2024年初一上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)25-1一元一次方程的解法（提高）知識(shí)講解

2024年初一上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)一元一次方程的解法（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟悉解一元一次方程的一般步驟，理解每步變形的依據(jù)；掌握一元一次方程的解法，體會(huì)解法中蘊(yùn)涵的化歸思想；進(jìn)一步熟練掌握在列方程時(shí)確定等量關(guān)系的方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解一元一次方程的一般步驟變形名稱具體做法注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)(1)不要漏乘不含分母的項(xiàng)(2)分子是一個(gè)整體的，去分母后應(yīng)加上括號(hào)去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)(1)不要漏乘括號(hào)里的項(xiàng)(2)不要弄錯(cuò)符號(hào)移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要變號(hào))(1)移項(xiàng)要變號(hào)(2)不要丟項(xiàng)合并同類項(xiàng)把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指數(shù)不變系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解．不要把分子、分母寫顛倒要點(diǎn)詮釋：（1）解方程時(shí)，表中有些變形步驟可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的順序，有些步驟可以合并簡(jiǎn)化．(2)去括號(hào)一般按由內(nèi)向外的順序進(jìn)行，也可以根據(jù)方程的特點(diǎn)按由外向內(nèi)的順序進(jìn)行.（3）當(dāng)方程中含有小數(shù)或分?jǐn)?shù)形式的分母時(shí)，一般先利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分母變?yōu)檎麛?shù)后再去分母，注意去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)，而分母化整的依據(jù)是分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，兩者不要混淆．要點(diǎn)二、解特殊的一元一次方程1.含絕對(duì)值的一元一次方程解此類方程關(guān)鍵要把絕對(duì)值化去，使之成為一般的一元一次方程，化去絕對(duì)值的依據(jù)是絕對(duì)值的意義．要點(diǎn)詮釋：此類問題一般先把方程化為的形式，再分類討論：(1)當(dāng)時(shí)，無解；（2）當(dāng)時(shí)，原方程化為：；（3）當(dāng)時(shí)，原方程可化為：或.2.含字母的一元一次方程此類方程一般先化為最簡(jiǎn)形式ax＝b，再分三種情況分類討論：（1）當(dāng)a≠0時(shí)，；（2）當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，x為任意有理數(shù)；（3）當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，方程無解．【典型例題】類型一、解較簡(jiǎn)單的一元一次方程 1．關(guān)于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，則m的值是（）A.10B.-8C.-10D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由題意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【總結(jié)升華】根據(jù)題目給出的條件，列出方程組，便可求出未知數(shù)．舉一反三：【變式】下列方程的解法對(duì)不對(duì)?如果不對(duì)，錯(cuò)在哪里?應(yīng)當(dāng)怎樣改正?3x+2＝7x+5解：移項(xiàng)得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系數(shù)化為1得．【答案】以上的解法是錯(cuò)誤的，其錯(cuò)誤的原因是在移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，也就是說將方程中右邊的7x移到方程左邊應(yīng)變?yōu)?7x，方程左邊的2移到方程右邊應(yīng)變?yōu)?2．正確解法：解：移項(xiàng)得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系數(shù)化為1得．類型二、去括號(hào)解一元一次方程2.解方程：．【答案與解析】解法1：先去小括號(hào)得：．再去中括號(hào)得：．移項(xiàng)，合并得：．系數(shù)化為1，得：．解法2：兩邊均乘以2，去中括號(hào)得：．去小括號(hào)，并移項(xiàng)合并得：，解得：．解法3：原方程可化為：．去中括號(hào)，得．移項(xiàng)、合并，得．解得．【總結(jié)升華】解含有括號(hào)的一元一次方程時(shí)，一般方法是由內(nèi)到外或由外到內(nèi)逐層去括號(hào)，但有時(shí)根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活恰當(dāng)?shù)厝ダㄌ?hào)，以使計(jì)算簡(jiǎn)便．例如本題的方法3：方程左、右兩邊都含(x-1)，因此將方程左邊括號(hào)內(nèi)的一項(xiàng)x變?yōu)?x-1)后，把(x-1)視為一個(gè)整體運(yùn)算．3．解方程：．【答案與解析】解法1：(層層去括號(hào))去小括號(hào)．去中括號(hào)．去大括號(hào)．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得x＝30．解法2：(層層去分母)移項(xiàng)，得．兩邊都乘2，得．移項(xiàng)，得．兩邊都乘2，得．移項(xiàng)，得，兩邊都乘2，得．移項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得x＝30．【總結(jié)升華】此題既可以按去括號(hào)的思路做，也可以按去分母的思路做．舉一反三：【變式】解方程．【答案】解：方程兩邊同乘2，得．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得．兩邊同乘以3，得．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得．兩邊同乘以4，得．移項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得x＝5．類型三、解含分母的一元一次方程4．解方程﹣=．【思路點(diǎn)撥】方程整理后，去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【答案與解析】解：原方程可化為6x﹣=，兩邊同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移項(xiàng)合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【總結(jié)升華】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．舉一反三：【變式】解方程．【答案】解：原方程可化為．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括號(hào)，得12y+27-15-10y＝15．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得2y＝3．系數(shù)化為1，得．類型四、解含絕對(duì)值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0．【思路點(diǎn)撥】將絕對(duì)值里面的式子看作整體，先求出整體的值，再求x的值．【答案與解析】解：原方程可化為：．當(dāng)x≥0時(shí)，得，解得：，當(dāng)x＜0時(shí)，得，解得：，所以原方程的解是x＝或x＝．【總結(jié)升華】此類問題一般先把方程化為的形式，再根據(jù)（）的正負(fù)分類討論，注意不要漏解．舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解滿足方程|x﹣|=0，則m的值為（）A.B.2C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x代入方程mx+2=2（m﹣x）得：m+2=2（m﹣），解之得：m=2.類型五、解含字母系數(shù)的方程6.解關(guān)于的方程：【答案與解析】解：原方程可化為：當(dāng)，即時(shí)，方程有唯一解為：；當(dāng)，即時(shí)，方程無解．【總結(jié)升華】解含字母系數(shù)的方程時(shí)，先化為最簡(jiǎn)形式，再根據(jù)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論．舉一反三：【變式】若關(guān)于x的方程(k-4)x=6有正整數(shù)解，求自然數(shù)k的值.【答案】解：∵原方程有解，∴原方程的解為：為正整數(shù)，∴應(yīng)為6的正約數(shù)，即可為：1，2，3，6∴為：5，6，7，10答：自然數(shù)k的值為：5，6，7，10.實(shí)際問題與一元一次方程（一）（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握分析解決實(shí)際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：?jiǎn)栴}方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．要點(diǎn)詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．知識(shí)點(diǎn)二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型（待續(xù)）1．和、差、倍、分問題（1）基本量及關(guān)系：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率，現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長(zhǎng)率等．2．行程問題（1）三個(gè)基本量間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間

（2）基本類型有：

①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．3．工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時(shí)間；（2）總工作量=各單位工作量之和．4．調(diào)配問題尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮．【典型例題】類型一、和差倍分問題1．在紅城中學(xué)舉行的“我愛祖國(guó)”征文活動(dòng)中，七年級(jí)和八年級(jí)共收到征文118篇，且七年級(jí)收到的征文篇數(shù)是八年級(jí)收到的征文篇數(shù)的一半還少2篇，求七年級(jí)收到的征文有多少篇？【思路點(diǎn)撥】設(shè)七年級(jí)收到的征文有x篇，則八年級(jí)收到的征文有（118﹣x）篇．結(jié)合七年級(jí)收到的征文篇數(shù)是八年級(jí)收到的征文篇數(shù)的一半還少2篇，即可列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【答案與解析】解：設(shè)七年級(jí)收到的征文有x篇，則八年級(jí)收到的征文有（118﹣x）篇，依題意得：（x+2）×2=118﹣x，解得：x=38．答：七年級(jí)收到的征文有38篇．【總結(jié)升華】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（或方程組）是關(guān)鍵．舉一反三：【變式】學(xué)校機(jī)房今年和去年共購置了100臺(tái)計(jì)算機(jī)，已知今年購置計(jì)算機(jī)數(shù)量是去年購置計(jì)算機(jī)數(shù)量的3倍，今年購置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是（） A． 25臺(tái) B． 50臺(tái) C． 75臺(tái) D． 100臺(tái)【答案】C．解：設(shè)今年購置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是x臺(tái)，去年購置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是（100﹣x）臺(tái)，根據(jù)題意可得：x=3（100﹣x），解得：x=75．類型二、行程問題1.一般問題2．小山娃要到城里參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，如果每小時(shí)走4千米，那么走完預(yù)訂時(shí)間離縣城還有0.5千米，如果他每小時(shí)走5千米，那么比預(yù)訂時(shí)間早半小時(shí)就可到達(dá)縣城．試問學(xué)校到縣城的距離是多少千米?【答案與解析】解：設(shè)小山娃預(yù)訂的時(shí)間為x小時(shí)，由題意得：4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．答：學(xué)校到縣城的距離是12.5千米．【總結(jié)升華】當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)有困難時(shí)，可采用間接設(shè)的方法．即所設(shè)的不是最后所求的，而是通過求其它的數(shù)量間接地求最后的未知量．舉一反三：【變式】某汽車在一段坡路上往返行駛，上坡的速度為10千米/時(shí)，下坡的速度為20千米/時(shí)，求汽車的平均速度．【答案】解：設(shè)這段坡路長(zhǎng)為a千米，汽車的平均速度為x千米/時(shí)，則上坡行駛的時(shí)間為小時(shí)，下坡行駛的時(shí)間為小時(shí)．依題意，得：，化簡(jiǎn)得：．顯然a≠0，解得．答：汽車的平均速度為千米/時(shí)．2.相遇問題（相向問題）3．A、B兩地相距100km，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲騎了1h后，乙從B地出發(fā)，問甲經(jīng)過多少時(shí)間與乙相遇？【答案與解析】解:設(shè)甲經(jīng)過x小時(shí)與乙相遇.由題意得：．解得，x=2.75．答：甲經(jīng)過2.75小時(shí)與乙相遇．【總結(jié)升華】等量關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=100km舉一反三：【變式】甲、乙兩人騎自行車，同時(shí)從相距45km的兩地相向而行，2小時(shí)相遇，每小時(shí)甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小時(shí)各行駛多少千米?【答案】解：設(shè)乙每小時(shí)行駛x千米，則甲每小時(shí)行駛(x+2.5)千米，根據(jù)題意，得：．解得：．（千米）答：甲每小時(shí)行駛12.5千米，乙每小時(shí)行駛10千米3.追及問題（同向問題）4．一隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行軍事野營(yíng)訓(xùn)練，他們以5千米/時(shí)的速度行進(jìn)，走了18分鐘時(shí)，學(xué)校要將一緊急通知傳給隊(duì)長(zhǎng)，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以14千米/時(shí)的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍?【答案與解析】解：設(shè)通訊員x小時(shí)可以追上學(xué)生隊(duì)伍，則根據(jù)題意，得．得：，小時(shí)=10分鐘．答：通訊員用10分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍．【總結(jié)升華】追及問題：路程差=速度差×?xí)r間，此外注意：方程中x表示小時(shí)，18表示分鐘，兩邊單位不一致，應(yīng)先統(tǒng)一單位．4.航行問題（順逆流問題）5．一艘船航行于A、B兩個(gè)碼頭之間，輪船順?biāo)叫行?小時(shí)，逆水航行需5小時(shí)，已知水流速度是4千米/時(shí)，求這兩個(gè)碼頭之間的距離．【答案與解析】解法1：設(shè)船在靜水中速度為x千米/時(shí)，則船順?biāo)叫械乃俣葹?x+4)千米/時(shí)，逆水航行的速度為(x-4)千米/時(shí)，由兩碼頭的距離不變得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米）．答：兩碼頭之間的距離為60千米．解法2：設(shè)A、B兩碼頭之間的距離為x千米，則船順?biāo)叫袝r(shí)速度為千米/時(shí)，逆水航行時(shí)速度為千米/時(shí)，由船在靜水中的速度不變得方程：，解得：．答：兩碼頭之間的距離為60千米．【總結(jié)升華】順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度-水流速度，根據(jù)兩個(gè)碼頭的距離不變或船在靜水中的速度不變列方程．類似地，當(dāng)物體在空中飛翔時(shí)，常會(huì)遇到順風(fēng)逆風(fēng)問題，解題思路類似順逆流問題．類型三、工程問題6．一個(gè)水池有兩個(gè)注水管，兩個(gè)水管同時(shí)注水，10小時(shí)可以注滿水池；甲管單獨(dú)開15小時(shí)可以注滿水池，現(xiàn)兩管同時(shí)注水7小時(shí)，關(guān)掉甲管，單獨(dú)開乙管注水，還需要幾小時(shí)能注滿水池?【思路點(diǎn)撥】視水管的蓄水量為“1”，設(shè)乙管還需x小時(shí)可以注滿水池；那么甲乙合注1小時(shí)注水池的，甲管單獨(dú)注水每小時(shí)注水池的，合注7小時(shí)注水池的，乙管每小時(shí)注水池的．【答案與解析】解：設(shè)乙管還需x小時(shí)才能注滿水池．由題意得方程：．解此方程得：x＝9．答：?jiǎn)为?dú)開乙管，還需9小時(shí)可以注滿水池．【總結(jié)升華】工作效率×工作時(shí)間=工作量，如果沒有具體的工作量，一般視總的工作量為“1”．舉一反三：【變式】修建某處住宅區(qū)的自來水管道，甲單獨(dú)完成需14天，乙單獨(dú)完成需18天，丙單獨(dú)完成需12天，前7天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開了一段時(shí)間，后兩天由乙、丙合作完成問乙中途離開了幾天?【答案】解：設(shè)乙中途離開x天，由題意得：．解得：．答：乙中途離開了3天．類型四、調(diào)配問題（比例問題、勞動(dòng)力調(diào)配問題）7．（2015春?衡陽校級(jí)月考）某班分兩組去兩處植樹，第一組22人，第二組26人．現(xiàn)第一組在植樹中遇到困難，需第二組支援．問從第二組調(diào)多少人去第一組才能使第一組的人數(shù)是第二組的2倍？設(shè)抽調(diào)x人，則可列方程（） A． 22+x=2×26 B． 22+x=2（26﹣x） C． 2（22+x）=26﹣x D． 22=2（26﹣x）【思路點(diǎn)撥】設(shè)抽調(diào)x人，則調(diào)后一組有（22+x）人，第二組有（26﹣x）人，根據(jù)關(guān)鍵語句：使第一組的人數(shù)是第二組的2倍列出方程即可．【答案】B．【解析】解：設(shè)抽調(diào)x人，由題意得：（22+x）=2（26﹣x），【總結(jié)升華】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出調(diào)后兩個(gè)組的人數(shù)．舉一反三：【變式】甲隊(duì)有72人，乙隊(duì)有68人，需要從甲隊(duì)調(diào)出多少人到乙隊(duì)，才能使甲隊(duì)恰好是乙隊(duì)人數(shù)的.解：設(shè)從甲隊(duì)調(diào)出x人到乙隊(duì).由題意得，．解得，x=12.答：需要從甲隊(duì)調(diào)出12人到乙隊(duì)，才能使甲隊(duì)恰好是乙隊(duì)人數(shù)的.實(shí)際問題與一元一次方程（一）（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握分析解決實(shí)際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：?jiǎn)栴}方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．要點(diǎn)詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．知識(shí)點(diǎn)二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型（待續(xù)）1．和、差、倍、分問題（1）基本量及關(guān)系：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率，現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長(zhǎng)率等．2．行程問題（1）三個(gè)基本量間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間

（2）基本類型有：

①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．3．工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時(shí)間；（2）總工作量=各單位工作量之和．4．調(diào)配問題尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮．【典型例題】類型一、和差倍分問題1．旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

【答案與解析】解：設(shè)油箱里原有汽油x公斤，由題意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%.

解得：x=10.

答：油箱里原有汽油10公斤.【總結(jié)升華】等量關(guān)系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.舉一反三：【變式】某班舉辦了一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個(gè)班有多少學(xué)生?一共展出了多少張郵票?【答案】解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得：3x+24＝4x-26解得：x＝50.所以3x+24＝3×50+24＝174（張）.答：這個(gè)班有50名學(xué)生，一共展出了174張郵票．類型二、行程問題1.車過橋問題2.某橋長(zhǎng)1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測(cè)得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個(gè)火車在橋上的時(shí)間是30s，求火車的長(zhǎng)度和速度．【思路點(diǎn)撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義．【答案與解析】解：設(shè)火車車身長(zhǎng)為xm，根據(jù)題意，得：，解得：x＝300，所以．答：火車的長(zhǎng)度是300m，車速是30m/s．【總結(jié)升華】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點(diǎn)表示火車頭)：(1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時(shí)火車走的路程是橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)．(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時(shí)火車走的路程是橋長(zhǎng)－車長(zhǎng)．由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度＝整個(gè)火車在橋上的速度．舉一反三：【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1米向前行走，每分鐘走86米，通過長(zhǎng)86米的橋，從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？【答案】解：設(shè)從第一排上橋到排尾離橋需要x分鐘，列方程得：，解得：x＝3答：從第一排上橋到排尾離橋需要3分鐘．2.相遇問題（相向問題）3．昆曲高速公路全長(zhǎng)128千米，甲、乙兩車同時(shí)從昆明、曲靖兩地高速路收費(fèi)站相向勻速開出，經(jīng)過40分鐘相遇，甲車比乙車每小時(shí)多行駛20千米．求甲、乙兩車的速度．【思路點(diǎn)撥】設(shè)出乙車速度，進(jìn)而表示出甲車速度，再根據(jù)相遇問題，兩車行駛的路程之和為128千米列出方程，解方程求出x的值即可．【答案與解析】解：40分鐘=小時(shí)，設(shè)乙車速度為x千米/時(shí)，甲車速度為（x+20）千米/時(shí)，根據(jù)題意，得（x+x+20）=128，解得x=86，則甲車速度為：x+20=86+20=106．答：甲車速度為106千米/時(shí)，乙車速度為86千米/時(shí)．【總結(jié)升華】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式列出一元一次方程，此題難度不大．舉一反三：【變式】甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩站同時(shí)開出，相向而行，途中相遇后繼續(xù)沿原路線行駛，在分別到達(dá)對(duì)方車站后立即返回，兩車第二次相遇時(shí)距A站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求A、B兩站間的距離.【答案】解：設(shè)A、B兩站間的距離為xkm，由題意得：解得：x=122答：A、B兩站間的距離為122km.3.追及問題（同向問題）4．一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時(shí)后，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時(shí)快30千米，但轎車行駛一小時(shí)后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結(jié)果又用兩小時(shí)才追上這輛卡車，求卡車的速度．【答案與解析】解：設(shè)卡車的速度為x千米/時(shí)，由題意得：解得：x=24答：卡車的速度為24千米/時(shí)．【總結(jié)升華】采用“線示”分析法，畫出示意圖．利用轎車行駛的總路程等于卡車行駛的總路程來列方程，理清兩車行駛的速度與時(shí)間．4.航行問題（順逆流問題）5．盛夏，某校組織長(zhǎng)江夜游，在流速為2.5千米/時(shí)的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小時(shí)．已知A、C兩地相距10千米，船在靜水中的速度為7.5千米/時(shí)，求A、B兩地間的距離．【思路點(diǎn)撥】由于C的位置不確定，要分類討論：（1）C地在A、B之間；（2）C地在A地上游．【答案與解析】解：設(shè)A、B兩地間的距離為x千米．(1)當(dāng)C地在A、B兩地之間時(shí)，依題意得：．解這個(gè)方程得：x＝20．(2)當(dāng)C地在A地上游時(shí)，依題意得：．解這個(gè)方程得：．答：A、B兩地間的距離為20千米或千米．【總結(jié)升華】這是航行問題，本題需分類討論，采用“線示”分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然后利用“共乘”4小時(shí)構(gòu)建方程求解．類似地，當(dāng)物體在空中飛翔時(shí)，常會(huì)遇到順風(fēng)逆風(fēng)問題，解題思路類似順逆流問題．5.環(huán)形問題6．甲、乙兩人在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑步，甲分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時(shí)同地同向出發(fā)，幾分鐘后二人相遇？若背向跑，幾分鐘后相遇？【思路點(diǎn)撥】在環(huán)形跑道上兩人同向而行相遇屬于追及問題，等量關(guān)系為：甲路程﹣乙路程=400，兩人背向而行屬于相遇問題，等量關(guān)系為：甲路程+乙路程=400．【答案與解析】解：設(shè)二人同時(shí)同地同向出發(fā)，x分鐘后二人相遇，則：240x﹣200x=400，解得：x=10．設(shè)兩人背向而行，y分鐘后相遇，則：240y+200y=400，解得：y=．答：二人