拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（五大題型）

3．3．1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能從幾何情境中認(rèn)識(shí)拋物線的幾何特征，給出拋物線的定義．（2）能類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，運(yùn)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能用它解決簡(jiǎn)單的問題，進(jìn)步體會(huì)曲線方程的建立方法．（1）理解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.（2）掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.（3）了解拋物線定義的實(shí)際應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)01拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^且垂直與的一條直線．（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡(jiǎn)單化．【即學(xué)即練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．雙曲線【答案】B【解析】動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，而點(diǎn)不在直線，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)到直線的垂線段中點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線.故選：B知識(shí)點(diǎn)02拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)（），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得．①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線的一次項(xiàng)的系數(shù)為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)是．一般情況歸納：方程圖象的開口方向焦點(diǎn)準(zhǔn)線時(shí)開口向右時(shí)開口向左時(shí)開口向上時(shí)開口向下④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)．用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論．⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況．【即學(xué)即練2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為；(2)準(zhǔn)線方程為：；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6.【解析】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)為，故拋物線焦準(zhǔn)距為，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）拋物線準(zhǔn)線方程為：，則，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，即，焦點(diǎn)位置不確定，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或或或.題型一：拋物線的定義例1．（2023·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）.A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由拋物線方程知：，即，根據(jù)拋物線定義知：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.故選：B例2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】依題意，點(diǎn)P到直線x＝－2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線例3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點(diǎn)為F，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義得3.故選：B變式1．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】由題意，動(dòng)點(diǎn)滿足，即，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，又由點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線.故選：D.題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例4．（2023·全國·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上；(4)焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.【解析】（1）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，可知拋物線焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)，則拋物線焦點(diǎn)可能在y軸正半軸或x軸負(fù)半軸上，則設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（3）由于直線與x軸的交點(diǎn)為，由題意可知拋物線焦點(diǎn)為，則，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）由題意拋物線焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.例5．（2023·全國·高二課堂例題）已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn).求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由于拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，因此拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，即.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例6．（2023·全國·高二課堂例題）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為；(2)準(zhǔn)線方程為.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)為在y軸的負(fù)半軸上，設(shè)焦準(zhǔn)距為p，則，即.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由拋物線準(zhǔn)線方程為知，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，并且，即，因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.變式2．（2023·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】根據(jù)題意，當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)拋物線方程為，，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)拋物線方程為，，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.變式3．（2023·高二課前預(yù)習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，如圖，已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為1m.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).【解析】如圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在x軸上.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.由已知條件得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，代入方程，得，即.所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是.題型三：軌跡方程—拋物線例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.例8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中有一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為d，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為d，且，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知：動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，并且其焦點(diǎn)為：，準(zhǔn)線為：，所以其拋物線的方程為.故選：B.變式4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）與圓：外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是（

）A． B．（）和（）C．（） D．（）和（）【答案】D【解析】將化為，則圓心的坐標(biāo)為，半徑為2．設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，則根據(jù)題意，且，即．當(dāng)時(shí)，得，即，當(dāng)時(shí)，得，即．故選：D.變式5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，∴點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，則點(diǎn)的軌跡方程是.故選：D.變式6．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y【答案】A【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，圓M與直線l：x＝－3的切點(diǎn)為N，則|MA|＝|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x＝－3的距離相等.∴點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點(diǎn)，以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x.故選：A.變式7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C與過點(diǎn)且垂直于x軸的直線僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且與圓外切，則點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，直線，且圓，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到與點(diǎn)到的距離相等，都是，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，故方程為.故選：A.變式8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為，由題可知，圓心到的距離和到直線的距離相等，都等于動(dòng)圓的半徑，即，整理得：．故選：C．方法二：由題可知?jiǎng)訄A圓心到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知?jiǎng)訄A圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故其軌跡方程為.故選：C.題型四：拋物線距離和與差的最值問題例10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為可知圓心，半徑為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離滿足，即；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為．故答案為：例11．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】拋物線，即，其焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線為，圓變形為，則圓心為拋物線的焦點(diǎn)，半徑為.點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線，取最小值時(shí)，最小值為.如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由拋物線定義可知，所以取最小值時(shí)，即取最小值，，當(dāng)三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..則的最小值為.故答案為：.例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值.【答案】4【解析】設(shè)圓心為，則為拋物線的焦點(diǎn)．設(shè)，則，要使最小，則需最大，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值是4．故答案為：4．變式9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值為．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖所示．根據(jù)拋物線的定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：.變式10．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則周長的最小值為.【答案】7【解析】當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，由，得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過作于，過作于，則，所以的周長為，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)的最小值為，因?yàn)?，所以的最小值?，即的周長的最小值為7，故答案為：7變式11．（2023·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，為使最小，點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．【答案】【解析】由以及拋物線可知，點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如下圖所示：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為；作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)三點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得.故答案為：變式12．（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：由拋物線的定義，可得，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，即當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn).因此，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.變式13．（2023·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)為圓M：上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，則的最小值為．【答案】/【解析】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線l：，圓M：的圓心，半徑，由拋物線的定義知，，則，當(dāng)P，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值為．故答案為：.題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）上世紀(jì)90年代，南京江寧區(qū)和陜西洛南縣就建立了深厚的友誼，1993年江寧區(qū)出資幫助洛南修建了寧洛橋，增強(qiáng)了兩地之間的友誼.如今人行道兩側(cè)各加寬6米，建成了“彩虹橋”（圖1），非常美麗.橋上一拋物線形的拱橋（圖2）跨度，拱高，在建造時(shí)每隔相等長度用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長度為.（精確到）【答案】【解析】以為原點(diǎn)，方向分別為軸正向，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系：由題意，，所以，，又拋物線開口向下，所以設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解得，所以拋物線方程為，又由題意在建造時(shí)每隔相等長度用一個(gè)柱子支撐，由圖可知有14個(gè)空格，因此每一個(gè)空格的長度為，所以，所以設(shè)點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以將其坐標(biāo)代入拋物線方程得.故答案為：例14．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考期中）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.【答案】【解析】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.故答案為：例15．（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則橋拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為.【答案】【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線方程為，，設(shè)，水面下降2m后，水面寬8m，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則，解得，故拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為.故答案為：變式14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為，若行車道總寬度為，則車輛通過隧道時(shí)的限制高度為m.【答案】【解析】由題意，如圖建系：則，，，，如圖可設(shè)，拋物線方程為，將代入，可得，求得，故拋物線方程為，將代入拋物線方程，可得，.故答案為：3.8.變式15．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為2cm時(shí)，水面寬度為6cm，當(dāng)水面再上升2cm時(shí)，水面寬度為cm.【答案】【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由題意得：點(diǎn)在拋物線上，所以，解得：，拋物線方程為，則當(dāng)水面再上升2cm時(shí)，即時(shí)，故，解得：，故水面寬度為cm.故答案為：.變式16．（2023·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D拋物線型拱橋，當(dāng)拱橋的頂點(diǎn)距離水面3米時(shí)，水面寬12米，則水面上升1米后，水面寬度為米.【答案】【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將A（6，3）代入，得，∴，代入B得，故水面寬為米，故答案為：．變式17．（2023·海南?？凇じ叨？计谥校┮阎粋€(gè)拋物線形拱橋在一次暴雨前后的水位之差為，暴雨后的水面寬為，暴雨來臨之前的水面寬為，則暴雨后的水面離拱頂?shù)木嚯x為.【答案】/【解析】如圖，以拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由已知得且，所以，解得，所以，即暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x為故答案為：一、單選題1．（2023·湖南·高三雅禮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓的圓心在拋物線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，則，得，所以該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．2．（2023·貴州貴陽·高二?？计谥校佄锞€的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．8【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，圓C：的圓心為，半徑，，所以F到圓C上點(diǎn)的距離的最大值為.故選：A3．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，若拋物線的焦點(diǎn)恰好是的重心，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)，拋物線，則，焦點(diǎn)恰好是的重心，則，故．故選：A．4．（2023·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面上，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結(jié)論均不正確【答案】C【解析】由題意，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，可得該動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線距離相等，當(dāng)定點(diǎn)不在定直線上時(shí)，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線；當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是經(jīng)過該定點(diǎn)且垂直于定直線的直線.故選C．5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．8【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，,所以，得，,所以的面積.故選：C6．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，的延長線交軸于點(diǎn)，若為線段FN的中點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】C【解析】過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意得，設(shè)，由拋物線定義可知，，因?yàn)槿魹榫€段FN的中點(diǎn)，所以，所以，將其代入中，解得.故選：C7．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖所示，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)闉榭拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，可得，又因?yàn)?，可?又由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故選：C.8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過C上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.若，則的外接圓面積為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由拋物線的定義可知，所以，代入拋物線的方程中得到，由幾何關(guān)系可知，.設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，解得，所以的外接圓面積為.故選：A二、多選題9．（2023·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，若，則（

）A．F的坐標(biāo)為 B．C． D．【答案】BCD【解析】由拋物線，可得，所以，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，則焦點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；由拋物線的定義,可得，解得，所以B正確；由，可得，所以，則，所以C正確；由，所以D正確．故選：BCD．10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)斜率為2的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線l的方程為.令，得，故的面積為，故.故選：BD.11．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為【答案】ACD【解析】由已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，開口方向向上，A正確，B錯(cuò)誤；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，C正確；準(zhǔn)線方程是，D正確．故選：ACD．12．（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為【答案】ABC【解析】由拋物線，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，又因?yàn)椋?，即，則.故選：ABC.三、填空題13．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)且該點(diǎn)在拋物線上，則的值為.【答案】【解析】直線，可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線恒過點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，可得，解得.故答案為：.14．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍，則．【答案】4【解析】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由于在拋物線上，故，根據(jù)題意可得,由拋物線定義可得，故答案為：415．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于點(diǎn)M，且，則．【答案】4【解析】把代入拋物線方程（），得，得，根據(jù)拋物線的定義有，解得，故答案為：416．（2023·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，線段AB的中點(diǎn)為M，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以拋物線C：，則，所以直線l的斜率為，則直線AB：，故把直線與拋物線進(jìn)行聯(lián)立，得，因?yàn)?，所以設(shè)，，則，，故答案為：.四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于A，兩點(diǎn)(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【解析】（1）由已知可得，，焦點(diǎn)在軸上，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為.（2）∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為.又∵傾斜角為的直線，所以斜率為，∴直線AB的方程為：.代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得.解法一：解得，所以．又點(diǎn)到直線的距離為，所以.解法二：，設(shè)，則，過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示．．點(diǎn)到直線的距離為，所以.18．（2023·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)，求面積的最小值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【解析】（1）由題意知,所以.（2）由(1)知,拋物線,直線過,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立設(shè),不妨設(shè)，∴，當(dāng)且僅