2024年初一下冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)62平方差公式（提高）知識講解

2024年初一下冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)平方差公式（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能運用平方差公式把簡單的多項式進行因式分解.2.會綜合運用提公因式法和平方差公式把多項式分解因式；3．發(fā)展綜合運用知識的能力和逆向思維的習(xí)慣.【要點梳理】要點一、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.要點二、因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學(xué)到）．要點三、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．【典型例題】類型一、公式法——平方差公式1、分解因式：（1）；（2）；（3）．【思路點撥】（1）把看做整體，變形為后分解．（2）可寫成，可寫成，和分別相當(dāng)于公式里的和．（3）把、看作一個整體進行分解．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．【總結(jié)升華】注意套用公式時要注意字母的廣泛意義，可以是字母，也可以是單項式或多項式.舉一反三：【變式】將下列各式分解因式：（1）；（2）（3）；（4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝＝（3）原式（4）原式2、分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結(jié)升華】（1）如果多項式的各項中含有公因式，那么先提取公因式，再運用平方差公式分解．（2）因式分解必須進行到每一個多項式的因式都不能分解為止．舉一反三：【變式】先化簡，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．【答案】解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）=4a×6b=24ab，當(dāng)a=，即ab=時，原式=24ab=4．類型二、平方差公式的應(yīng)用3、在日常生活中，如取款、上網(wǎng)需要密碼，有一種因式分解法產(chǎn)生密碼，例如x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），當(dāng)x=9，y=9時，x﹣y=0，x+y=18，x2+y2=162，則密碼018162．對于多項式4x3﹣xy2，取x=10，y=10，用上述方法產(chǎn)生密碼是什么？【思路點撥】首先將多項式4x3﹣xy2進行因式分解，得到4x3﹣xy2=x（2x+y）（2x﹣y），然后把x=10，y=10代入，分別計算出2x+y=及2x﹣y的值，從而得出密碼．【答案與解析】解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），當(dāng)x=10，y=10時，x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，故密碼為103010或101030或301010．【總結(jié)升華】本題是中考中的新題型，考查了學(xué)生的閱讀能力及分析解決問題的能力，讀懂密碼產(chǎn)生的方法是關(guān)鍵．4、閱讀下面的計算過程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根據(jù)上式的計算方法，請計算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路點撥】（1）原式變形后，利用平方差公式化簡，計算即可得到結(jié)果；（2）原式變形后，利用平方差公式化簡，計算即可得到結(jié)果．【答案與解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【總結(jié)升華】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．完全平方公式（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能運用完全平方公式把簡單的多項式進行因式分解.2.會綜合運用提公因式法和公式法把多項式分解因式；3．發(fā)展綜合運用知識的能力和逆向思維的習(xí)慣.【要點梳理】要點一、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.要點二、因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學(xué)到）．要點三、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．【典型例題】類型一、公式法——完全平方公式1、下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）．A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點：必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍，對各項分析判斷后利用排除法求解.【答案】B；【解析】A、其中有兩項-x2、12不能寫成平方和的形式，不符合完全平方公式特點，故本選項錯誤； B、，符合完全平方公式特點，故本選項正確；C、其中有兩項x2、-12不能寫成平方和的形式，不符合完全平方公式特點，故本選項錯誤； D、，不符合完全平方公式特點，故本選項錯誤. 【總結(jié)升華】本題主要考察了能用完全平方公式分解因式的式子特點，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，則m的值是（） A．﹣1 B． 7 C． 7或﹣1 D． 5或1【答案】C.2、分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結(jié)升華】本題的關(guān)鍵是掌握公式的特征，套用公式時要注意把每一項同公式的每一項對應(yīng)．舉一反三：【變式】分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】解：（1）．（2）．（3）．（4）．3、分解因式：（1）；（2）；（3）．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．【總結(jié)升華】分解因式的一般步驟：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，沒有公因式的套公式，最后檢查每一個多項式因式，看能否繼續(xù)分解．舉一反三：【變式】分解因式：（1）．（2）．（3）；（4）；（5）；【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式（4）原式＝（5）原式類型二、配方法4、已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x2+y2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．【思路點撥】（1）原式利用完全平方公式變形，將已知等式代入計算即可求出值；（2）原式利用多項式乘以多項式法則計算，整理后將各自的值代入計算即可求出值．【答案與解析】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．【總結(jié)升華】要先觀察式子的特點，看能不能將式子進行變形，以簡化計算.舉一反三：【變式】已知為任意有理數(shù)，則多項式－1－的值為（）．A．一定為負(fù)數(shù)B．不可能為正數(shù)C．一定為正數(shù)D．可能為正數(shù)，負(fù)數(shù)或0【答案】B；提示：－1－＝.完全平方公式（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能運用完全平方公式把簡單的多項式進行因式分解.2.會綜合運用提公因式法和公式法把多項式分解因式；3．發(fā)展綜合運用知識的能力和逆向思維的習(xí)慣.【要點梳理】要點一、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.要點二、因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學(xué)到）．要點三、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．【典型例題】類型一、公式法——完全平方公式1、分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結(jié)升華】（1）提公因式法是因式分解的首選法．多項式中各項若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②運用公式法．（2）因式分解要分解到每一個因式不能再分解為止．舉一反三：【變式】分解因式：（1）．（2）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．2、已知a+b=3，ab=2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3．【思路點撥】先提公因式ab，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解，然后帶入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【答案與解析】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2將a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．故代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值是18．【總結(jié)升華】在因式分解中要注意整體思想的應(yīng)用，對于式子較復(fù)雜的題目不要輕易去括號．舉一反三：【變式】若，是整數(shù)，求證：是一個完全平方數(shù).【答案】解：令∴上式即類型二、配方法分解因式3、用配方法來解決一部分二次三項式因式分解的問題，如：那該添什么項就可以配成完全平方公式呢？我們先考慮二次項系數(shù)為1的情況：如添上什么就可以成為完全平方式？因此添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方.那么二次項系數(shù)不是1的呢？當(dāng)然是轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1了.分解因式：.【思路點撥】提出二次項的系數(shù)3，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.【答案與解析】解：如【總結(jié)升華】配方法，二次項系數(shù)為1的時候，添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方.二次項系數(shù)不是1的時候，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.類型三、完全平方公式的應(yīng)用4、先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒為非負(fù)數(shù)的特點在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項式2x2+12x﹣4的最大（小）值時，我們可以這樣處理：解：原式=2（x2+6x﹣2）=2（x2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因為無論x取什么數(shù)，都有（x+3）2的值為非負(fù)數(shù)所以（x+3）2的最小值為0，此時x=﹣3進而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以當(dāng)x=﹣3時，原多項式的最小值是﹣22.解決問題：請根據(jù)上面的解題思路，探求多項式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值．【答案與解析】解：原式=3（x2﹣2x+4）=3（x2﹣2x+1﹣1+4）=3（x﹣1）2+9，∵無論x取什么數(shù)，都有（x﹣1）2的值為非負(fù)數(shù)，∴（x﹣1）2的最小值為0，此時x=1，∴3（x﹣1）2+9的最小值為：3×0+9=9，則當(dāng)x=1時，原多項式的最小值是9．【總結(jié)升華】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】若△