【數(shù)學】超幾何分布2023-2024學年高二數(shù)學知識點總結(jié)與題型講評課件

超幾何分布知識點1：超幾何布知識點2：二項布與超幾何布的區(qū)別和聯(lián)系知識點3：超幾何布的證明知識點1：超幾何布知識點2：二項布與超幾何布的區(qū)別和聯(lián)系知識點3：超幾何布的證明知識點1：超幾何布

X01P

知識點2：二項布與超幾何布的區(qū)別和聯(lián)系

知識點3：超幾何布的證明

題型一：超幾何分布的概念例題1：下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是(

)A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB.從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)為XC.某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為XD.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)√√√【分析】根據(jù)超幾何分布、二項分布的概念，逐項判定，即可求解.

例題2：一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個球，有如下幾種變量：這四種變量中服從超幾何分布的是(

)①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③X表示取出的白球個數(shù)；④取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分減去4的差.A.①②

B.③④

C.①②④

D.①②③④√【分析】根據(jù)超幾何分布的定義，判斷四個選項，即可得到答案.

√

A.沒有白球

B.至少有一個白球C.至少有一個紅球

D.至多有一個白球

√

例題5：今有電子元件50個，其中一級品45個，二級品5個，從中任取3個，出現(xiàn)二級品的概率為(

)

【分析】事件“出現(xiàn)二級品”的對立事件為“全是一級品”，計算出對立事件的概率，然后利用對立事件的概率公式計算出所求事件的概率.√

√√

√√

題型二：超幾何分布的性質(zhì)

【分析】根據(jù)超幾何分布的計算公式計算即可.

√例題2：在一次運動會上，某單位派出了6名主力隊員和5名替隊員組成代表隊參加比賽.如果隨機抽派5名隊員上場，則主力隊員多于替補隊員的概率為____.

【分析】利用超幾何分布求解即可.

【分析】利用組合數(shù)分別求出恰好取出一件不合格產(chǎn)品的基本事件數(shù)和從10件產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率計算公式即可求解.

√

【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式計算即可.

√

【分析】根據(jù)超幾何分布的定義計算即可.

√例題6：莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游.已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個開放洞窟，在這8個洞窟中莫高窟九層樓96號窟、莫高窟三層樓16號窟、藏經(jīng)洞17號窟被譽為最值得參觀的洞窟.根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機選擇4個進行參觀，所有選擇中至少包含2個最值得參觀洞窟的概率是______.

【分析】隨機選擇4個進行參觀，至少包含2個最值得參觀洞窟包括2個或3個兩種情況,根據(jù)組合知識求得基本事件的個數(shù)后可得概率

例題7：下列說法正確的是(

)

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可判斷①，利用正態(tài)分布密度曲線判斷②，根據(jù)二項分布的期望公式判斷③，利用超幾何分布判斷④.√

例題8：從一箱臍橙(共10個，其中7個是大果，3個是中果)中任選3個，則恰有2個中果的概率為_________.

【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解.

例題9：廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品.若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收.則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是___.

【分析】利用古典概型與對立事件的概率公式，結(jié)合超幾何分布即可得解.

例題10：從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求：

(2)X的期望與方差.

012

例題11：某校準備從報名的7位教師(其中男教師4人，女教師3人)中選3人去邊區(qū)支教.(1)設(shè)所選3人中女教師的人數(shù)為X，寫出X的分布列，求X的數(shù)學期望及方差；

0123P

(2)若選派的三人依次到甲、乙、丙三個地方支教，求甲地是男教師的情況下，乙地為女教師的概率.

√√

題型三：超幾何分布的分布列例題1：某校高中數(shù)學興趣小組有5名同學，其中3名男生2名女生，現(xiàn)從中選2人去參加一項活動.(1)求選出的2人中，恰有1名男生的概率；

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式結(jié)合組合知識和分步乘法原理，即可求解.

【答案】分布列見解析

012例題2：為營造濃厚的全國文明城市創(chuàng)建氛圍，積極響應(yīng)創(chuàng)建全國文明城市號召，提高對創(chuàng)城行動的責任感和參與度，學校號召師生利用周末參與創(chuàng)城志愿活動.高二(1)班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.(1)求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；

【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解.

012

(1)現(xiàn)有一盒電子筆，抽出兩支來檢測.①求抽出的兩支均是正品的概率；②已知抽出的兩支是正品，求剩余產(chǎn)品有次品的概率.

【分析】①根據(jù)全概率公式直接求解即可；②根據(jù)貝葉斯公式直接求解即可；

012

例題4：某學習APP的注冊用戶分散在A，B，C三個不同的學習群里，分別有24000人，24000人，36000人，該APP設(shè)置了一個名為“七人賽”的積分游戲，規(guī)則要求每局游戲從A，B，C三個學習群以分層抽樣的方式，在線隨機匹配學員共計7人參與游戲.(1)每局“七人賽”游戲中，應(yīng)從A，B，C三個學習群分別匹配多少人？【答案】2,2,3；【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)運算可得.

0123P

(1)若一次抽出3人，求在這3人性別相同的條件下都是男技術(shù)員的概率；

【分析】根據(jù)分類加法原理及組合數(shù)知識求出女技術(shù)員人數(shù)，然后根據(jù)條件概率的計算可得答案；(2)若一次抽取6人，記X表示6人中女技術(shù)員的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

2345

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.

01234題型四：超幾何分布的最值問題

題型五：超幾何分布在摸球中的應(yīng)用例題1：一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個小球，其中有紅球1個，白球4個，黑球5個.(1)若每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率；

【分析】根據(jù)條件概率的計算公式可求得答案；

【答案】分布列見解析

0123例題2：一個不透明的袋中有2個白球和5個紅球，這些球除顏色外完全相同，若不放回的從袋中隨機一次性抽取3個球，記其中白球的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望值.

【分析】首先分析出此分布符合超幾何分布，再寫出分布列，最后利用期望公式計算即可.

012P

例題3：一袋子中裝有大小和形狀都相同的2個白球，2個紅球和2個黑球，現(xiàn)從袋中一次性取出3個球.(1)求取出的白球個數(shù)多于黑球的概率；

【分析】分為兩種情況：“恰好取出1個白球和2個紅球”，“恰好取出2個白球”，利用互斥事件的概率公式求解；

【答案】分布列見解析，1

012

例題4：甲罐中有4個紅球和3個白球，乙罐中有3個紅球和2個白球(球除顏色外，大小質(zhì)地均相同).

【分析】利用超幾何分布模型求解；

0123

例題5：設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有2個白球，3個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取1球.(1)記隨機變量X表示從甲盒取出的紅球個數(shù)，求X的分布列；答案見解析；【分析】由題意分析出X的可能取值，分別求概率，寫出分布列；

012P(2)求從乙盒取出的1個球為紅球的概率.

例題6：盒中有大小形狀完全相同的8個紅球和2個黑球.(1)現(xiàn)隨機從中取出一球，觀察顏色后放回，并加上與取出的球同色的球2個，再從盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；

【分析】根據(jù)全概率公式即可求解，

012

例題6：在數(shù)學探究實驗課上,小明設(shè)計了如下實驗:在一個盒子中裝有藍球、紅球、黑球等多種不同顏色的小球,一共有偶數(shù)個小球,現(xiàn)在從盒子中一次摸一個球,不放回.

①求紅球的個數(shù);

【答案】①紅球的個數(shù)為3;②分布列見解析;數(shù)學期望為1

012

【答案】最小值為8

例題7：盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的.第一次比賽時，從中任意取出了3個來用，用完后仍放回盒中(新球用后成了舊球).第二次比賽時再從盒中取出3個來用，求第二次取出的3個球均為新球的概率.

【分析】利用條件概率公式及全概率公式求解.

例題8：一個盒子中有10個小球，其中3個紅球，7個白球.從這10個球中任取3個.

【分析】由超幾何分布概率公式求解

0123

0123

題型六：超幾何分布在生產(chǎn)中的應(yīng)用例題1：某車間一天生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢員為了解產(chǎn)品質(zhì)量，隨機不放回地抽取了20件產(chǎn)品作為樣本，并一一進行檢測.假設(shè)這100件產(chǎn)品中有40件不合格品，60件合格品，用X表示樣本中合格品的件數(shù).(1)求X的分布列(用式子表示)和均值；【答案】分布列見解析，12

0123P

01234567890.0.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.53590.1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.57530.2.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.61410.3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.65170.4.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.68790.5.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224【答案】0.9970

例題2：廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家對一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按規(guī)定拾取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否驗收這批產(chǎn)品：(1)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.3，從中任意取出4種進行檢驗，求至少有1件是合格產(chǎn)品的概率；【答案】0.7599；【分析】由對立事件概率公式及產(chǎn)品合格的概率為0.3，即可求出從產(chǎn)品中任意取出4件進行檢驗至少有1件是合格的概率；

(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，來進行檢驗，只有2件產(chǎn)品合格時才接收這些產(chǎn)品，否則拒收，分別求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品為1件和2件的概率，并求該商家拒收這些產(chǎn)品的概率.答案見詳解.

題型七：超幾何分布在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用例題1：隨著我國國民消費水平的不斷提升，進口水果也受到了人們的喜愛，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國：泰國的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車厘子，新西蘭的金果獼猴桃等水果走進了千家萬戶，某種水果按照果徑大小可分為五個等級：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進口商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下：等級特等一等二等三等等外個數(shù)102050128(1)若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機抽取5個，求恰好有2個水果是二等級別的概率；

0123

012

題型八：超幾何分布在比賽中的應(yīng)用例題1：某業(yè)余俱樂部由10名乒乓球隊員和5名羽毛球隊員組成，其中乒乓球隊員中有4名女隊員；羽毛球隊員中有2名女隊員，現(xiàn)采用分層抽樣方法(按乒乓球隊和羽毛球隊分層，在每一層內(nèi)采用簡單隨機抽樣)從這15人中共抽取3名隊員參加一項比賽.(1)求所抽取的3名隊員中乒乓球隊員、羽毛球隊員的人數(shù)；【答案】2人，1人【分析】根據(jù)分層抽樣的定義按照比例抽取即可.

(2)求從乒乓球隊抽取的隊員中至少有1名女隊員的概率；

0123P

例題2：已知盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的.

第一次比賽時，從中一次性任意取出3個來用，用完后仍放回盒中(新球用后成了舊球)；第二次比賽時從中任意取出1個.

0123

(2)求第二次比賽時取出的球為新球的概率.

例題3：某校舉行“強基計劃”數(shù)學核心素養(yǎng)測評競賽，競賽以抽盲盒答題的形式進行，現(xiàn)有甲、乙兩個盲盒箱，甲中有4個選擇題和2個填空題，乙中有3個選擇題和3個填空題，競賽可以以不同的方式進行.

【分析】先計算A班參加競賽的5個人中每個人得分的平均分，在根據(jù)數(shù)學期望的意義求出A班得分的數(shù)學期望；

(2)若已知A班班長先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后B班班長再從乙箱中抽取一道題目，已知B班班長從乙箱中抽取的是選擇題，求A班班長從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率.

【點睛】【點睛】例題4：為提升教師的命題能力，重慶市第一中學定期舉辦教師命題大賽，大賽分初賽和復賽，初賽共進行4輪比賽，4輪比賽命制的題目均可適用于高一，高二，高三年級，每輪比賽結(jié)果互不影響.比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，限時60分鐘，參賽教師要在指定的知識范圍內(nèi)，命制非解答題，解答題各2道，若有不少于3道題目入選，將獲得“優(yōu)秀獎”，4輪比賽中，至少獲得3次“優(yōu)秀獎”的教師將進入復賽.為了能進入復賽，教師甲賽前多次進行命題模擬訓練，指導老師從教師甲模擬訓練命制的題目中，隨機抽取了4道非解答題和4道解答題，其中有3道非解答題和2道解答題符合入選標準.(1)若從模擬訓練命制的題目中所抽取的8道題目中，隨機抽取非解答題，解答題各2道，由此來估計教師甲在一輪比賽中的獲獎情況，試預測教師甲在一輪比賽中獲得“優(yōu)秀獎”的概率；

【分析】考慮教師甲獲得優(yōu)秀獎的三種情況，分別計算概率相加得到答案.

【答案】教師甲不能進入復賽

例題5：第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，在保持原有40個大項目不變的前提下，增設(shè)了電子競技和霹靂舞兩個競賽項目，國家體育總局為了深入了解各省在“電子競技”和“霹靂舞”兩個競賽項目上的整體水平，隨機選取了10個省進行研究，便于科學確定國家集訓隊隊員，各省代表隊人數(shù)如下表省代表隊電子競技45512738571926473429霹靂舞26154442322856364820(1)從這10支省代表隊中隨機抽取3支，在抽取的3支代表隊參與電子競技的人數(shù)均超過30人的條件下，求這3支代表隊參與霹靂舞的人數(shù)均超過30人的概率；

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用事件的意義，結(jié)合條件概率，即可求解；

(2)若霹靂舞參與人數(shù)超過40人的代表隊所在地可以成為國家隊集訓基地，現(xiàn)從這10支代表隊中隨機抽取4支，記X為選出代表隊所在地可以成為國家隊集訓基地的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

01234

【答案】至少要進行11輪測試

(1)求抽獎?wù)攉@獎的概率；

(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值.答案見解析

0123P

(1)求乙闖關(guān)成功的概率；

【分析】根據(jù)獨立重復事件的概率公式即可求解，

(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.

0123P

例題8：某校高一、高二的學生組隊參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生.推薦的學生一起參加集訓，最終從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求高一至少有1名學生入選代表隊的概率；

【分析】利用對立事件求得高一至少有1名學生入選代表隊的概率.

(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列.【答案】分布列見解析

123

(1)試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過初試的可能性更大；【答案】甲通過初試的可能性更大【分析】根據(jù)超幾何概型分別求出甲、乙兩人誰通過初試的概率即可得出結(jié)論.

(2)若答對一題得5分，答錯或不答得0分，記乙的得分為Y，求Y的分布列和數(shù)學期望.【答案】分布列見解析，15

Y05101520P

例題9：2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市！為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：

0123

【答案】27輪

題型九：超幾何分布在商業(yè)中的應(yīng)用

【分析】由題意Y的可能取值為0，1，2，3.利用超幾何分布求出對應(yīng)的概率，進而可得分布列，結(jié)合數(shù)學期望公式計算即可求解；

Y0123P

答案見解析

例題2：2023年春節(jié)期間，電影院有多部新片上映，某傳媒公司調(diào)查了消費者的購票途徑，數(shù)據(jù)顯示超八成用戶選擇線上購買電影票，已知有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個線上購票平臺，現(xiàn)隨機抽取了200名線上消費者并統(tǒng)計他們在這8個平臺上購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)(假設(shè)每個消費者只選用一個購票平臺購買春節(jié)檔電影票)以及曾經(jīng)使用過這8個平臺購買電影票的人數(shù)(每個消費者可用多個平臺購買電影票)，得到如下表格：ABCDEFGH購買春節(jié)檔電影票的人數(shù)4030303030201010曾經(jīng)購買過電影票的人數(shù)9288808070622515(1)把樣本消費者中曾經(jīng)在每個平臺上購買電影票的頻率作為線上消費者在相應(yīng)平臺上購買電影票的概率，從所有線上消費者中隨機抽取4人，求恰有2人在C平臺上購買電影票的概率.

0123P

例題3：新冠疫情不斷反彈，各大商超多措并舉確保市民生活貨品不斷檔，超市員工加班加點工作.某大型超市