計算機組成原理數(shù)據(jù)的表示和運算

計算機組成原理數(shù)據(jù)的表示和運算第二部分數(shù)據(jù)的表示和運算

2.1數(shù)制與編碼

2.2定點數(shù)表示和運算

2.3浮點數(shù)表示和運算

2.4算術邏輯單元ALU第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

2.2定點數(shù)表示和運算

2.2.1

定點數(shù)的表示

1、無符號數(shù)的表示；

2、有符號數(shù)的表示。

2.2.2

定點數(shù)的運算

1、定點數(shù)的位移運算；

2、原碼定點數(shù)的加/減運算；

3、補碼定點數(shù)的加/減運算；

4、定點數(shù)的乘法運算第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天回顧1、移位運算對有符號數(shù)的移位運算成為算術移位。對無符號數(shù)的移位運算成為邏輯移位。算術移位的特點：對于正數(shù)，三種機器數(shù)算術移位后符號位均不變，左移最高位丟1，結果錯誤；右移最低位丟1，影響精度。對于負數(shù)，三種機器數(shù)算術移位后符號位不變。原碼左移，高位丟1，結果出錯；原碼右移低位丟1，影響精度。補碼左移，高位丟0，結果出錯；補碼右移低位丟1，影響精度。反碼左移，高位丟0，結果出錯；反碼右移低位丟0，影響精度。第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天回顧2、補碼定點數(shù)的加/減運算補碼加法補碼加法的特點：符號位作為數(shù)的一部分參加運算，符號位的進位丟掉。運算結果為補碼形式整數(shù)[A]補

+[B]補=[A+B]補（mod2n+1）小數(shù)[A]補

+[B]補=[A+B]補（mod2）補碼減法因為A–B=A+(–B)，所以有補碼減法：整數(shù)[A–B]補=[A+(–B)]補=[A]補

+[–B]補(mod2n+1)小數(shù)[A–B]補=[A+(–B)]補=[A]補

+[–B]補(mod2)從[Y]補求[-Y]補的法則是：對[Y]補包括符號位“求反且最末位加1”第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天回顧3、溢出的檢測溢出：運算結果超出機器的表數(shù)范圍定點加減法溢出條件：★同號數(shù)相加或異號數(shù)相減?！镞\算結果超載。1）溢出的檢測可能產(chǎn)生溢出的情況兩正數(shù)加，變負數(shù)，上溢（大于機器所能表示的最大數(shù)）兩負數(shù)加，變正數(shù)，下溢（小于機器所能表示的最小數(shù)）2）溢出的檢測方法雙符號位法（參與加減運算的數(shù)采用變形補碼表示）單符號位法第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天回顧4、反碼加減法運算（1）反碼加法運算反碼加法運算遵循[X]反+[Y]反=[X+Y]反規(guī)則。符號位參加運算。符號位相加后，如果有進位，則把該進位的數(shù)字加到數(shù)的最低位，即循環(huán)進位。（2）反碼減法兩個反碼表示的數(shù)相減，類似于補碼減法，將減數(shù)變符號，并根據(jù)變號后的減數(shù)取反，按反碼加法進行。第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算7、定點數(shù)的乘法運算分析筆算乘法

A=–0.1101B=0.1011A×B=–0.100011110.11010.101111011101000011010.10001111×乘積的符號心算求得符號位單獨處理乘數(shù)的某一位決定是否加被乘數(shù)4個位積一起相加乘積的位數(shù)擴大一倍

？第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算筆算乘法改進A

?B=A?0.1011=0.1A+0.00A+0.001A+0.0001A=0.1A+0.00A+0.001(A+0.1A)=0.1A+0.01[0?A+0.1(A+0.1A)]=0.1{A+0.1[0?A+0.1(A+0.1A)]}=2-1{A

+2-1[0?A+2-1(A

+2-1(A+0))]}第一步被乘數(shù)A

+0第二步

1，得新的部分積第八步

1，得結果第三步部分積

+被乘數(shù)…右移一位第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算改進后的筆算乘法過程第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算1）定點原碼乘法

(1)原碼一位乘運算規(guī)則（以小數(shù)為例）設[x]原

=x0.x1x2

xn…[y]原

=y0.y1y2

yn…=(x0

y0).x*y*[x?y]原

=(x0y0).(0.x1x2

xn)(0.y1y2

yn)……式中x*=0.x1x2

xn

為x

的絕對值…y*=0.y1y2

yn

為y

的絕對值…乘積的符號位單獨處理x0

y0數(shù)值部分為絕對值相乘x*?y*第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算原碼一位乘遞推公式x*?y*=x*(0.y1y2

yn)…=x*(y12-1+y22-2++yn2-n)…=2-1(y1x*+2-1(y2x*+2-1(ynx*+0)))……z1znz0=0z1=2-1(ynx*+z0)z2=2-1(yn-1x*+z1)zn=2-1(y1x*+zn-1)………z0第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算

右圖是一個32位乘法器的結構框圖，其中32位被乘數(shù)放在R2中，運算開始時32位乘數(shù)放在R1中，運算結束時64位乘積的高位放在R0中，低位放在R1中，R0和R1串聯(lián)移位。在該乘法過程中，每次操作是根據(jù)乘數(shù)的一位進行操作，對于32位數(shù)的乘法，需要循環(huán)32次完成一個乘法操作，因此稱為一位乘法。第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算

完成這個定點原碼一位乘法的運算規(guī)則可以用如下圖所示的邏輯流程圖表示。

第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算

已知x=–0.1110y=0.1101求[x?y]原邏輯右移邏輯右移第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算①乘積的符號位x0

y0=10=1②數(shù)值部分按絕對值相乘

x*?y*=0.10110110

則[x?y]原

=1.10110110

特點絕對值運算用移位的次數(shù)判斷乘法是否結束邏輯移位第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算原碼一位乘的硬件配置0An

加法器控制門0Xn

移位和加控制計數(shù)器CSGM0Qn右移A、X、Q均n+1位移位和加受末位乘數(shù)控制第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算(2)原碼兩位乘原碼兩位乘與原碼一位乘一樣，符號位的運算和數(shù)值部分是分開進行的，但原碼兩位乘是用兩位乘數(shù)的狀態(tài)來決定新的部分積如何形成，因此可提高運算速度。一位乘符號位和數(shù)值位部分分開運算兩位乘每次用乘數(shù)的2位判斷原部分積是否加和如何加被乘數(shù)第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算兩位乘數(shù)共有4種狀態(tài)，對應這4種狀態(tài)可得下表。11100100新的部分積乘數(shù)yn-1

yn加“0”2加1倍的被乘數(shù)2加2倍的被乘數(shù)2加3倍的被乘數(shù)2第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算原碼兩位乘運算規(guī)則111110101100011010001000操作內(nèi)容標志位Cj乘數(shù)判斷位yn-1yn

z2,y*2,Cj

保持“0”

z2,y*2,Cj

保持“1”z–x*2,y*2,Cj

保持“1”

z+2x*2,y*2,Cj

保持“0”z+x*2,y*2,Cj

保持“0”

z–x*2,y*2,置“1”Cjz+2x*2,y*2,置“0”Cj

z+x*2,y*2,置“0”Cj共有操作+x*+2x*–x*2實際操作+[x*]補

+[2x*]補

+[–x*]補

2補碼移第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算例：已知x=0.111111y=–0.111001求[x·y]原補碼右移第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算

②數(shù)值部分的運算①乘積的符號位x0

y0=01=1x*?y*=0.111000000111則[x?y]原

=1.111000000111特點絕對值的補碼運算算術移位用移位的次數(shù)判斷乘法是否結束第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算原碼兩位乘和原碼一位乘比較符號位操作數(shù)移位移位次數(shù)最多加法次數(shù)x0

y0x0

y0絕對值絕對值的補碼邏輯右移算術右移nnn2（n為偶數(shù)）n2+1（n為偶數(shù)）原碼一位乘原碼兩位乘n

為奇數(shù)時，原碼兩位乘移n/2+1次最多加n/2+1次第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算2）補碼乘法（1）補碼與真值的關系設[x]補

=x0.x1x2…xn當X≥0時，x0=0，[x]補

=0.x1x2…xn=∑xi2-i=x當x<0時，x0=1，[x]補

=1.x1x2…xn=2+x所以x=1.x1x2…xn–2=-1+0.x1x2…xn=-1+∑xi2-i得出x=-x0+∑xi2-ini=1ni=1ni=1第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算（2）補碼的右移正數(shù)右移一位，相當于乘1/2。負數(shù)用補碼表示，右移一位，是否也相當于乘1/2？設[x]補

=x0.x1x2…xn因為

x=-x0+∑xi2-i

所以

x=-x0+∑xi2-i

=-x0+x0+∑xi2-i

=-x0+∑xi2-(i+1)

即[x]補=x0.x0x1x2…xn

ni=112ni=1121212ni=1ni=012第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算（3）補碼一位乘運算規(guī)則設被乘數(shù)[x]補

=x0.x1x2…xn

乘數(shù)[y]補

=y0.y1y2…yn均為任意符號，則有補碼乘法算式：[x.y]補=[x]補.y證明：①被乘數(shù)任意，乘數(shù)為正

根據(jù)補碼定義，有[x]補=2+x=2n+1+x(mod2)[y]補=y所以，[x]補.[y]補

=2n+1.y+x.y=2(y1y2…yn)+x.y由于(y1y2…yn)是大于0的正整數(shù)，所以，

2(y1y2…yn)=2（mod2）故[x]補.[y]補

=2+x.y=[x.y]補即[x.y]補

=[x]補.[y]補

=[x]補.y

第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算

同原碼乘但加和移位按補碼規(guī)則運算乘積的符號自然形成運算規(guī)律：第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算②被乘數(shù)任意，乘數(shù)為負[x]補

=x0.x1x2…xn[y]補

=1.y1y2…yn=2+y(mod2)因為y=[y]補

–2=0.y1y2…yn-1所以x.y=x(0.y1y2…yn)–x

[x.y]補=[x(0.y1y2…yn)]補+[–x]補因為0.y1y2…yn>0

[x(0.y1y2…yn)]補=

[x]補(0.y1y2…yn)所以[x.y]補=[x]補(0.y1y2…yn)+[–x]補第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算

乘數(shù)[y]補，去掉符號位，操作同①最后加[–x]補，校正運算規(guī)律：第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算③被乘數(shù)、乘數(shù)符號任意設[x]補

=x0.x1x2…xn[y]補

=y0.y1y2…yn綜合①②，得到補碼乘法統(tǒng)一算式

[x·y]補=[x]補(0.y1…yn)+[–x]補

·y0當y>0時，y0=0[x.y]補

=[x]補.y

當y<0時，y0=1[x.y]補=[x]補

(0.y1y2…yn)+[–x]補

第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天補碼比較法（Booth算法）設[x]補

=x0.x1x2

xn[y]補

=y0.y1y2

yn……[x·y]補=[x]補(0.y1

yn)–[x]補

·y0…=[x]補(y12-1+y22-2++yn2-n)–[x]補

·y0…=[x]補(–y0+y1

2-1+y22-2++yn2-n)…=[x]補[–y0+(y1–

y12-1)+(y22-1–y22-2)++(yn2-(n-1)–yn2-n)]…=[x]補[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn–yn-1)2-(n-1)+(0

–yn)2-n)]…y12-1++…yn

2-n–[x]補=+[–x]補

2-1=20–2-12-2=2-1–2-2=[x]補[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn+1–yn)2-n]…附加位

yn+1第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天Booth算法遞推公式[z0]補=0[z1]補=2-1{(yn+1–yn)[x]補+[z0]補}yn+1=0[zn]補=2-1{(y2–y1)[x]補+[zn-1]補}…[x

·

y]補=[zn]補+(y1–y0)[x]補最后一步不移位如何實現(xiàn)

yi+1–yi

?000110111+[x]補

1+[–x]補

11yi

yi+1操作yi+1–yi01-10第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例已知x=+0.0011y=–0.1011求[x·y]補解：00.000011.110111.110100.001111.110100.001111.11011.0101000.0001111.11011100.000111111.11011111[x]補

=0.0011[y]補

=1.0101[–x]補

=1.1101+[–x]補11.11101101011+[x]補00.00001110101+[–x]補11.1110111101100.00001111101+[–x]補+[x]補∴

[x·y]補

=1.11011111

最后一步不移位第33頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.2.2

定點數(shù)的運算Booth算法的硬件配置A、X、Q均n+2位移位和加受末兩位乘數(shù)控制0An