2024年北京市海淀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年北京市海淀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）下列幾何體放置在水平面上，其中俯視圖是圓的幾何體為（）A． B． C． D．2．（2分）據(jù)報道，2024年春節(jié)假期北京接待游客約1750萬人次，旅游收入同比增長近四成．將17500000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．175×105 B．1.75×106 C．1.75×107 D．0.175×1083．（2分）如圖，AB⊥BC，AD∥BE，則∠CBE的大小為（）A．66° B．64° C．62° D．60°4．（2分）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)＜﹣3 C．﹣a＞2 D．﹣a≥35．（2分）每一個外角都是40°的正多邊形是（）A．正四邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正九邊形6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣47．（2分）現(xiàn)有三張背面完全一樣的撲克牌，它們的正面花色分別為，，．若將這三張撲克牌背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽取的兩張牌花色相同的概率為（）A． B． C． D．8．（2分）如圖，AB經(jīng)過圓心O，CD是⊙O的一條弦，BC是⊙O的切線．再從條件①，條件②，使得AD＝BC．條件①：CD平分AB；條件②：OB＝OA；條件③：AD2＝AO?AB．則所有可以添加的條件序號是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．10．（2分）分解因式：a3﹣4a＝．11．（2分）方程的解為．12．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（a，2）（b，﹣2），則a+b的值為．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3．點D在射線BC上運(yùn)動（不與點B重合），當(dāng)BD的長為時，AB＝AD．14．（2分）某實驗基地為全面掌握“無絮楊”樹苗的生長規(guī)律，定期對2000棵該品種樹苗進(jìn)行抽測．近期從中隨機(jī)抽測了100棵樹苗，獲得了它們的高度x（單位：cm），則估計此時該基地培育的2000棵“無絮楊”樹苗中長勢良好的有棵．15．（2分）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，AD，BC上，∠1＝α，則∠2的度數(shù)為（用含α的式子表示）．16．（2分）2019年11月，聯(lián)合國教科文組織將每年的3月14日定為“國際數(shù)學(xué)日”，也被許多人稱為“π節(jié)”．某校今年“π節(jié)”策劃了五個活動小云參與了所有活動．（1）若小云只挑戰(zhàn)成功一個，則挑戰(zhàn)成功的活動名稱為；（2）若小云共挑戰(zhàn)成功兩個，且她參與的第四個活動成功，則小云最終剩下的“π幣”數(shù)量的所有可能取值為．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題，每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）計算：2sin60°+|﹣1|+（）﹣1﹣．18．（5分）解不等式組：．19．（5分）已知b2﹣4a＝0，求代數(shù)式的值．20．（6分）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點，F(xiàn)分別在BC，AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若E為BC的中點，AE＝3，AC＝421．（6分）如圖是某房屋的平面示意圖．房主準(zhǔn)備將客廳和臥室地面鋪設(shè)木地板，廚房和衛(wèi)生間地面鋪設(shè)瓷磚．將房間地面全部鋪設(shè)完預(yù)計需要花費10000元，其中包含安裝費1270元．若每平方米木地板和瓷磚的價格之比是5：322．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，2）（0，1）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＜1時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx﹣1（m≠0）（k≠0）的值，直接寫出m的取值范圍．23．（5分）商品成本影響售價，為避免因成本波動導(dǎo)致售價劇烈波動，需要控制售價的漲跌幅．下面給出了商品售價和成本（單位：元）a．計算商品售價和成本漲跌幅的公式分別為：售價漲跌幅＝×100%，成本漲跌幅＝；b．規(guī)定當(dāng)周售價漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半；c．甲、乙兩種商品成本與售價信息如下：甲商品的成本與售價信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售價40m45np根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）甲商品這五周成本的平均數(shù)為，中位數(shù)為；（2）表中m的值為，從第三周到第五周，甲商品第周的售價最高；（3）記乙商品這40周售價的方差為，若將規(guī)定“當(dāng)周售價漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半”更改為“當(dāng)周售價漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的四分之一”，重新計算每周售價，則（填“＞”“＝”或“＜”）．24．（6分）如圖，AB，CD均為⊙O的直徑上，連接AE，交CD于點F，點G在BD的延長線上，AB＝AG．（1）求證：AG與⊙O相切；（2）若BG＝4，tan∠EDB＝，求EF的長．25．（5分）某校為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，發(fā)起“閱讀悅聽”活動，現(xiàn)有兩種打卡獎勵方式：方式一：每天打卡可領(lǐng)取60min聽書時長；方式二：第一天打卡可領(lǐng)取5min聽書時長，之后每天打卡領(lǐng)取的聽書時長是前一天的2倍．（1）根據(jù)上述兩種打卡獎勵方式補(bǔ)全表二：表一每天領(lǐng)取聽書時長天數(shù)1234…n方式一60606060…60方式二55×25×45×8…5×2n﹣1表二累計領(lǐng)取聽書時長天數(shù)1234…n方式一60120180240…方式二5×2﹣55×4﹣55×8﹣55×16﹣5…（2）根據(jù)表二，以天數(shù)n為橫坐標(biāo)，以該天累計領(lǐng)取的聽書時長為縱坐標(biāo)，并用虛線表達(dá)了變化趨勢．其中表示方式二變化趨勢的虛線是（填a或b），從第天完成打卡時開始，選擇方式二累計領(lǐng)取的聽書時長超過方式一；（3）現(xiàn)有一本時長不超過60min的有聲讀物，小云希望通過打卡領(lǐng)取該有聲讀物．若選擇方式二比選擇方式一所需的打卡天數(shù)多兩天，則這本有聲讀物的時長t（單位：min）．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（m，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，其中m≠0．（1）當(dāng)m＝4，n＝0時．求拋物線的對稱軸；（2）已知當(dāng)0＜m＜4時，總有n＜0．①求證：4a+b≤0；②點P（k，y1），Q（3k，y2）在該拋物線上，是否存在a，b，使得當(dāng)1＜k＜2時1＜y2？若存在，求出a與b之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在．說明理由．27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°（0°＜α≤60°）得到線段AD．點D關(guān)于直線BC的對稱點為E，連接AE（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，用等式表示線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系；（2）連接BD，依題意補(bǔ)全圖2，若AE＝BD28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于圖形M與圖形N給出如下定義：P為圖形N上任意一點，將圖形M繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到M′，稱M″是圖形M關(guān)于圖形N的“關(guān)聯(lián)圖形”．（1）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（2，t），其中t≠0．①若t＝1，請在圖中畫出點A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”；②若點A關(guān)于線段BC的“關(guān)聯(lián)圖形”與坐標(biāo)軸有公共點，直接寫出t的取值范圍；（2）對于平面上一條長度為a的線段和一個半徑為r的圓，點S在線段關(guān)于圓的“關(guān)聯(lián)圖形”上，記點S的縱坐標(biāo)的最大值和最小值的差為d，直接寫出d的取值范圍（用含a和r的式子表示）．

2024年北京市海淀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）下列幾何體放置在水平面上，其中俯視圖是圓的幾何體為（）A． B． C． D．【解答】解：A、俯視圖是一個圓；B、俯視圖是一個矩形；C、俯視圖是一個三角形；D、俯視圖是一個矩形．故選：A．2．（2分）據(jù)報道，2024年春節(jié)假期北京接待游客約1750萬人次，旅游收入同比增長近四成．將17500000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．175×105 B．1.75×106 C．1.75×107 D．0.175×108【解答】解：17500000＝1.75×107．故選：C．3．（2分）如圖，AB⊥BC，AD∥BE，則∠CBE的大小為（）A．66° B．64° C．62° D．60°【解答】解：∵AD∥BE，∴∠BAD＝∠ABE＝28°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝62°，故選：C．4．（2分）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)＜﹣3 C．﹣a＞2 D．﹣a≥3【解答】解：由數(shù)軸可知，﹣3＜a＜﹣2，A、﹣8＜a＜﹣2；B、﹣3＜a＜﹣4；C、∵﹣3＜a＜﹣2，故選項C符合題意；D、∵﹣5＜a＜﹣2，故選項D不符合題意；故選：C．5．（2分）每一個外角都是40°的正多邊形是（）A．正四邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正九邊形【解答】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，依題意得：40n＝360，解：n＝9，∴每一個外角都是40°的正多邊形是正九邊形．故選：D．6．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝22﹣2m＝0，解得m＝1，即m的值為2，故選：A．7．（2分）現(xiàn)有三張背面完全一樣的撲克牌，它們的正面花色分別為，，．若將這三張撲克牌背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽取的兩張牌花色相同的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：三張撲克牌分別用A、B、C表示ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）共有9種等可能的情況數(shù)，其中抽取的兩張牌花色相同的有3種情況，則抽取的兩張牌花色相同的概率為＝．故選：B．8．（2分）如圖，AB經(jīng)過圓心O，CD是⊙O的一條弦，BC是⊙O的切線．再從條件①，條件②，使得AD＝BC．條件①：CD平分AB；條件②：OB＝OA；條件③：AD2＝AO?AB．則所有可以添加的條件序號是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：連接AC，OC，CD交于點E，∵AB經(jīng)過圓心O，CD是⊙O的一條弦，∴CE＝BE，∠AED＝∠BEC＝90°，則AC＝AD，若選條件①，∵CD平分AB，∴AE＝BE，∴△AED≌△BEC（SAS），∴AD＝BC，故①符合題意；若選條件②，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BC是⊙O的切線，∴OC⊥BC，∵，則，得，設(shè)OA＝OC＝r，則，，BE＝OB﹣OE＝＝r，則AE≠BE，∴AC≠BC，即AD≠BC，故②不符合題意；若選條件③，∵AD2＝AO?AB，即AC2＝AO?AB，，又∵∠CAO＝∠BAC，∴△CAO∽△BAC，∴∠B＝∠OCA，又∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠B，∴AC＝BC，∴AD＝BC，故③符合題意；綜上，所有可以添加的條件序號是①③，故選：B．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≥1．【解答】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣1≥8，解得x≥1．故答案為：x≥1．10．（2分）分解因式：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+5）（a﹣2）．故答案為：a（a+2）（a﹣3）11．（2分）方程的解為x＝1．【解答】解：，3x﹣6＝2x，解得x＝1，把x＝3，代入x?（3x﹣1）＝4×（3×1﹣3）＝2≠0，故x＝6是原方程的解．故答案為：x＝1．12．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（a，2）（b，﹣2），則a+b的值為0．【解答】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（a，﹣2），∴6＝，﹣2＝，∴a＝，b＝，∴a+b＝＝4．故答案為：0．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3．點D在射線BC上運(yùn)動（不與點B重合），當(dāng)BD的長為8時，AB＝AD．【解答】解：如圖，∵AB＝AD，AC⊥BC，∴BC＝CD＝4，∴BD＝8．故答案為：8．14．（2分）某實驗基地為全面掌握“無絮楊”樹苗的生長規(guī)律，定期對2000棵該品種樹苗進(jìn)行抽測．近期從中隨機(jī)抽測了100棵樹苗，獲得了它們的高度x（單位：cm），則估計此時該基地培育的2000棵“無絮楊”樹苗中長勢良好的有940棵．【解答】解：∵隨機(jī)抽測的100棵樹苗中高度不低于300cm的占比：＝47%，∴此時該基地培育的2000棵“無絮楊”樹苗中長勢良好的有：2000×47%＝940（棵），故答案為：940．15．（2分）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，AD，BC上，∠1＝α，則∠2的度數(shù)為180°﹣α（用含α的式子表示）．【解答】解：過點G作AD的垂線，垂足為M，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，AD＝CD．又∵∠GMD＝90°，∴四邊形GCDM是矩形，∴MG＝CD，∴MG＝AD．在Rt△ADE和Rt△GMF中，，∴Rt△ADE≌Rt△GMF（HL）．∴∠DAE＝∠MGF．又∵∠MGF+∠MFG＝90°，∴∠DAE+∠MFG＝90°，∴AE⊥GF．又∵∠D＝90°，∴∠2+∠DEA＝180°．∵AB∥CD，∴∠1＝∠DEA，∴∠8+∠2＝180°，即∠2＝180°﹣α．故答案為：180°﹣α．16．（2分）2019年11月，聯(lián)合國教科文組織將每年的3月14日定為“國際數(shù)學(xué)日”，也被許多人稱為“π節(jié)”．某校今年“π節(jié)”策劃了五個活動小云參與了所有活動．（1）若小云只挑戰(zhàn)成功一個，則挑戰(zhàn)成功的活動名稱為魯班鎖；（2）若小云共挑戰(zhàn)成功兩個，且她參與的第四個活動成功，則小云最終剩下的“π幣”數(shù)量的所有可能取值為1枚或2枚或3枚．【解答】解：（1）∵小云參與了所有活動，且小云只挑戰(zhàn)成功一個，∴小云用活動前發(fā)放的一枚“π幣”參與了魯班鎖，且挑戰(zhàn)成功，再次參與了其余四個活動，故答案為：魯班鎖；（2）∵小云共挑戰(zhàn)成功兩個，且參與的第四個活動成功，∴小云參與的第一個活動成功，且為華容道，若參與的第一個活動為華容道，則參與的第四個活動可能為24點、魔方或魯班鎖、2枚或3枚，若參與的第一個活動為魔方，則參與的第四個活動可能為24點、華容道或魯班鎖、8枚或3枚，若參與的第一個活動為魯班鎖，則參與的第四個活動可能為24點、華容道或魔方，故答案為：1枚、8枚或3枚．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題，每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）計算：2sin60°+|﹣1|+（）﹣1﹣．【解答】解：原式＝2×+1+2﹣3＝+4+2﹣2＝3﹣．18．（5分）解不等式組：．【解答】解：解不等式4x﹣3＜2，得：x＜2，解不等式，得：x＞5，∴原不等式組的解集為：1＜x＜2．19．（5分）已知b2﹣4a＝0，求代數(shù)式的值．【解答】解：∵b2﹣4a＝5，∴b2＝4a，∴＝＝＝7．20．（6分）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點，F(xiàn)分別在BC，AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若E為BC的中點，AE＝3，AC＝4【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵O為AC的中點，∴OA＝OC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形．（2）解：∵四邊形AECF是菱形，AE＝3，∴CE＝AE＝3，∵E為BC的中點，∴BE＝CE＝AE＝3，∴BC＝2BE＝6，∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝∠EAC+∠EAB＝×180°＝90°，∴AB＝＝＝2，∴AB的長是2．21．（6分）如圖是某房屋的平面示意圖．房主準(zhǔn)備將客廳和臥室地面鋪設(shè)木地板，廚房和衛(wèi)生間地面鋪設(shè)瓷磚．將房間地面全部鋪設(shè)完預(yù)計需要花費10000元，其中包含安裝費1270元．若每平方米木地板和瓷磚的價格之比是5：3【解答】解：設(shè)每平方米木地板的價格為5x元，則每平方米瓷磚的價格為3x元[2×4+（6﹣7）×（5+2﹣6）+5×3]?4x+3×2×4×3x+1270＝10000，解得x＝30，∴每平方米木地板的價格為：5×30＝150（元），每平方米瓷磚的價格為：3×30＝90（元），答：每平方米木地板和瓷磚的價格分別為150元，90元．22．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，2）（0，1）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＜1時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx﹣1（m≠0）（k≠0）的值，直接寫出m的取值范圍．【解答】解：（1）把點A（1，2）和B（6，解得，∴該函數(shù)的解析式為y＝x+1；（2）將（4，1）代入y＝mx﹣1中，解得m＝6，如圖，∵當(dāng)x＜1時，對于x的每一個值，∴直線y＝mx﹣1與直線y＝x+8的交點的橫坐標(biāo)不小于1，∴1≤m≤5．23．（5分）商品成本影響售價，為避免因成本波動導(dǎo)致售價劇烈波動，需要控制售價的漲跌幅．下面給出了商品售價和成本（單位：元）a．計算商品售價和成本漲跌幅的公式分別為：售價漲跌幅＝×100%，成本漲跌幅＝；b．規(guī)定當(dāng)周售價漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半；c．甲、乙兩種商品成本與售價信息如下：甲商品的成本與售價信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售價40m45np根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）甲商品這五周成本的平均數(shù)為32，中位數(shù)為25；（2）表中m的值為60，從第三周到第五周，甲商品第四周的售價最高；（3）記乙商品這40周售價的方差為，若將規(guī)定“當(dāng)周售價漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半”更改為“當(dāng)周售價漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的四分之一”，重新計算每周售價，則＞（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】（1）解：由題意知，成本從小到大依次排序為20，25，50；∴甲商品這五周成本的平均數(shù)為＝32，中位數(shù)為第7個位置的數(shù)即中位數(shù)是25，故答案為：32，25；（2）解：由題意知，第二周成本的漲跌幅為，∴第二周售價的漲跌幅為×100%＝100%×，解得，m＝60；同理，第四周成本的漲跌幅為60%×100%＝60%×，解得，n＝58.5；第五周成本的漲跌幅為﹣50%，第五周售價的漲跌幅為，解得，p＝43.875；∵43.875＜45＜58.5，∴從第三周到第五周，甲商品第四周的售價最高，故答案為：60，四；（3）解：由題意知，改規(guī)定前“當(dāng)周售價漲跌幅為當(dāng)周成本漲跌幅的一半”，∴改規(guī)定后售價的波動比改規(guī)定前的售價波動小，∴＞，故答案為：＞．24．（6分）如圖，AB，CD均為⊙O的直徑上，連接AE，交CD于點F，點G在BD的延長線上，AB＝AG．（1）求證：AG與⊙O相切；（2）若BG＝4，tan∠EDB＝，求EF的長．【解答】解：（1）證明：由∠EDB+∠EAD＝45°，∠EDB＝∠EAB，得∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝45°，由AB為直徑，得∠ADB＝90°，由AB＝AG，得∠GAD＝∠BAD＝45°，得∠GAB＝90°，得AG與⊙O相切；（2）解：連接BE，由AB＝AG，BG＝4，得BD＝BG＝2，得AB＝BD＝2，得OA＝，由＝tan∠EAB＝tan∠EDB＝2+AE4＝AB2，得（AE）2+AE2＝（7）2，得AE＝6，由∠BOD＝4∠BAD＝90°，得＝tan∠EAB＝，得OF＝OA＝，得AF＝＝，得EF＝AE﹣AF＝．25．（5分）某校為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，發(fā)起“閱讀悅聽”活動，現(xiàn)有兩種打卡獎勵方式：方式一：每天打卡可領(lǐng)取60min聽書時長；方式二：第一天打卡可領(lǐng)取5min聽書時長，之后每天打卡領(lǐng)取的聽書時長是前一天的2倍．（1）根據(jù)上述兩種打卡獎勵方式補(bǔ)全表二：表一每天領(lǐng)取聽書時長天數(shù)1234…n方式一60606060…60方式二55×25×45×8…5×2n﹣1表二累計領(lǐng)取聽書時長天數(shù)1234…n方式一60120180240…60n方式二5×2﹣55×4﹣55×8﹣55×16﹣5…5×2n﹣5（2）根據(jù)表二，以天數(shù)n為橫坐標(biāo)，以該天累計領(lǐng)取的聽書時長為縱坐標(biāo)，并用虛線表達(dá)了變化趨勢．其中表示方式二變化趨勢的虛線是a（填a或b），從第7天完成打卡時開始，選擇方式二累計領(lǐng)取的聽書時長超過方式一；（3）現(xiàn)有一本時長不超過60min的有聲讀物，小云希望通過打卡領(lǐng)取該有聲讀物．若選擇方式二比選擇方式一所需的打卡天數(shù)多兩天，則這本有聲讀物的時長t（單位：min）15＜t≤35．．【解答】解：（1）由表二可知，方式一中第n天的累計領(lǐng)取聽書時長為60n，方式二中第n天的累計領(lǐng)取聽書時長為5×2n﹣7．故答案為：60n；5×2n﹣7．（2）在方式二中可知當(dāng)天數(shù)為3天時，累計時長為35，故表示方式二變化趨勢的虛線是a，由圖象可知從第7天完成打卡時開始，選擇方式二累計領(lǐng)取的聽書時長超過方式一．故答案為：a；8．（3）由于方式一每天打卡可以領(lǐng)取60min聽書時長，現(xiàn)有一本時長不超過60min的有聲讀物，所以選擇方式一只需1天，又由于選擇方式二比選擇方式一所需的打卡天數(shù)多兩天，則選擇方式二需3天，選擇方式二打卡8天累計領(lǐng)取聽書時間為5×24﹣5＝35min，選擇方式二打卡2天累計領(lǐng)取聽書時間為4×22﹣7＝15min，所以這本有聲讀物的時長t的取值范圍是15＜t≤35．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（m，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，其中m≠0．（1）當(dāng)m＝4，n＝0時．求拋物線的對稱軸；（2）已知當(dāng)0＜m＜4時，總有n＜0．①求證：4a+b≤0；②點P（k，y1），Q（3k，y2）在該拋物線上，是否存在a，b，使得當(dāng)1＜k＜2時1＜y2？若存在，求出a與b之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在．說明理由．【解答】（1）解：由題意可知：點（m，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上，m＝8∴16a+4b＝0，∴b＝﹣3a，∴x＝，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2；（2）①證明：令y＝7，則ax2+bx＝0（a＞3），解得：x＝0或，∴拋物線y＝ax2+bx（a＞6）與x軸交于點（0，0），，∵a＞0，∴拋物線開口向上，（Ⅰ）當(dāng)b＜0時，∵，∴當(dāng)0＜x＜﹣時，y＜0時，y＞5，∵當(dāng)0＜m＜4時，總有n＜8，∴．∵a＞0，∴8a+b≤0，（Ⅱ）當(dāng)b＞0時，∵，∴當(dāng)時，y＜0或x＞5時，∴當(dāng)0＜m＜4時，n＞8，綜上，4a+b≤0；②解：存在a，b，使得當(dāng)3＜k＜2時1＜y2，理由：拋物線的對稱軸為x＝t＝﹣，∵a＞0，∴當(dāng)x≥t時，y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減?。?＜k＜2，∴3＜7k＜6，k＜3k，（Ⅰ）t≤8時，即b≥﹣2a，∵t≤k＜3k，此時P，∴y2＜y2，符合題意，∴a與b之間的數(shù)量關(guān)系為：b≥﹣2a；（Ⅱ）當(dāng)3＜t≤2時，當(dāng)t≤k＜2時，∵t＜k＜5k，此時P，∴y1＜y2，當(dāng)3＜k＜t時，設(shè)點P（k，y1）關(guān)于拋物線對稱軸x＝t的對稱點為點P′（x0，y4），則x0＞t，﹣﹣k＝x7﹣t，∴x0＝2t﹣k，∵4＜k＜t，1＜t≤2，∴4t﹣k＜3，t＜x0＜5，∵3＜3k＜5，t＜x0＜3k，∴y8＜y2，∴當(dāng)1＜t≤2時，符合題意；（Ⅲ）當(dāng)2＜t≤3時，令，∴，則y1＝y(tǒng)4，不符合題意，（Ⅳ）當(dāng)3＜t＜6時，令6k＝t，則k＜3k≤t，∴y1＞y5，不符合題意；（Ⅴ）當(dāng)t≥6時，∵k＜3k＜t，∴y4＞y2，不符合題意，∴當(dāng)t≤2，即時，符合題意．∵a＞0，∴2a+b≥0，由（1）可得：4a+b≤8，∴4a+b＝0．綜上，存在a，b，都有y7＜y2，a與b之間的數(shù)量關(guān)系為：b≥﹣2a或2a+b＝0．27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°（0°＜α≤60°）得到線段AD．點D關(guān)于直