2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第7章立體幾何第6講空間的角與距離第1課時(shí)空間的角和距離問題

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題是指點(diǎn)、線或面位置不確定的一類開放性試題，是高考命題的熱點(diǎn)，常見題型有動(dòng)點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等，主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、線面的位置關(guān)系，常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等以上，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素，因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變的靜態(tài)因素，動(dòng)中窺靜，靜中見動(dòng)，以靜制動(dòng)．求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇題、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍．對(duì)于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍(最值)問題，用定性分析法，比較復(fù)雜時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題化歸為靜態(tài)問題，具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證．類型一動(dòng)點(diǎn)問題1.(2024·福建寧德一中測試)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為(C)A.eq\f(2\r(5),5) B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\r(5) D．2eq\r(5)[分析]由D1O⊥OP知P在過O且垂直D1O的平面內(nèi)，又P在平面BB1C1C內(nèi)，故P的軌跡為線段，所以建系確定垂面與棱BB1、CC1的交點(diǎn)M，N，進(jìn)而求C1到線段MN上點(diǎn)的距離最大值即可．[解析]如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M(2,2，a)，N(0,2，b)，又D1(0,0,2)，O(1,1,0)，∴eq\o(D1O,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝(1,1，－2)·(1,1，a)＝0，得a＝1，eq\o(D1O,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,1，－2)·(－1,1，b)＝0得b＝0，∴M、N分別為BB1的中點(diǎn)和C，P∈MC，顯然C1Pmax＝C1M＝eq\r(5)，又C1D1⊥C1P，∴(S△D1C1P)max＝eq\r(5)，故選C.2．(多選題)(2024·廣東調(diào)研)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，N1為A1B1C1D1所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，且NN1⊥平面ABCD，則下列命題正確的是(ACD)A．若MN與平面ABCD所成的角為eq\f(π,4)，則點(diǎn)N的軌跡為圓B．若三棱柱NAD－N1A1D1的表面積為定值，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓C．若點(diǎn)N到直線BB1與直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線D．若D1N與AB所成的角為eq\f(π,3)，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線[解析]連接DN，因?yàn)镸D⊥平面ABCD，所以∠MND是MN與平面ABCD所成的角，即∠MND＝eq\f(π,4)，因?yàn)镸為DD1的中點(diǎn)，所以DN＝MD＝eq\f(1,2)DD1＝2，因此點(diǎn)N的軌跡為以D為圓心半徑為2的圓，所以A正確；過N做EN⊥AD，設(shè)三棱柱NAD－N1A1D1的表面積為S，所以S＝2×eq\f(1,2)×4·NE＋(AD＋DN＋AN)·4＝4(4＋DN＋AN＋NE)＝定值，即N到A、D、直線AD的距離之和為定值，這與橢圓的定義不符合，故B錯(cuò)誤；由BB1⊥BN，即點(diǎn)N到直線BB1為點(diǎn)N到點(diǎn)B的距離，所以點(diǎn)N的軌跡為點(diǎn)N到點(diǎn)B與直線DC的距離相等的軌跡，即拋物線，所以C正確；分別以DA、DC、DD1所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N(x，y,0)，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)、eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(x，y，－4)，因?yàn)镈1N與AB所成的角為eq\f(π,3)，所以coseq\f(π,3)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(D1N,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(D1N,\s\up6(→))|)?eq\f(1,2)＝eq\f(|4y|,4·\r(x2＋y2＋16))?3y2－x2＝16，所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線，故D正確．故選ACD.名師點(diǎn)撥：1．動(dòng)態(tài)問題的一般解法2．立體幾何中軌跡問題的解法(1)利用平行、垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為面面交線，或把空間數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為某平面內(nèi)的數(shù)量關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡．(2)若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線與定直線所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)形成圓錐側(cè)面，可通過分析平面與圓錐母線及軸的位置關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)在該平面內(nèi)的軌跡．(3)建立直角坐標(biāo)系，求得軌跡方程進(jìn)行判斷．類型二翻折問題(多選題)(2024·廣東佛山S7聯(lián)考)如圖甲，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且滿足將△AED沿DE折起后，點(diǎn)A在平面DCBE上的射影F總在棱DC上，如圖乙，則下列說法正確的有(ACD)A．翻折后總有BC⊥ADB．當(dāng)EB＝eq\f(1,2)時(shí)，翻折后異面直線AE與BC所成角的余弦值為eq\f(1,3)C．當(dāng)EB＝eq\f(1,2)時(shí)，翻折后四棱錐A－DCBE的體積為eq\f(5\r(5),36)D．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡長度為eq\f(1,2)[解析]在圖乙中，因?yàn)辄c(diǎn)A在平面DCBE上的射影F在棱DC上，所以AF⊥平面DCBE，又BC?平面DCBE，所以AF⊥BC，又BC⊥DC，AF∩DC＝F，AF，DC?平面ADC，所以BC⊥平面ADC，又AD?平面ADC，所以BC⊥AD，故A正確；如圖，在圖乙中作EP⊥DC于P，連接AP，則EP∥BC，所以AE與BC所成角即為AE與EP所成角，又由BC⊥平面ADC可得EP⊥平面ADC，所以EP⊥AP而EP＝1，AE＝2－BE＝eq\f(3,2)，則cos∠AEP＝eq\f(2,3)，即AE與BC所成角的余弦值為eq\f(2,3)，故B錯(cuò)誤；如上圖，在圖乙中作FG⊥DE于G，連接AG，則由AF⊥平面DCBE可得AF⊥DE，又FG∩AF＝F，F(xiàn)G，AF?平面AGF，所以DE⊥平面AGF，又AG?平面AGF，則DE⊥AG，在圖甲中，如圖，作AG⊥DE，則A，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)AE＝x，DF＝y(tǒng)，則由△DFA∽△ADE可得eq\f(DF,AD)＝eq\f(AD,EA)，即eq\f(y,1)＝eq\f(1,x)，又在圖乙中有AF＝eq\r(AD2－DF2)＝eq\r(1－y2)>0，所以y∈(0,1)，所以x＝eq\f(1,y)>1，而x＝AE∈(0,2)，所以x∈(1,2)，y＝eq\f(1,x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故D正確；當(dāng)EB＝eq\f(1,2)時(shí)，x＝eq\f(3,2)，則y＝eq\f(2,3)，所以AF＝eq\r(AD2－DF2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，則VA－DCBE＝eq\f(1,3)·eq\f(EB＋DC·BC,2)·AF＝eq\f(\f(1,2)＋2,6)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(5\r(5),36)，故C正確．故選ACD.名師點(diǎn)撥：立體幾何中的翻折問題的處理策略1．明確翻折前后變與不變的量，翻折前后在同一面內(nèi)的量不發(fā)生變化，翻折前后不在同一面內(nèi)的量發(fā)生變化；2．翻折后變化的量的大小要進(jìn)行推理計(jì)算證明，不能從圖形中憑感覺主觀判斷；3．翻折后不易計(jì)算的量，可以回歸到翻折前的圖形中計(jì)算．【變式訓(xùn)練】1．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是①③④.①翻折到某個(gè)位置，使得DA1⊥EC②翻折到某個(gè)位置，使得AC⊥平面A1DE③四棱錐A1－DCBE體積的最大值為eq\f(\r(2),4)④點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)[解析]對(duì)于①，由題知A1D⊥A1E，若存在某個(gè)位置使得DA1⊥EC，由于A1E∩EC＝E，A1E，EC?平面A1EC，所以A1D⊥平面A1EC，又A1C?平面A1EC，即A1D⊥A1C，由于AB＝2AD＝2，故A1C＝eq\r(3)，由于在折疊過程中，A1C∈(1，eq\r(5))，所以存在某個(gè)位置，使得A1C＝eq\r(3)，故存在某個(gè)位置，使得DA1⊥EC，故①正確；對(duì)于②，若存在某個(gè)位置，使得AC⊥平面A1DE，因?yàn)镈E?平面A1DE，所以AC⊥DE，另一方面，在矩形ABCD中，∠AED＝eq\f(π,4)，∠CAE≠eq\f(π,4)，故AC⊥DE不成立，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，四棱錐A1－DCBE體積最大時(shí)，平面A1DE⊥平面ABCD，由于△A1DE是等腰直角三角形，所以此時(shí)點(diǎn)A1到平面DCBE的距離為eq\f(\r(2),2)，所以四棱錐A1－DCBE體積的最大值為V＝eq\f(1,3)SBCDE·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋1)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，故③正確；對(duì)于④，取DC中點(diǎn)O，連接OM，由于M為線段A1C的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥A1D，OM＝eq\f(1,2)A1D＝eq\f(1,2)，所以M在以點(diǎn)O為球心的球面上，故④正確．故答案為①③④.2.(多選題)(2024·福建福州八中質(zhì)檢)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的有(ABD)A．平面PB1D⊥平面ACD1B．A1P∥平面ACD1C．異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D．三棱錐D1－APC的體積不變[解析]對(duì)于A，易知B1D⊥平面ACD1，B1D?平面PB1D，從而平面PB1D⊥平面ACD1，故A正確；對(duì)于B，易知平面BA1C1∥平面ACD1，A1P?平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，A1P與AD1所成角即為A1P與BC1的所成角，BA1＝BC1＝A1C1，當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最小值eq\f(π,3)，當(dāng)P與線