元，出售標(biāo)價(jià)為元，后來(lái)由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷(xiāo)售，但要保證利潤(rùn)率不低于，則最多可打（）．A．新B．折C．折D．折10．某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定：①如一次購(gòu)物不超過(guò)元，則不予折扣；②如一次購(gòu)物超過(guò)元但不超過(guò)元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；③如一次購(gòu)物超過(guò)元，則其中元按第②條給予優(yōu)惠，超過(guò)元的部分則給予八折優(yōu)惠．某人兩次去購(gòu)物，分別付款元和元，如果他只去一次購(gòu)買(mǎi)同樣的商品，則應(yīng)付款是（）．A．元B．元C．元D．元11．某商場(chǎng)用元購(gòu)進(jìn)、兩種新型節(jié)能臺(tái)燈共盞，這兩種臺(tái)燈的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表所示：類(lèi)別價(jià)格型型進(jìn)價(jià)（元/盞）標(biāo)價(jià)（元/盞）（1）這兩種臺(tái)燈各購(gòu)進(jìn)多少盞？（2）若型臺(tái)燈按標(biāo)價(jià)的九折出售，型臺(tái)燈按標(biāo)價(jià)的八折出售，那么這批臺(tái)燈全部售完后，商場(chǎng)共獲利多少元？12．某公司銷(xiāo)售、、三種產(chǎn)品，在去年的銷(xiāo)售中，高新產(chǎn)品的銷(xiāo)售金額占總銷(xiāo)售金額的．由于受?chē)?guó)際金融危機(jī)的影響，今年、兩種產(chǎn)品的銷(xiāo)售金額都將比去年減少，因而高新產(chǎn)品是今年銷(xiāo)售的重點(diǎn)．若要使今年的總銷(xiāo)售金額與去年持平，問(wèn)：今年高新產(chǎn)品的銷(xiāo)售金額應(yīng)比去年增加多少？13．某大型超市元旦假期舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定一次購(gòu)物不超過(guò)元的不給優(yōu)惠，超過(guò)元而不超過(guò)元時(shí)，按該次購(gòu)物全額折優(yōu)惠，超過(guò)元的其中元仍按折優(yōu)惠，超過(guò)部分按折優(yōu)惠．小美兩次購(gòu)物分別用了元和元，現(xiàn)小麗決定一次購(gòu)買(mǎi)小美分兩次購(gòu)買(mǎi)的同樣的物品，那么小麗應(yīng)該付款多少元？微探究多變的行程問(wèn)題行程問(wèn)題按運(yùn)動(dòng)方向可分為相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題；按運(yùn)動(dòng)路線可分為直線形問(wèn)題、環(huán)形問(wèn)題等．相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題是最基本的類(lèi)型，它們的特點(diǎn)與常用的等量關(guān)系如下：1．相遇問(wèn)題其特點(diǎn)是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=兩地之間的距離．2．追及問(wèn)題其特點(diǎn)是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運(yùn)動(dòng)，由于位置或者出發(fā)時(shí)間不同，造成一前一后，又因?yàn)樗俣鹊牟町愂沟煤笳咦罱K能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=兩地之間的距離．例1（1）在公路上，汽車(chē)、、分別以、、的速度勻速行駛，從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)，、從乙站開(kāi)往甲站．在與相遇小時(shí)后又與相遇，則甲、乙兩站相距_____．（2）小王沿街勻速行走，他發(fā)現(xiàn)每隔從背后駛過(guò)一輛路公交車(chē)；每隔迎面駛來(lái)一輛路公交車(chē)．假設(shè)每輛路公交車(chē)行駛速度相同，而且路總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車(chē)，那么，發(fā)車(chē)的間隔時(shí)間為_(kāi)______．試一試對(duì)于（2），“背后駛過(guò)與迎面駛來(lái)”，其實(shí)質(zhì)就是追及與相遇，距離是同向行駛的相鄰兩車(chē)的間距．例2（1）一艘輪船從港到港順?biāo)叫?，需小時(shí)，從港到港逆水需小時(shí)，若在靜水條件下，從港到港需（）小時(shí)．A．B．C．D．（2）甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)、同時(shí)沿正方形的邊開(kāi)始移動(dòng)．甲點(diǎn)依順時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，若乙的速度是甲的速度的倍，則它們第次相遇在邊（）．A．上B．上C．上D．上試一試對(duì)于（2），設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，甲的速度為，相遇時(shí)甲行的路程為，利用“相遇時(shí)甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等”建立方程，把用的代數(shù)式表示．例3有甲、乙兩輛小汽車(chē)模型，在一個(gè)環(huán)形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙．如果它們從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔分鐘相遇一次．現(xiàn)在，它們從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿相同方向行駛，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，乙已經(jīng)行駛了圈，此時(shí)它們行駛了多少分鐘？試一試當(dāng)甲追上乙時(shí)，甲行駛了多少圈？由此可導(dǎo)出甲、乙的速度之比．例4甲、乙二人分別從、兩地同時(shí)出發(fā)，在距離地千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)按原方向、原速度前進(jìn)，當(dāng)他們分別到達(dá)地、地后，又在距地千米處相遇，求、兩地相距多少千米？解法一第一次相遇時(shí)，甲、乙兩人所走的路程之和，正是、兩地相距的路程，即當(dāng)甲、乙合走完、間的全部路程時(shí)，乙走了千米，第二次相遇時(shí)，兩人合走的路程恰為兩地間距離的倍（如圖，圖中實(shí)線表示甲所走路程，虛線表示乙所走路線），因此，這時(shí)乙走的路程應(yīng)為（千米）．考慮到乙從地走到后又返回了千米，所以、兩地間的距離為（千米）．解法二甲、乙兩人同時(shí)動(dòng)身，相向而行，到相遇時(shí)兩人所走時(shí)間相等，又因?yàn)閮扇硕甲鰟蛩龠\(yùn)動(dòng)，應(yīng)有：兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時(shí)間走過(guò)的路程亦成正比例．到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．設(shè)全程為，易得到下列方程，解得，（舍去），所以、兩地相距千米．解法三設(shè)全程為千米，甲、乙兩人速度分別為，．則，①÷②得，解得或（舍去）．乘車(chē)方案例5老師帶著兩名學(xué)生到離學(xué)校千米遠(yuǎn)的博物館參觀，老師乘一輛摩托車(chē)，速度為千米／時(shí)，這輛摩托車(chē)后座可帶乘一名學(xué)生，帶人速度為千米／時(shí)，學(xué)生步行的速度為千米／時(shí)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使師生三人同時(shí)出發(fā)后到達(dá)博物館的時(shí)間都不超過(guò)個(gè)小時(shí)．分析若能使人車(chē)同時(shí)到達(dá)目的地，則時(shí)間最短，而要實(shí)現(xiàn)“同時(shí)到達(dá)”，必須“機(jī)會(huì)均等”，即兩名同學(xué)平等享受交通工具，各自乘車(chē)的路程相等，步行的路程也相等，這是設(shè)計(jì)方案的關(guān)鍵．解要使師生三人都到達(dá)博物館的時(shí)間盡可能短，可設(shè)計(jì)如下方案：設(shè)學(xué)生為甲、乙二人．乙先步行！，老師帶甲乘摩托車(chē)行駛一定路程后，讓甲步行，老師返回接乙，然后老師搭乘乙，與步行的甲同時(shí)到達(dá)博物館．如圖，設(shè)老師帶甲乘摩托車(chē)行駛了千米，用了小時(shí)，比乙多行了（千米）．這時(shí)老師讓甲步行前進(jìn)，而自己返、回接已，遇到乙時(shí)，用了（小時(shí)）．乙遇到老師時(shí)，已經(jīng)步行了（千米），離博物館還有（千米）．要使師生三人能同時(shí)到達(dá)博物館，甲、乙二人搭乘摩托車(chē)的路程應(yīng)相同，則有，解得．即甲先乘摩托車(chē)千米，用時(shí)小時(shí)，再步行千米，用時(shí)小時(shí)，共計(jì)小時(shí)．因此，上述方案可使師生三人同時(shí)出發(fā)后都到達(dá)博物館的時(shí)間不超過(guò)個(gè)小時(shí)．另解：設(shè)乙先步行的時(shí)間為小時(shí)，步行的路程為，則（千米），此時(shí)老師帶甲走的路程為（千米），老師返回接乙走的路程為．故有，解得，甲乘車(chē)的時(shí)間為（小時(shí)），故甲從學(xué)校到博物館共用（小時(shí)）．練一練1．甲、乙兩人從兩地同時(shí)出發(fā)，若相向而行，則小時(shí)相遇；若同向而行，則小時(shí)甲追及乙，那么甲、乙兩人的速度之比為_(kāi)______．2．一輪船從甲地到乙地順流行駛需小時(shí)，從乙地到甲地逆流行駛需小時(shí)，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小時(shí)．3．甲、乙兩列客車(chē)的長(zhǎng)分別為和，它們相向行駛在平行的軌道上．已知甲車(chē)上某乘客測(cè)得乙車(chē)在他窗口外經(jīng)過(guò)的時(shí)間為秒，那么，乙車(chē)上的乘客看見(jiàn)甲車(chē)在他窗口外經(jīng)過(guò)的時(shí)間是______．4．甲、乙分別自、兩地同時(shí)相向步行，小時(shí)后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／時(shí)，當(dāng)甲到達(dá)地后立刻按原路向地返行，當(dāng)乙到達(dá)地后也立刻按原路向地返行．甲、乙兩人在第一次相遇后小時(shí)分又再次相遇，則、兩地的距離是_______千米．5．甲、乙兩人沿同一路線騎車(chē)（勻速）從到，甲需要分鐘，乙需要分鐘．如果乙比甲早出發(fā)分鐘，則甲出發(fā)后經(jīng)______分鐘可以追上乙．6．甲、乙、丙三人一起進(jìn)行百米賽跑（假定三人均為勻速直線運(yùn)動(dòng)），如果當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙距終點(diǎn)還有米，丙距終點(diǎn)還有米，那么當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙距終點(diǎn)還有______米．7．小李騎自行車(chē)從地到地，小明騎自行車(chē)從地到地，兩人都勻速前進(jìn)．已知兩人在上午時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午時(shí)，兩人還相距千米，到中午時(shí)，兩人又相距千米，求、兩地間的路程．8．目前自駕游已成為人們出游的重要方式．“五一”節(jié)，林老師駕轎車(chē)從舟山出發(fā)，上高速公路途經(jīng)舟山跨海大橋和杭州灣跨海大橋到嘉興下高速，其間用了小時(shí)；返回時(shí)平均速度提高了千米／時(shí)，比去時(shí)少用了半小時(shí)回到舟山．（1）求舟山與嘉興兩地間的高速公路路程；（2）兩座跨海大橋的長(zhǎng)度及過(guò)橋費(fèi)見(jiàn)下表：大橋名稱(chēng)舟山跨海大橋杭州灣跨海大橋大橋長(zhǎng)度千米千米過(guò)橋費(fèi)元元據(jù)浙江省交通部門(mén)規(guī)定：轎車(chē)的高速公路通行費(fèi)（元）的計(jì)算方法為：，其中（元／千米）為高速公路里程費(fèi)，（千米）為高速公路里程（不包括跨海大橋長(zhǎng)），（元）為跨海大橋過(guò)橋費(fèi)，若林老師從舟山到嘉興所花的高速公路通行費(fèi)為元，求轎車(chē)的高速公路里程費(fèi)．9．鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車(chē)人同時(shí)向東行進(jìn)，行人速度為千米／時(shí)，騎車(chē)人的速度為千米／時(shí)，如果有一列火車(chē)從他們背后開(kāi)過(guò)來(lái)，它通過(guò)行人用了秒，通過(guò)騎車(chē)人用了秒．問(wèn)這列火車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)為多少米？10．如圖，甲、乙兩人分別在、兩地同時(shí)相向而行，于處相遇后，甲繼續(xù)向地行走，乙則休息了分鐘，再繼續(xù)向地行走．甲和乙到達(dá)和后立即折返，仍在處相遇．已知甲每分鐘行走米，乙每分鐘行走米，則和兩地相距多少米？11．某單位有人要到千米外的某地參觀，因?yàn)椴叫袝r(shí)速只有千米，為了使他們上午到達(dá)，配備了一輛最多載人名、時(shí)速千米的大客車(chē)．于是早晨時(shí)整出發(fā)，若人員上下車(chē)的時(shí)間不計(jì)，試擬一個(gè)運(yùn)行方案，說(shuō)明步車(chē)如何安排，才能使全體人員在最短時(shí)間內(nèi)全部到達(dá)目的地，并求該地的時(shí)刻，畫(huà)出汽車(chē)往返的運(yùn)行圖．12．、、三輛車(chē)在同一條直路上同向行駛，某一時(shí)刻，在前，在后，在、正中間．分鐘后，追上；又過(guò)了分鐘，追上．問(wèn)再過(guò)多少分鐘，追上?9．絕對(duì)值與方程問(wèn)題解決例1由，得或，所以或．經(jīng)檢驗(yàn)知時(shí)，方程左右兩邊不等，故舍去．從而原方程的解為．例2A，，，由題意得，，，從而，．例3（1）或．原方程化為或，即或．（2）當(dāng)時(shí)，原方程化為，得．當(dāng)時(shí)，原方程化為，得．當(dāng)時(shí)，原方程化為，得．綜上知原方程的解為，，．（3）由絕對(duì)值的幾何意義得原方程的解為．例4（1）；（2）存在，或（3）或數(shù)學(xué)沖浪1．；或2．或；；或3．4．A5．D6．C7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或．8．，，，得，，，，故．9．當(dāng)，原方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩解：或；當(dāng)時(shí)，原方程化為，此時(shí)原方程有四解：；當(dāng)時(shí)，原方程化為，此時(shí)原方程有三解：或或；當(dāng)時(shí)，原方程有兩解：．10．或，又、都是整數(shù)，得，，．當(dāng)，則，即矛盾；若，令，滿(mǎn)足題意；若，令，滿(mǎn)足題意．11．12．13．C14．B由數(shù)軸知，且為偶數(shù)15．D16．（1）或可以得到；（2）．17．由絕對(duì)值幾何意義知：當(dāng)時(shí)，方程有一解；當(dāng)時(shí)，方程有無(wú)窮多個(gè)解，當(dāng)或時(shí)，方程無(wú)解．18．（1），，；（2）存在點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或；（3），為常數(shù)．19．，同理，，得．當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，上面各式等號(hào)成立．又，由得①+②③，，因此，的最大值為，最小值為．從三階幻方談起（微探究）例l由已知條件得：，這樣前面兩個(gè)式子之和等于后面的兩個(gè)式子之和，即，，得．例2與的最小值是，所以，即．而為整數(shù)，且是不同于，，，，，，，的正整數(shù)，故．練一練1．，，；，，設(shè)中間的圓圈中的數(shù)是，同一直線上的個(gè)數(shù)的和是，則，．2．如圖3．如圖：4．由條件得：，，．上述三式相加有，故．5．如圖，由及，得，，從而（注：這個(gè)幻方是可以完成的，如第行為，，；第行為，，；第行為，，）．6．這個(gè)數(shù)的積為，所以每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字積為，得，，，、、、分別為、、、中的某個(gè)數(shù)，推得．7．略8．（1）略（2）顯然有①圖中六條邊，每條邊上三個(gè)圈中之?dāng)?shù)的和為，得．②②-①，得．③把、、每一邊上三圈中之?dāng)?shù)的和相加，得．④聯(lián)立③、④解得，，進(jìn)而．在中三個(gè)數(shù)之和為的僅有，，，所以在、、三處圈內(nèi)，只能填，，三個(gè)數(shù)，共有種不同填法．顯然，當(dāng)這三個(gè)圈中之?dāng)?shù)一旦確定，根據(jù)題目要求，其余六個(gè)圈內(nèi)之?dāng)?shù)也隧之確定，從而得到結(jié)論，共有種不同的填法．商品的利潤(rùn)（微探究）例l設(shè)成本為，則，得，所求利潤(rùn)為（元）．例2C設(shè)原進(jìn)價(jià)為元，提價(jià)后的利潤(rùn)率為，則，解得．例3設(shè)原來(lái)的利潤(rùn)率是，原來(lái)的成本是，