江西省宜春市山林崗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江西省宜春市山林崗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)等于A．i B． C．1 D．—1參考答案：D2.已知四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象如下，但順序打亂，則按照圖象從左到右的順序，對應(yīng)的函數(shù)正確的一組是A．①④②③

B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①

參考答案：【知識點】函數(shù)的圖象與圖象變化．B10【答案解析】A

解析：①是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱；②是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱；③是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱．且當(dāng)時，；④為非奇非偶函數(shù)，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；故選A.【思路點撥】從左到右依次分析四個圖象可知，第一個圖象關(guān)于Y軸對稱，是一個偶函數(shù)，第二個圖象不關(guān)于原點對稱，也不關(guān)于Y軸對稱，是一個非奇非偶函數(shù)；第三、四個圖象關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)，但第四個圖象在Y軸左側(cè)，函數(shù)值不大于0，分析四個函數(shù)的解析后，即可得到函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而得到答案．3.函數(shù)的定義域為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

略4.復(fù)數(shù)的虛部為（）A．i B．﹣i C． D．﹣參考答案：C【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)===﹣+i的虛部為．故選：C．5.曲線在點處的切線的斜率為（A） （B） （C） （D）參考答案：B略6.一個四面體ABCD的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）.A.

B.

C.

D.參考答案：答案：A7.函數(shù)的定義域為（

）.（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B8.函數(shù)，則A．

B．

C．

D．

參考答案：B9.等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，等差數(shù)列滿足，則有

（

）

A．

B．

C．

D．不能確定大小參考答案：答案:B10.在中，角的對邊成等比數(shù)列，且，則的面積為（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.“開心辭典”中有這樣的問題，給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的幾個數(shù)，現(xiàn)給出一組數(shù)：它的第8個數(shù)可以是．參考答案：【考點】F1：歸納推理．【分析】根據(jù)題意，由所給的前幾個數(shù)歸納分析可得an=（﹣1）n，問題得以解決【解答】解：化為﹣，，﹣，，﹣，分母上是2的乘方，分子組成等差數(shù)列，奇數(shù)項符號為負(fù)，偶數(shù)項符號為正，通項公式可為an=（﹣1）n，它的第8個數(shù)可以是a8=，故答案為：12.設(shè)不等式，表示的平面區(qū)域為M，若直線y=k（x+2）上存在M內(nèi)的點，則實數(shù)k的最大值是

．參考答案：2【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，直線y=k（x+2）過定點（﹣2，0），數(shù)形結(jié)合求得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，直線y=k（x+2）過定點P（﹣2，0），聯(lián)立，解得B（﹣1，2），∵，∴滿足條件的k的最大值為2．故答案為：2．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．13.在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a6＝17，則a14＝________．參考答案：4114.已知函數(shù),則________參考答案：-215.一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是

；表面積是

．參考答案：,.16.已知，則的最小值為

．參考答案：-1∵又∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號∴最小值為-1故答案為-1點睛：本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中等題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用≥或≤時等號能否同時成立）.17.已知關(guān)于的不等式的解集為．（1）當(dāng)時，求集合；（2）當(dāng)時,求實數(shù)的范圍．參考答案：（1）（-∞，1）∪（1,5）；（2）試題分析：（1）把a(bǔ)=1代入不等式中，求出解集即可得到集合M；（2）因為3∈M且5?M，先把x=5代入不等式求出a的范圍，然后取范圍的補(bǔ)集，又因為3屬于集合M，所以把x=3代入不等式中，求出關(guān)于a的不等式的解集即可得到a的取值范圍；與求出a的范圍聯(lián)立求出公共解集即可．試題解析：（1）當(dāng)時，（2）不成立．又不成立綜上可得，考點：一元二次不等式的解法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值,求的值；（2）討論的單調(diào)性；(3)證明：為自然數(shù)的底數(shù)).參考答案：（1）（2）詳見解析(3)詳見解析試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)再根據(jù)極值定義有從而可得（2）要討論函數(shù)單調(diào)性，先討論導(dǎo)函數(shù)，也即函數(shù)零點情況：時，一個零點，兩個單調(diào)區(qū)間；時，無零點，一個單調(diào)區(qū)間；時，兩個零點，三個單調(diào)區(qū)間(3)證明不等式，先分析結(jié)構(gòu)：積，兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為和；，再利用放縮得19.設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，經(jīng)過點F的動直線l交拋物線C于點A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=﹣4．（1）求拋物線C的方程；（2）若（O為坐標(biāo)原點），且點E在拋物線C上，求直線l傾斜角；（3）若點M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點，直線MF，MA，MB的斜率分別為k0，k1，k2．求證：當(dāng)k0為定值時，k1+k2也為定值．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）設(shè)出直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；（2）根據(jù)向量和（1）的結(jié)論可用k表示E點的坐標(biāo)代入拋物線的方程即可得出直線l的斜率和傾斜角；（3）利用向量計算公式和（1）中的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．解答：解：（1）根據(jù)題意可知：，設(shè)直線l的方程為：，則：聯(lián)立方程：，消去x可得：y2﹣2pky﹣p2=0（*），根據(jù)韋達(dá)定理可得：，∴p=2，∴拋物線C的方程：y2=4x．（2）設(shè)E（x0，y0），則：，由（*）式可得：y1+y2=2pk=4k∴y0=8k，又，∴∴∵，∴64k2=4（8k2+4），∴2k2=1，∴∴直線l的斜率，∴傾斜角為或（3）可以驗證該定值為2k0，證明如下：設(shè)M（﹣1，yM），則：，，∵，∴∴===∴k1+k2=2k0為定值．點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵．20.設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0）．（1）求函數(shù)f（x）的最小值g（a），并證明g（a）≤0；（2）求證：?n∈N*，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜成立．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最小值g（a）=a﹣lna﹣1，再求出g（a）的單調(diào)區(qū)間，從而得到g（a）≤0；（2）根據(jù)題意得到ex＞x+1，從而可得（x+1）n+1＜（ex）n+1=e（n+1）x，給x賦值，從而得到答案．【解答】解：（1）由a＞0，及f′（x）=ex﹣a可得：函數(shù)f（x）在（﹣∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，∴函數(shù)f（x）的最小值g（a）=f（lna）=a﹣alna﹣1，則g′（a）=﹣lna，故a∈（0，1）時，g′（a）＞0，a∈（1，+∞）時，g′（a）＜0，從而g（a）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，且g（1）=0，故g（a）≤0；（2）證明：由（Ⅱ）可知，當(dāng)a=1時，總有f（x）=ex﹣x﹣1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時“=”成立，即x＞0時，總有ex＞x+1，于是可得（x+1）n+1＜（ex）n+1=e（n+1）x，令x+1=，即x=﹣，可得（）n+1＜e﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e1﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e2﹣n，…，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e﹣1，對以上各等式求和可得：（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜e﹣n+e1﹣n+e2﹣n+…+e﹣1=＜＜，∴對任意的正整數(shù)n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜，∴1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜成立．21.已知點，過點D作拋物線：切線l，切點A在第二象限.（1）求切點A的縱坐標(biāo)；（2）有一離心率為的橢圓：恰好經(jīng)過切點A，設(shè)切線l與橢圓C2的另一交點為點B，記切線l、OA、OB的斜率分別為、、，若，求橢圓C2的方程.參考答案：(1).(2).【分析】（1）設(shè)切點,求出的方程為，再把點D的坐標(biāo)代入即得解；（2）先根據(jù)已知設(shè)橢圓方程為，再根據(jù)求出b的值得解.【詳解】（1）設(shè)切點則有，由切線的斜率為，得的方程為，又點在上，所以，即，所以點的縱坐標(biāo).由（1）得，切線斜率，設(shè)，切線方程為，由得，又，所以，所以橢圓方程為，由得，∴，，又因為，即，解得，所以，所以橢圓方程為.【點睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查拋物線的切線的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.22.一個多面體的直觀圖（圖1）及三視圖（圖2）如圖所示，其中M、N分別是AF、BC的中點，（1）求證：MN∥平面CDEF；（2）求點B到平面MNF的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定．【分析】由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．（1）取BF的中點P，連接MP，NP．又M，N分別為AF，BC的中點．利用三角形中位線定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可證明MN∥平面CDEF．（2）利用等體積法，求點B到平面MNF的距離．【解答】（1）證明：由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD