高中函數(shù)復(fù)習(xí)教案

函數(shù)概念與表示一．要點精講1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域（1）解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時，應(yīng)認真考察自變量x的實際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。3．兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應(yīng)法則f。當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。4．區(qū)間 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示。5．映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”。函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字敘述。（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。6．常用的函數(shù)表示法（1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式；（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系；（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系。7．分段函數(shù)若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8．復(fù)合函數(shù)若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。二．典例解析題型1：函數(shù)概念例1．（1）設(shè)函數(shù)（2）（2001上海理，1）設(shè)函數(shù)f（x）＝，則滿足f（x）=的x值為。題型二：判斷兩個函數(shù)是否相同例2．試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。題型三：函數(shù)定義域問題例3．求下述函數(shù)的定義域：（1）；（2）題型四：函數(shù)值域問題例4．求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。題型五：函數(shù)解析式例5．（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求。題型六：函數(shù)應(yīng)用例6．（2003北京春，理文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出。當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛。租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元。（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？題型7：課標創(chuàng)新題例7（1）設(shè)，其中a、b、c、d是常數(shù)。如果求；（2）若不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。三．思維總結(jié)“函數(shù)”是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，學(xué)習(xí)函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內(nèi)容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練。1．求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式：解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。2．求函數(shù)定義域一般有三類問題：（1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；（2）實際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實際問題有意義；（3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：①掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域；②若已知的定義域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出。3．求函數(shù)值域的各種方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域。①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為{x|x0}，值域為{y|y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當a>0時，值域為{}；當a<0時，值域為{}。②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式；③分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。四．練習(xí)1、（2006山東文2）設(shè)（）A．0B．1C2、（2006安徽文理15）（1）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________；（2）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________。3、．已知函數(shù)定義域為(0，2)，求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)。4、已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a(chǎn)≤5、求函數(shù)，的值域。6、（2006重慶理21）已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）設(shè)有且僅有一個實數(shù)x0，使得f(x0)=x0。求函數(shù)f(x)的解析表達式。7、（2006湖南理20）對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；(Ⅱ)若采用方案乙,當為某固定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小?并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。函數(shù)的基本性質(zhì)一．要點精講1．奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；eq\o\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)。（3）簡單性質(zhì)：①圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；eq\o\ac(○,2)必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，y=f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y=f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。（5）簡單性質(zhì)①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。3．最值（1）定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ篹q\o\ac(○,1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?；eq\o\ac(○,2)利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；eq\o\ac(○,3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；4．周期性（1）定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；（2）性質(zhì)：①f(x+T)=f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。二．典例解析題型一：判斷函數(shù)的奇偶性例1．討論下述函數(shù)的奇偶性：題型二：奇偶性的應(yīng)用例2．（2002上海春，4）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當x≥0時，f（x）=log3（1+x），則f（－2）=_____。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例3．（2001天津，19）設(shè)，是上的偶函數(shù)。（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例4．（2001春季北京、安徽，12）設(shè)函數(shù)f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。題型五：單調(diào)性的應(yīng)用例5．已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。題型六：最值問題例6．（2002全國理，21）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。（1）討論f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。題型七：周期問題例7．若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對稱，則f(x)的一個周期為（）A．B．C．D．三．思維總結(jié)1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；2．對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映；3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；4．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集。6．單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴格的解答還是應(yīng)該運用定義或求導(dǎo)解決。四．練習(xí)1．(2002天津文.16)設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必為奇函數(shù)的有_____（要求填寫正確答案的序號）2．已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，當x∈[0，2]時，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時f(x)的表達式。3．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，設(shè)F(x)=f(x)+，討論F(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。4．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。5．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在［0，+∞］上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由。6．設(shè)m是實數(shù)，記M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+(1)證明：當m∈M時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則m∈M；(2)當m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值；(3)求證：對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。7．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。①證明：；②求的解析式；③求在上的解析式。函數(shù)圖象及數(shù)字特征一、要點精講1．函數(shù)圖象（1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點。作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；④描點連線，畫出函數(shù)的圖象。運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究。而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個難點。（2）三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；①平移變換：Ⅰ、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(xh)；Ⅱ、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h。②對稱變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅲ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅳ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱得到。y=f(x)x=f(y)Ⅴ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱即可得到；y=f(x)y=f(2ax)。③翻折變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到④伸縮變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點橫坐標不變縱坐標伸長或壓縮（）為原來的倍得到；y=f(x)y=af(x)Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點縱坐標不變橫坐標伸長或壓縮（）為原來的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。2．冪函數(shù)在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：圖 在考查學(xué)生對冪函數(shù)性的掌握和運用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值。 冪函數(shù)有如下性質(zhì)： ⑴它的圖象都過（1，1）點，都不過第四象限，且除原點外與坐標軸都不相交； ⑵定義域為R或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域為的冪函數(shù)都不具有奇偶性； ⑶冪函數(shù)都是無界函數(shù)；在第一象限中，當時為減函數(shù)，當時為增函數(shù)； ⑷任意兩個冪函數(shù)的圖象至少有一個公共點（1，1），至多有三個公共點；二．典例解析題型1：作圖ABCD例1．（06重慶理）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)y=ABCD題型2：識圖例2．（06江西12）某地一年內(nèi)的氣溫(單位：℃)與時間(月份)之間的關(guān)系如圖所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令表示時間段的平均氣溫，與之間的函數(shù)關(guān)系用下圖表示，則正確的應(yīng)該是（）題型3：函數(shù)的圖象變換例3．（2002全國理，10）函數(shù)y=1－的圖象是（）題型4：函數(shù)圖象應(yīng)用例4．函數(shù)與的圖像如下圖：則函數(shù)的圖像可能是（）題型5：函數(shù)圖像變換的應(yīng)用例5．已知，方程的實根個數(shù)為（）A．2B．3C題型6：冪函數(shù)概念及性質(zhì)Oxy例6．函數(shù)互質(zhì)）圖像如圖所示，則（）OxyA．均為奇數(shù)B．一奇一偶C．均為奇數(shù)D．一奇一偶題型7：抽象函數(shù)問題例7．函數(shù)的定義域為D：且滿足對于任意，有（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的奇偶性并證明；（Ⅲ）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍。題型8：函數(shù)圖象綜合問題例8．如圖，點A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2。又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a)，△A′BC′的面積為g(a)。（1）求函數(shù)f(a)和g(a)的表達式；（2）比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論。三．思維總結(jié)函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換。常見的函數(shù)數(shù)字特征有：（1）函數(shù)奇偶性：奇函數(shù)；偶函數(shù)。（2）函數(shù)單調(diào)性：單調(diào)遞增或；單調(diào)遞增或。（3）函數(shù)周期性周期為：或；（4）對稱性關(guān)于y軸對稱：；關(guān)于原點對稱：；關(guān)于直線對稱：或；關(guān)于點對稱：或。四．練習(xí)1．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（）2．（2002上海文，理16）一般地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（℃）有一定的關(guān)系，如圖2—1所示，圖（1）表示某年12個月中每月的平均氣溫.圖（2）表示某家庭在這年12個月中每個月的用電量.根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與其氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是（）圖A．氣溫最高時，用電量最多B．氣溫最低時，用電量最少C．當氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加D．當氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫漸低而增加3．（05廣東理9）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱?，F(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個單位，再沿軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖2所示），則函數(shù)的表達式為（）A．B．C．D．4．設(shè)，若，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．畫出函數(shù)的圖象，試分析其性質(zhì)。（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性）6．（2005廣東19）設(shè)函數(shù)上滿足，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間[－2005，2005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。7．設(shè)曲線的方程是，將沿軸、軸正方向分別平移、個單位長度后得到曲線，（1）寫出曲線的方程；（2）證明曲線與關(guān)于點對稱；（3）如果曲線與有且僅有一個公共點，證明：函數(shù)與方程一．要點精講1．方程的根與函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。二次函數(shù)的零點：１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點；２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；３）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點。零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。既存在，使得，這個也就是方程的根。2.二分法二分法及步驟：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間，，驗證·，給定精度；（2）求區(qū)間，的中點；（3）計算：①若=，則就是函數(shù)的零點；②若·<，則令=（此時零點）；③若·<，則令=（此時零點）；（4）判斷是否達到精度；即若，則得到零點零點值（或）；否則重復(fù)步驟2~4。注：函數(shù)零點的性質(zhì)從“數(shù)”的角度看：即是使的實數(shù)；從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標；若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點；若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點。注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點。3．二次函數(shù)的基本性質(zhì)（1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。（2）當a>0，f(x)在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=(p+q)。若－<p，則f(p)=m，f(q)=M；若p≤－<x0，則f(－)=m，f(q)=M；若x0≤－<q，則f(p)=M，f(－)=m；若－≥q，則f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件。①方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；②二次方程f(x)=0的兩根都大于r③二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)有兩根④二次方程f(x)=0在區(qū)間(p，q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p，q)內(nèi)成立。二．典例解析題型1：方程的根與函數(shù)零點例1．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)（2）設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實根的個數(shù)。題型2：零點存在性定理例2．（2004廣東21）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。（1）當為何值時，；（2）定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得試用上述定理證明：當整數(shù)時，方程在內(nèi)有兩個實根。題型3：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點例3．設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足.當時，證明。題型4：一元二次函數(shù)與一元二次不等式例4．設(shè)，若，，,試證明：對于任意，有。題型5：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)例5．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（）題型6：二次函數(shù)的綜合問題例6．（2005浙江文20）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱，且。(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ)解不等式；(Ⅲ)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。三．思維總結(jié)1．函數(shù)零點的求法：①（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。2．學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征.從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。（1）二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù).解題的關(guān)鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。（2）數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對稱性、單調(diào)性、凹凸性等。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。四．練習(xí)1．（2005廣東19）設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有。（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［－2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。2．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（）A．若，不存在實數(shù)使得；B．若，存在且只存在一個實數(shù)使得；C．若，有可能存在實數(shù)使得；D．若，有可能不存在實數(shù)使得；3．已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和.（1）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；（2）如果，，求的取值范圍.4．已知二次函數(shù)，當時，有，求證：當時，有5．（2002全國高考題）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R.（1）討論f(x)的奇偶性（2）求f(x)的最小值.6．已知函數(shù)。（1）將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求函數(shù)的解析式；（3）設(shè)，已知的最小值是且，求實數(shù)的取值范圍。函數(shù)模型及其應(yīng)用一．要點精講1．解決實際問題的解題過程（1）對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動關(guān)系，并用x、y分別表示問題中的變量；（2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.這些步驟用框圖表示：實際問題實際問題函數(shù)模型實際問題的解函數(shù)模型的解抽象概括還原說明運用函數(shù)性質(zhì)2．解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲?，計算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用。二．典例解析題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型例1．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù)5年的觀測，并將每年年底的觀測結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進行預(yù)測：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90

觀測時間1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬公頃）0.20000.40000.60010.79991.0001

題型2：二次函數(shù)型例2．一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，則客車的運輸年數(shù)為（）時該客車的年平均利潤最大。（A）4（B）5（C）6（D）7x年468…（萬元）7117…題型3：分段函數(shù)型例3．某集團公司在2000年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表：

一期2000年投入1億元興建垃圾堆肥廠年處理有機肥十多萬噸年綜合收益2千萬元二期2002年投入4億元興建垃圾焚燒發(fā)電一廠年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益4千萬元三期2004年投入2億元興建垃圾焚燒發(fā)電二廠年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益4千萬元

如果每期的投次從第二年開始見效，且不考慮存貸款利息，設(shè)2000年以后的x年的總收益為f(x)（單位：千萬元），試求f（x）的表達式，并預(yù)測到哪一年能收回全部投資款。題型4：三角函數(shù)型例4．某港口水的深度y(m)是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據(jù)：

t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

經(jīng)長期觀察，y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象。（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f(t)的近似表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的（船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港，請問，它最多能在港內(nèi)停留多少時間（忽進出港所需的時間）？題型5：不等式型例5．（2006湖南理20）對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為,要求清洗完后的清潔度為.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是,用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.。(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;(Ⅱ)若采用方案乙,當為某固定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小?并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.題型6：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)例6．有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合。用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱其湖水污染質(zhì)量分數(shù)），表示湖水污染初始質(zhì)量分數(shù)。（1）當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質(zhì)量分數(shù)；（2）分析時，湖水的污染程度如何。三．思維總結(jié)1．將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。2．怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題數(shù)學(xué)應(yīng)用問題形式多樣，解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對數(shù)據(jù)進行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實際問題。解答此類題型主要有如下三種方法：（1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解；（2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進行比較；（3）描點觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標系中進行描點，作出散點圖，然后觀察這些點的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問題即可順利解決。下面舉例進行說明。四．練習(xí)1．（2006安徽理21）（已知函數(shù)在R上有定義，對任何實數(shù)和任何實數(shù)，都有（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明其中和均為常數(shù)；2．行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進行測試，測試所得數(shù)據(jù)如下表。在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13m，問汽車在剎車時的速度是多少？

剎車時車速v/km/h153040506080剎車距離s/m1.237.3012.218.4025.8044.40

3．（2003北京春，理、文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？4．（2000全國，21）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖2—10中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2—10中（2）的拋物線表示.圖2—10（1）寫出圖中（1）表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P＝f（t）；寫出圖中（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g（t）；（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?（注：市場售價和種植成本的單位：元／102，ｋg，時間單位：天）5．（2001上海，文、理21）用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥．對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f（x）.（1）試規(guī)定f（0）的值，并解釋其實際意義；（2）試根據(jù)假定寫出函數(shù)f（x）應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；（3）設(shè)f（x）=，現(xiàn)有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?說明理由6．現(xiàn)有某種細胞100個，其中有占總數(shù)的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過個？（參考數(shù)據(jù)：）.答案第1課時函數(shù)概念與表示例1解：（1）這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問題，需要反復(fù)進行數(shù)值代換，==（2）當x∈（－∞，1，值域應(yīng)為［，＋∞］，當x∈（1，＋∞）時值域應(yīng)為（0，＋∞），∴y＝，y∈（0，＋∞），∴此時x∈（1，＋∞），∴l(xiāng)og81x＝，x＝81＝3。點評：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。例2解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；（2）由于函數(shù)f（x）=的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù)；（3）由于當n∈N*時，2n±1為奇數(shù)，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為{x|x≥0}，而g（x）=的定義域為{x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（5）函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)。點評：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù)。（2）對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。例3解：（1），解得函數(shù)定義域為.（2），（先對a進行分類討論，然后對k進行分類討論），①當a=0時，函數(shù)定義域為；②當時，得，1）當時，函數(shù)定義域為，2）當時，函數(shù)定義域為，3）當時，函數(shù)定義域為；③當時，得，1）當時，函數(shù)定義域為，2）當時，函數(shù)定義域為，3）當時，函數(shù)定義域為。點評：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數(shù)，要對參數(shù)的取值進行討論，考察學(xué)生分類討論的能力。例4解：（1）（配方法），∴的值域為。（2）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為。又∵，∴，故，∴的值域為。（3）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，∴原函數(shù)的值域為。（法二）分離變量法：，∵，∴，∴函數(shù)的值域為。（4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，∴原函數(shù)可化為，∴，∴原函數(shù)值域為。注：總結(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：∵，∴設(shè)，則∵，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為。（6）數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域為。（7）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為。由得：①①當即時，①即，∴②當即時，∵時方程恒有實根，∴△，∴且，∴原函數(shù)的值域為。（8），∵，∴，∴，當且僅當時，即時等號成立?！?，∴原函數(shù)的值域為。（9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為。點評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。例5：解：（1）∵，∴（或）。（2）令（），則，∴，。（3）設(shè)，則，∴，，∴。（4）①，把①中的換成，得②，①②得，∴。點評：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法。例6：解：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為：=12，所以這時租出了88輛車。（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。所以，當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050。即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.點評：根據(jù)實際問題求函數(shù)表達式，是應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實際問題本身的限制。例7：解：（1）構(gòu)造函數(shù)則故：（2）原不等式可化為構(gòu)造函數(shù)，其圖象是一條線段。根據(jù)題意，只須：即解得。點評：上面兩個題目通過重新構(gòu)造函數(shù)解決了實際問題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用。練習(xí)1、解：選項為C。2、解：（1）由得，所以，則。（2）由得，所以，則。點評：通過對抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式，考察學(xué)生的邏輯思維能力。3、解：（1）由0＜x＜2，得點評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會涉及到。4、解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。5、解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，∴當時，原函數(shù)有最小值為；當時，原函數(shù)有最大值為?！嗪瘮?shù)，的值域為。6、解：（Ⅰ）因為對任意x∈R，有f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x，所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。若f(0)=a，則f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。（Ⅱ）因為對任意x∈R，有f(f(x))－x2+x)=f(x)－x2+x。又因為有且只有一個實數(shù)x0,使得f(x0)－x0。所以對任意x∈R，有f(x)－x2+x=x0.。在上式中令x=x0，有f(x0)－x+x0=x0。又因為f(x0)－x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。若x0=0，則f(x)－x2+x=0，即f(x)=x2–x。但方程x2–x=x有兩上不同實根，與題設(shè)條件矛質(zhì)，故x2≠0。若x2=1，則有f(x)－x2+x=1，即f(x)=x2–x+1。易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件。綜上，所求函數(shù)為f(x)=x2–x+1（xR）。點評：該題的題設(shè)條件是一個抽象函數(shù)，通過應(yīng)用條件進一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。7、解：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z。由題設(shè)有=0.99，解得x=19。由得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程:解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。因為當,故方案乙的用水量較少。（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*）于是+當為定值時,,當且僅當時等號成立。此時將代入（*）式得故時總用水量最少,此時第一次與第二次用水量分別為，最少總用水量是。當,故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明,隨著的值的最少總用水量,最少總用水量最少總用水量。點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決。該題典型代表高考的方向。課時2函數(shù)的基本性質(zhì):例1：解：（1）函數(shù)定義域為R，，∴f(x)為偶函數(shù)；（另解）先化簡：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。（2）須要分兩段討論：①設(shè)②設(shè)③當x=0時f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，對x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)；（3），∴函數(shù)的定義域為，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的圖象由兩個點A（－1，0）與B（1，0）組成，這兩點既關(guān)于y軸對稱，又關(guān)于原點對稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；（4）∵x2≤a2,∴要分a>0與a<0兩類討論，①當a>0時，，∴當a>0時，f(x)為奇函數(shù)；既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).點評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。例2：答案：－1；解：因為x≥0時，f（x）=log3（1+x），又f（x）為奇函數(shù)，所以f（－x）=－f（x），設(shè)x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。點評：該題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對稱區(qū)域上函數(shù)的取值。例3：解：（1）依題意，對一切，有，即?！鄬σ磺谐闪ⅲ瑒t，∴，∵，∴。（2）(定義法)設(shè)，則，由，得，，∴，即，∴在上為增函數(shù)。（導(dǎo)數(shù)法）∵，∴∴在上為增函數(shù)點評：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡潔。例4：.解：在定義域內(nèi)任取x1＜x2，∴f（x1）－f（x2）＝，∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，只有當x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時函數(shù)才單調(diào)．當x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時f（x1）－f（x2）＞0．∴f（x）在（－b，＋∞）上是單調(diào)減函數(shù)，在（－∞，－b）上是單調(diào)減函數(shù)．點評：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識。對于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在(－∞,0)上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0。∴不等式可化為log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤ ④由③④得原不等式的解集為{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。例6：解：（1）當a=0時，函數(shù)f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此時f（x）為偶函數(shù)。當a≠0時，f（a）=a2+1，f（－a）=a2+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）。此時函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。（2）①當x≤a時，函數(shù)f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+。若a≤，則函數(shù)f（x）在（－∞，a）上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f（x）在（－∞，a）上的最小值為f（a）=a2+1。若a＞，則函數(shù)f（x）在（－∞，a上的最小值為f（）=+a，且f（）≤f（a）。②當x≥a時，函數(shù)f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+。若a≤－，則函數(shù)f（x）在［a，+∞上的最小值為f（－）=－a，且f（－）≤f（a）。若a＞－，則函數(shù)f（x）在［a，+∞］上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f（x）在［a，+∞］上的最小值為f（a）=a2+1。綜上，當a≤－時，函數(shù)f（x）的最小值是－a。當－＜a≤時，函數(shù)f（x）的最小值是a2+1。當a＞時，函數(shù)f（x）的最小值是a+。點評：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助.因為x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函數(shù)的可能性.運用偶函數(shù)的定義分析可知，當a=0時，f（x）是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對稱思想。例7.解：因為y=f(2x)關(guān)于對稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)同理，f(b+2x)=f(b－2x)，所以f(2b－2x)=f(2x)，所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2所以f(2x)的一個周期為2b－2a故知f(x)的一個周期為4(b－a)。選項為D。點評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱（a≠b），則這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（b－a）。練習(xí)1、答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。點評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。2、解：由條件可以看出，應(yīng)將區(qū)間[－4，0]分成兩段考慮：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x)為偶函數(shù)，∴當x∈[－2，0]時，f(x)=f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2，∴4+x∈[0，2，∵f(2+x)+f(2－x)，∴f(x)=f(4－x)，∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；綜上，點評：結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。3、解：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。在R上任取x1、x2，設(shè)x1<x2，∴f(x2)=f(x1)，∵f(x)是R上的增函數(shù)，且f(10)=1，∴當x<10時0<f(x)<1,而當x>10時f(x)>1;若x1<x2<5，則0<f(x1)<f(x2)<1,∴0<f(x1)f(x2)<1,∴<0,∴F(x2)<F(x1)；②若x2>x1>5，則f(x2)>f(x1)>1,∴f(x1)f(x2)>1,∴>0,∴F(x2)>F(x1)；綜上，F(xiàn)(x)在（－∞，5）為減函數(shù)，在（5，+∞）為增函數(shù)。點評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點。4、解：（1）函數(shù)的定義域為，分解基本函數(shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域為R，分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：，，令，得或，令，或∴單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。點評：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。5、解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞］上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2設(shè)t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正?！喈?lt;0,即m<0時，g(0)=2m－2>0m>1與m當0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2，∴4－2<m≤2當>1,即m>2時，g(1)=m－1>0m>1?！鄊>2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2。另法(僅限當m能夠解出的情況)：cos2θ－mcosθ+2m－2>0對于θ∈［0,］恒成立，等價于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ)對于θ∈［0,］恒成立∵當θ∈［0,］時，(2－cos2θ)/(2－cosθ)≤4－2，∴m>4－2。點評：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。6、(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,當m∈M時，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定義域為R。反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x2－4mx+4m2+m+令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+)＜0，解得m>1，故m(2)解析：設(shè)u=x2－4mx+4m2+m+∵y=log3u是增函數(shù)，∴當u最小時，f(x)最小。而u=(x－2m)2+m+，顯然，當x=m時，u取最小值為m+，此時f(2m)=log3(m+)為最小值。(3)證明：當m∈M時，m+=(m－1)++1≥3，當且僅當m=2時等號成立。∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1。點評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進行處理。7、解：∵是以為周期的周期函數(shù)，∴，又∵是奇函數(shù)，∴，∴。②當時，由題意可設(shè)，由得，∴，∴。③∵是奇函數(shù)，∴，又知在上是一次函數(shù)，∴可設(shè)，而，∴，∴當時，，從而當時，，故時，?！喈敃r，有，∴。當時，，∴∴。點評：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。課時3函數(shù)圖象及數(shù)字特征例1：解析：顯然當時，陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的下方，故應(yīng)在C、D中選擇。而當當時，陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的上方，故應(yīng)選擇D。點評：該題屬于實際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢和一些特殊點函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個關(guān)系；例2：解析：平均氣溫10℃與函數(shù)圖像有兩個交點，觀察圖像可知兩交點的兩側(cè)都低于平均氣溫，而中間高于平均氣溫。時間段內(nèi)的平均氣溫，應(yīng)該從開始持續(xù)到平均氣溫左交點向右一段距離才開始達到平均氣溫，持續(xù)上升一段時間，最后回落到平均氣溫。答案A點評：聯(lián)系生活，體會變量間的相互關(guān)系，重視觀察圖像的變化趨勢，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識處理實際問題。例3：解析一：該題考查對f（x）=圖象以及對坐標平移公式的理解，將函數(shù)y=的圖形變形到y(tǒng)=，即向右平移一個單位，再變形到y(tǒng)=－即將前面圖形沿x軸翻轉(zhuǎn)，再變形到y(tǒng)=－+1，從而得到答案B。解析二：可利用特殊值法，取x=0，此時y=1，取x=2，此時y=0。因此選B。點評：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實際問題。例4：解析：∵函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集，圖像不經(jīng)過坐標原點，故可以排除C、D。由于當x為很小的正數(shù)時且，故?！噙xA。點評：明確函數(shù)圖像在x軸上下方與函數(shù)值符號改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號為正、異號為負”。例8．（2000春季北京、安徽，14）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍。解法一：觀察f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象過原點，即f(0)=0,得d=0，又f(x)的圖象過(1，0)，∴f(x)=a+b+c①又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0②①+②得b＜0，故b的范圍是(－∞，0)解法二：如圖f(0)=0有三根0，1，2，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax，∴b=－3a∵當x>2時，f(x)>0，從而有a>0，∴b＜0。點評：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。例5：根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程的根的個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點的個數(shù)。該題通過作圖很可能選錯答案為A，這是我們作圖的易錯點。若作圖標準的話，在同一個直角坐標系下畫出這兩個函數(shù)的圖像，由圖知當時，圖像的交點個數(shù)為3個；當時，圖像的交點個數(shù)為4個；當時，圖像的交點個數(shù)為2個。選項為D。點評：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點”問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的交點問題”，借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)則求得結(jié)果即可。例6：解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時只需保證，即，有；同時函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域為，此時定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)。答案：選項為B。點評：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點，更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對函數(shù)圖像的影響也要了解。例7：（Ⅰ）解：令（Ⅱ）證明：令令∴為偶函數(shù)。（Ⅲ）∴（1）∵上是增函數(shù)，∴（1）等價于不等式組：∴∴x的取值范圍為點評：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力。認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到問題的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵。例8：：B=(A′A+C′C)=(),g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=?！鄁(a)<g(a)。點評：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口，解題思路：圖形面積不會拆拼、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化。練習(xí)1、解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1。拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點坐標為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故選A。點評：本題主要考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，源于課本，考查基本知識，難度不大。本題雖小，但一定要細致觀察圖象，注意細微之處，獲得解題靈感。2、解析：經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最高。因此A項錯誤。同理可判斷出B項錯誤。由5、6、7三個月的氣溫和用電量可得出C項正確。點評：該題考查對圖表表達的函數(shù)的識別和理解能力，要從題目解說入手，結(jié)合圖像和實際解決問題。3、解析：原函數(shù)的圖像仍然是由兩條折線段組成，折線段的端點（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1個單位是端點（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2個單位端點為（0，－1）、（2，0）、（3，2），關(guān)于直線對稱后折線段端點為（－1，0）、（0，2）、（2，3）。答案A。點評：該題是應(yīng)用函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式。由函數(shù)圖像的變換的函數(shù)的性質(zhì)逆向變換既可，注意函數(shù)圖像的變換中平移、對稱都不會改變原來函數(shù)的形狀。4、解析：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到函數(shù)的圖像。通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，，從而，即，又，所以。選項為A。點評：考察函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進而得到的圖像和性質(zhì)。5、解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它應(yīng)是由反比例函數(shù)平移而來，（這種變換是解決這類問題的關(guān)鍵），由此說明，是由圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到的，如圖所示：具體畫圖時對于圖象與坐標軸的交點位置要大致準確，即。故圖象一定過（0，－1）和兩個關(guān)鍵點。再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域，單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是中心對稱圖形，對稱中心是（3，－2）。點評：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決該類問題基礎(chǔ)。注意此題兩個增區(qū)間之間不能用并集號。6、解析：（Ⅰ）由，從而知函數(shù)的周期為又，，所以故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；(II)又故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個解，從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個解，在[－2005.0]上有400個解,所以函數(shù)在[－2005,2005]上有802個解。點評：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，再來解題。7、解析：（1）曲線的方程為；（2）證明：在曲線上任意取一點，設(shè)是關(guān)于點的對稱點，則有，∴。代入曲線的方程，得的方程：。即可知點在曲線上。反過來，同樣證明，在曲線上的點的對稱點在曲線上。因此，曲線與關(guān)于點對稱。（3）證明：因為曲線與有且僅有一個公共點，∴方程組有且僅有一組解，消去，整理得，這個關(guān)于的一元二次方程有且僅有一個根，∴，即得，因為，所以。點評：充分利用函數(shù)圖像變換的原則，解決復(fù)合問題。課時4函數(shù)與方程例1：解析：（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C。（2）原方程等價于即構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：①當或時，原方程有一解；②當時，原方程有兩解；③當或時，原方程無解。點評：圖象法求函數(shù)零點，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷。例2：解析：（1）函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且當x∈(－m,1－m)時,f’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m)當x∈(1－m,+∞)時,f’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m)根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且對x∈(－m,+∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m故當整數(shù)m≤1時，f(x)≥1－m≥0(2)證明：由（I）知，當整數(shù)m>1時，f(1－m)=1-m<0,函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在上為連續(xù)減函數(shù).由所給定理知，存在唯一的而當整數(shù)m>1時，類似地，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在上為連續(xù)增函數(shù)且f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的故當m>1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。例3：證明：由題意可知，,∴,∴當時，。又,∴,綜上可知，所給問題獲證。點評：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式。例4：解析：∵,∴,∴.∴當時，當時，綜上，問題獲證。點評：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用來表示。例5：解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點坐標為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故選A。點評：本題雖小，但一定要細致觀察圖象，注意細微之處，獲得解題靈感。例6：解析：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點關(guān)于原點的對稱點為，