結(jié)構(gòu)動力學(xué)教案

結(jié)構(gòu)動力學(xué)教案劉林超信陽師范學(xué)院土木工程學(xué)院信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙§1-1動力計算概述1．結(jié)構(gòu)動力計算的特點靜力荷載和動力荷載的區(qū)別靜力荷載是指荷載的大小、方向、作用位置不隨時間變化的荷載。（可以忽略慣性力的影響）靜力荷載計算時考慮的是結(jié)構(gòu)的靜力平衡問題。動力荷載是指荷載的大小、方向、作用位置隨時間迅速變化的荷載。（不能忽略慣性力的影響）。嚴(yán)格說，絕大多少荷載都應(yīng)該屬于動力荷載，但對于荷載雖然隨時間變化，但變化十分緩慢，對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響與靜載十分接近，仍可以看作靜載結(jié)構(gòu)動力計算與靜力計算的區(qū)別：動力荷載計算時要考慮慣性力的影響，利用達朗伯原理，在引進慣性力后建立平衡方程，是一種動平衡，考慮的是瞬時平衡，荷載內(nèi)力、位移等都是時間的函數(shù)。動力計算的基本特點：（1）動力反應(yīng)與時間有關(guān)，即荷載、位移、內(nèi)力等隨時間急劇變化；（2）建立平衡方程時要包括質(zhì)量的慣性力。2．動力荷載的分類（1）周期荷載(荷載隨時間作周期性的變化)簡諧荷載，如機器轉(zhuǎn)動（2）沖擊荷載第第一章結(jié)構(gòu)的動力計算動力計算概述單自由度體系的自由振動教學(xué)要求：掌握動力計算的特點，掌握單自由度體系自由振動的計算教學(xué)要求：掌握動力計算的特點，掌握單自由度體系自由振動的計算重點難點：固有周期與頻率，微分方程求解，阻尼的影響重點難點：固有周期與頻率，微分方程求解，阻尼的影響教學(xué)方法：重點將結(jié)果的應(yīng)用，結(jié)合工程教學(xué)方法：重點將結(jié)果的應(yīng)用，結(jié)合工程教法提示教法提示求內(nèi)力和位移加速度比較?。喝巳骸⒀┹d機器振動、地震作用、爆炸建筑、橋梁中的應(yīng)用減震、隔振電機轉(zhuǎn)動短時間內(nèi)，荷載急劇增大或減小突加荷載信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙（3）隨機荷載(非確定性荷載，事先未知)3．動力計算中體系的自由度一個體系的自由度是指為了確定運動過程中任一時刻全部質(zhì)量的位置所需的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目。動力計算要選去一個合理的計算簡圖。常用的簡化計算方法：集中質(zhì)量法把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個質(zhì)點，把無限自由度轉(zhuǎn)化為有限自由度梁相對電機質(zhì)量很小水平力作用下剛架的側(cè)向振動，將柱的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為作用上下橫梁處的集中質(zhì)量，剛架的質(zhì)量全部作用在橫梁上，橫梁上各點的水平位移認為相等教法提示教法提示地震作用風(fēng)荷載與靜力計算一樣需要事先選取一個合理的計算簡圖需要確定運動過程中的自由度不考慮軸向變形無限自由度數(shù)信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙2個水平豎直3個1個(2)廣義坐標(biāo)法具有分布質(zhì)量的簡支梁是一個無限自由度的體系，簡支梁的撓度曲線可以用三角函數(shù)來表示稱為形狀函數(shù)；為待定系數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。形狀函數(shù)確定后，梁的撓度曲線由無限多個廣義坐標(biāo)。。。等確定。實際計算中，只取前幾項，如n項：轉(zhuǎn)化為n個自由度。煙囪13-8邊界條件：x=0,位移和轉(zhuǎn)角為零撓度曲線(3)有限元法(提，不講)教法提示教法提示質(zhì)點數(shù)不等于自由度數(shù)信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙§1-2單自由度體系的自由振動1．單自由度體系自由振動微分方程的建立（1）剛度法由達朗伯原理(兩個力，彈性力，慣性力)（2）柔度法設(shè)立柱的柔度為δ，即單位荷載作用下柱頂?shù)乃轿灰啤?．自由振動微分方程的解答式中，則通解為由初始條件，（可以其中一個為零）得：，則振動時由兩部分組成，初始位移引起的和初始速度引起的教法提示教法提示很多實際問題可以簡化為單自由度，是多自由度的基礎(chǔ)無阻尼注意y方向彈簧剛度系數(shù)與立柱剛度系數(shù)相等質(zhì)點的達朗伯原理:質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)點上的主動力,約束反力與質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系。信陽信陽學(xué)院教案用紙寫成式中，a——振幅，最大位移；α——初相位3．結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率周期：頻率（工程頻率）：（赫茲Hz）圓頻率（角頻率、頻率）：結(jié)構(gòu)自振周期和自振頻率的性質(zhì)自振周期與自振頻率只與結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。固有周期和固有頻率。質(zhì)量越大，周期越大，頻率越??；剛度越大，周期越小，頻率越大。（調(diào)整質(zhì)量和剛度）例題1：圖示為一等截面簡支梁，截面EI=常數(shù)。在跨中有一個集中質(zhì)量m。忽略梁本身的質(zhì)量，試求梁的自振周期和圓頻率。解：，，教法提示教法提示初始位移引起的和初始速度引起的兩個圖的疊加振動一次所需時間單位時間內(nèi)振動的次數(shù)2π秒內(nèi)振動的次數(shù)Δst重力作為靜荷載時所產(chǎn)生的位移工程中的應(yīng)用信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙例題2：單層工業(yè)廠房橫向排架尺寸及屋面（包括屋架）荷載如圖所示，鋼筋混凝土柱采用C20的砼，（E=2.55×104N/mm2,γ=25kN/m3)，試計算該結(jié)構(gòu)的橫向自振周期。解：振動質(zhì)點的質(zhì)量W取屋面重量與1/4柱重之和教法提示教法提示地震作用+1/2柱重V如何求？信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙例題3：圖示為一等截面懸臂柱，截面面積為A，抗彎剛度為EI.柱頂有重物，重量為W。設(shè)柱本身質(zhì)量忽略不計，試分別求水平振動和豎向振動的自振周期。解：（1）水平振動在柱頂W處，加一水平單位力求得（2）豎向振動在柱頂W處，加一豎向單位力求得教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙例題4：圖示為一單層剛架，橫梁的總質(zhì)量為m，柱的質(zhì)量可以忽略不計。求剛架的水平自振頻率。解：（1）求剛架的水平側(cè)移剛度系數(shù)k（2）自振頻率例題5：一機器基礎(chǔ)，機器與基礎(chǔ)的總重量W=60kN，基礎(chǔ)下土壤的抗壓剛度系數(shù)（即單位面積產(chǎn)生單位沉陷時所需施加的壓力）為cz=0.6N/cm3，基礎(chǔ)面積A=20m2。試求機器連同基礎(chǔ)作豎向振動的自振頻率。解：（1）在基礎(chǔ)底面積上總的抗壓剛度系數(shù)k為k=czA=0.6×106N/m3×20m2=12×106N/m=12×103（2）自振頻率教法提示教法提示一次超靜定先用力法求彎矩再用圖乘法求位移信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙例6：圖示三種不同支承的工字梁，設(shè)EI相同。梁中有質(zhì)量為m的質(zhì)點，不計梁的自重，試比較三種梁的自振頻率。解：，，，則例7：試確定圖示梁的自由振動時的運動方程和自振頻率，k為支座彈簧剛度。教法提示教法提示圖乘法超靜定需先求出未知力，畫彎矩圖，然后圖乘求位移信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙解：確定體系的自由度。梁抗彎剛度，梁振動時繞支座B轉(zhuǎn)動，為單自由度體系。設(shè)支座B處轉(zhuǎn)角為，A點位移為，C點位移,D點位移由4．阻尼對自由振動的影響通常采用的是粘滯阻尼理論，即假定阻尼力與速度成正比，且方向與質(zhì)點的速度方向相反。c稱為阻尼常數(shù)建立動平衡方程：教法提示教法提示一般建筑結(jié)構(gòu)左右信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙設(shè)并令（阻尼比）則特征方程為：其解為（1）ξ＜1的情況（低阻尼情況）令（低阻尼體系的自振圓頻率）則由初始條件，得：，可寫成式中，討論：1）低阻尼的振動是一衰減運動；2）低阻尼對自振頻率的影響因ξ＜1，ωr＜ω。一般建筑物ξ在0.01~0.1之間。當(dāng)ξ＜0.2時，ωr/ω在0.96~1.0之間，ωr與ω很接近。因此，在ξ＜0.2時，阻尼對自振頻率的影響不大，可以忽略。教法提示教法提示一般建筑結(jié)構(gòu)左右信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙3）阻尼對振幅的影響振幅為，振幅隨時間按對數(shù)規(guī)律衰減。經(jīng)過一個周期后，相鄰兩個振幅之比為ξ值越大，振幅衰減越快。4）阻尼比的確定當(dāng)ξ＜0.2時,，有，稱為振幅的對數(shù)衰減率。相隔n各周期，有則測出兩個振幅值yk和yk+n及相隔周期數(shù)n后，即可推算出ξ值。教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙（2）ξ=1的情況(臨界阻尼)則由初始條件，得：，則體系從初始位移y0出發(fā)，逐漸回到靜平衡位置而無振動發(fā)生。ξ=1時的阻尼常數(shù)c稱為臨界阻尼常數(shù)cr，阻尼比為（3）ξ＞1的情況（強阻尼情況）不討論。例題6：圖示排架，橫梁EA=∞，橫梁及柱的部分質(zhì)量集中在橫梁處，結(jié)構(gòu)為單自由度體系。為進行振動實驗，在橫梁處加一水平力P，柱頂產(chǎn)生側(cè)移y0=0.6cm，這時突然卸除荷載P，排架作自由振動。振動一周后，柱側(cè)移為0.45cm。試求排架的阻尼比ξ及振動10周后，柱頂?shù)恼穹鵼10。解：（1）求ξ假設(shè)阻尼比ξ＜0.2，ωr≈ω，因此，教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙（2）求振動10周后的振幅y10教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙復(fù)習(xí)：單自由度體系的自由振動方程、解答、固有周期與固有頻率，阻尼的影響。練習(xí)：已知：v0=10mm/s，E=2.45×104MPa，I=6.4×10-3m4，m=5t。求圖示簡直梁的最大動位移。解：最大動位移：最大豎向位移：單自由度體系的受迫振動單自由度體系的受迫振動教學(xué)要求：掌握簡諧荷載作用下的受迫振動、共振現(xiàn)象教學(xué)要求：掌握簡諧荷載作用下的受迫振動、共振現(xiàn)象重點難點：重點難點：θ~ω的關(guān)系，杜哈梅積分教學(xué)方法：注意單位換算、結(jié)果的工程應(yīng)用教學(xué)方法：注意單位換算、結(jié)果的工程應(yīng)用教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙§1-3、單自由度體系的受迫振動1．微分方程的建立，2．簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)（1）簡諧荷載作用下方程的解答設(shè)體系承受簡諧荷載，表達式為式中θ——簡諧荷載的圓頻率；F——荷載的最大值，也稱為荷載的幅值。則設(shè)特解為則特解為則通解為教法提示教法提示簡諧荷載信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙設(shè)初始條件，得：，振動是由兩部分組成，第一部分是按自振頻率ω的振動，第二部分是按荷載頻率θ的振動。由于振動過程中存在阻尼力，按自振頻率ω的振動將會逐漸消失，最后只剩下按荷載頻率θ的振動。我們把兩部分同時存在的階段稱為“過渡階段”，而把后來只按荷載頻率振動的階段稱為“平穩(wěn)階段”。（2）簡諧荷載的動力系數(shù)只考慮純強迫振動由于所以令——荷載幅值F作為靜力荷載作用時，結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的位移。則得最大位移（即振幅）為教法提示教法提示拌生振動純強迫振動信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙動力系數(shù)動力系數(shù)β與頻率比值θ/ω有關(guān)。結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下無阻尼穩(wěn)態(tài)振動的性質(zhì)：1）θ/ω＜＜1（θ/ω→0）時，β→1。這時簡諧荷載的數(shù)值變化很緩慢，動力作用不明顯，接近于靜力作用，可當(dāng)作靜荷載處理。2）0＜θ/ω＜1時，β隨θ/ω的增大而增大，β＞1。3）θ/ω→1時，動力系數(shù)β→∞。共振。4）θ/ω＞1時，動力系數(shù)的絕對值隨θ/ω的增大而減小。當(dāng)θ/ω＞＞1時，。例題7：設(shè)有一簡支鋼梁，如圖所時，已知：E=2.1×108kPa，I=11626cm4，Wz=726.7cm3。在跨中有電動機，重量Q=40kN，轉(zhuǎn)速n=400r/min。由于具有偏心，轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的離心力P=20kN,離心力的豎向分力為Psinθt，忽略梁本身的質(zhì)量，試求鋼梁在上述豎向簡諧荷載作用下受迫振動的動力系數(shù)和最大正應(yīng)力。解：=1\*GB3①求簡諧荷載的頻率θ教法提示教法提示風(fēng)載作用在低層建筑上但有阻尼存在推秋千解題思路：W=?信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙=2\*GB3②計算簡支梁的自振頻率ω=3\*GB3③計算動力系數(shù)β=4\*GB3④計算跨中截面的最大正應(yīng)力例題8：同例題5，一機器基礎(chǔ)，機器與基礎(chǔ)的總重量W=60kN，基礎(chǔ)面積A=20m2。機器運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生簡諧荷載P0sinθt，P0=20kN，機器每分鐘轉(zhuǎn)400轉(zhuǎn)。求機器連同基礎(chǔ)作豎向振動時的振幅及地基最大壓應(yīng)力。解：由例題5得ω=44.27s-1，k=12×103kN/m（1）求簡諧荷載的頻率（2）計算動力系數(shù)教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙（3）計算基礎(chǔ)作豎向振動時的振幅（4）計算地基最大壓應(yīng)力例題9：懸臂鋼梁長2m，如圖所示，彈性模量E=210GPa，工字形截面慣性矩I=4570×10-8m4，自由端裝有發(fā)動機，其總重G=15kN，內(nèi)部裝有重量Q=2kN的不平衡旋轉(zhuǎn)塊，偏心距e=0.2m，每分鐘轉(zhuǎn)速n=860轉(zhuǎn)，不計梁的自重及阻尼，確定梁在穩(wěn)恒強迫振動中自由端的最大撓度及梁的最大彎距。教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙解：當(dāng)發(fā)動機轉(zhuǎn)動時，將產(chǎn)生離心力P。在離心力作用下，梁將產(chǎn)生強迫振動。旋轉(zhuǎn)塊的角速度：則剛度系數(shù)則從而最大動力位移梁自由端最大撓度和梁的最大彎距為例題10：已知B點處阻尼器的阻尼系數(shù)為c，剛性桿AD的質(zhì)量忽略不計。試建立圖示體系的強迫振動方程。教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙解：兩質(zhì)點于某時刻的位置均可以用AD桿的轉(zhuǎn)角線性表示，仍屬單自由度體系。兩種方法：列位移法和列動力平衡方程。剛度法(列動力平衡方程)設(shè)剛性桿AD的轉(zhuǎn)角以順時針轉(zhuǎn)動為正，在t時刻，體系受到的作用力有動荷載、慣性力和阻尼力，如圖。由動平衡方程例11解：只需一個廣義坐標(biāo)，如AB桿的轉(zhuǎn)角，在建立運動方程時需考慮的力干擾力、彈性支撐力、阻尼力和慣性力外，還需考慮豎桿所受的重力。例靜力平衡方程時，對重力可僅考慮偏離靜力平衡位置所產(chǎn)生的附加力矩，水平桿重力產(chǎn)生的附加力矩忽略不計。信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙3．一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙（a），，，可略即體系在沖量作用后，開始作自由振動，則（b）（c）累加此式稱為杜哈梅（J.M.C.Duhamel）積分若有初始位移和初始速度，則（1）突加荷載設(shè)初始位移和初始速度均為零則教法提示教法提示各微沖量在t時刻產(chǎn)生的位移累加信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙式中，，為靜荷載P0作用下產(chǎn)生的靜位移。(2)線性增加荷載杜哈梅積分：曲線——反應(yīng)譜曲線。β介于1與2之間。教法提示教法提示加荷速度快慢相對于自振周期信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙§1-4．阻尼對受簡諧荷載受迫振動的影響這里，，奇次方程的通解為：設(shè)非奇次方程的特解為：由系數(shù)比較法得則非奇次方程的特解為：分為衰減振動和平穩(wěn)振動兩部分平穩(wěn)振動可寫成教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙式中則討論：（1）阻尼比對動力系數(shù)的影響與頻率比有關(guān)。1）在很?。矗┖秃艽螅矗r，對的影響不大，可以不考慮的影響。教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙時，可認為β→1，P(t)可作為靜力荷載處理。時，可認為β→0，可認為質(zhì)點接近于沒有振動位移。2）在→1，即在附近，這時ξ對β的數(shù)值有很大的影響，由于阻尼的存在，使β峰值下降。在時，即共振的情形，動力系數(shù)可由下式計算：如果忽略阻尼的影響，即在上式中令ξ→0，則得出無阻尼體系共振時動力系數(shù)趨于無窮大的結(jié)論。一般在0.75<<1.3（習(xí)慣上稱此區(qū)域為共振區(qū)）的范圍內(nèi)阻尼力大大減少受迫振動的位移，應(yīng)考慮阻尼的影響。而在此范圍以外，認為阻尼對β的影響很小，可按無阻尼的情形來計算。（2）阻尼比ξ對任一時刻的位移與動載P的相位差α的影響與頻率比值有關(guān)。阻尼體系的位移比荷載P滯后一個相位角α。當(dāng)0＜≤1時，0＜α＜π/2；當(dāng)＞1時，π/2＜α＜π。1）→0（即）時，y與P同步。此時體系振動很慢，慣性力、阻尼力都很小，動載和彈性力平衡，彈性力和y方向相反，所以動載和y同步。2）當(dāng)→1（即）時，α→90°，y與P相差接近90°。3）當(dāng)→∞（即）時，α→180°，y與P方向相反。此時體系振動很快，慣性很大、彈性力和相對比較小，動載主要與慣性力平衡。而慣性力與位移是同相位的，因此荷載與位移的相位角相等。教法提示教法提示手推鋼板尺推秋千信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙例題12：同例題8，已知W=60kN，P0=20kN，已求得θ=41.89s-1，ω=44.27s-1，k=12×103kN/m，現(xiàn)在考慮阻尼的影響，設(shè)阻尼比ξ=0.15，試計算在阻尼影響下機器連同基礎(chǔ)作豎向振動時的振幅及地基最大壓應(yīng)力。解：（1）計算動力系數(shù)（因，共振區(qū)附近，可近似計算）（2）計算基礎(chǔ)作豎向振動時的振幅（4）計算地基最大壓應(yīng)力比較例題8與例題12的結(jié)果，可以看出，在共振區(qū)附近，阻尼對動力系數(shù)、振幅及基底壓應(yīng)力均有相當(dāng)大的影響。教法提示教法提示信陽師范信陽師范學(xué)院教案用紙5．有阻尼時的強迫振動有阻尼體系（當(dāng)ξ<1時）承受一般動力荷載P(t)作用時，其反應(yīng)也可以表示為杜哈梅積分，與無阻尼體系向時，推導(dǎo)方法也相似。首先，有阻尼時，大度由初速度v0(初始位移y0為零)所引起的振動為由于沖量S=mv0，故在初始時刻由沖量S引起的振動為其次，任意荷載P(t)的加載過程可看作由一系列瞬時沖量所組成。在由t=τ到t=τ+dτ的時段內(nèi)荷載的微分沖量為dS=P(t)dτ，此微分沖量引起如下的動力反應(yīng)：然后對上式進行積分，即得總反應(yīng)如下：這就是開始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載P(t)作用下所引起的有阻尼的強迫振動。如果還有初始位移y0，則總位移還應(yīng)疊加上由初始位移y0引起的振動。有阻尼時的杜哈梅積分在計算地震作用的動力反應(yīng)時有用。教法提示教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙§1-5多自由度體系的自由振動教學(xué)要求：掌握兩個自由度體系自由振動、在簡諧荷載作用下的強迫振動。重點難點：教學(xué)方法：以一種方法為主（剛度法）先討論最簡單的情況，兩自由度的情況，然后推廣到n個自由度的情況一、兩個自由度體系自由振動微分方程的建立剛度法基本思路是：取質(zhì)量m1和m2為隔離體，根據(jù)達浪伯原理建立動力平衡方程。K1、K2是質(zhì)量m1、m2與結(jié)構(gòu)之間的相互作用力。如圖，可得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙k11、k22、k12、k21是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，物理意義如上圖。由平衡方程，可得2．柔度法如圖所示，為兩個集中質(zhì)量和的兩個自由度體系。基本思路是：在自由振動的任一時刻t，質(zhì)量m1、m2的位移、應(yīng)等于在該時刻慣性力、共同作用下所產(chǎn)生的靜力位移。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙根據(jù)疊加原理，列出方程如下：注意δ的物理意義。2．頻率方程和自振頻率(1)用剛度系數(shù)表示的頻率方程和自振頻率振動方程：在剛度法方程中，設(shè)其解答為以下形式：該式表示的運動有以下特點在振動過程中，兩個質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相位角，為位移的幅值；在振動過程中，兩個質(zhì)點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但二者的比值始終保持不變，即這種結(jié)構(gòu)位移形狀始終保持不變的振動形式稱為主振型或振型。位移代入剛度法方程，消去sin(ωt+α)，得有非零解，則上齊次方程組的系數(shù)行列式等于零，即得以剛度系數(shù)表示的頻率方程：展開，可求出用剛度系數(shù)表示的頻率的解答為：教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙也可寫成由于且，故分子根式中的值一定大于零。此外還有，，還有，這樣不難判斷出，ω2的兩個值一定為正值。由此可得到圓頻率的兩個根：ω1和ω2。較小的ω1為第一圓頻率或基本頻率，ω2為第二圓頻率。因此，兩個自由度體系，有兩個自振頻率。較小的圓頻率，用ω1表示，稱為第一圓頻率或基本頻率。另一個圓頻率ω2，則稱為第二圓頻率。頻率的數(shù)目總是與自由度的數(shù)目相等。（2）用柔度系數(shù)表示頻率方程和自振頻率振動方程設(shè)方程的解為（a）式中Y1、Y2——質(zhì)量m1、m2的位移振幅；ω——體系的自振圓頻率；α——相位角（初相角）。則，慣性力為兩個質(zhì)量的慣性力幅值為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙帶入方程，消去sin(ωt+α)，得上式說明位移幅值是慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。上式各項再除以（-ω2），得方程組為了得到不全為零的解答，要求系數(shù)行列式為零，即上式稱為頻率方程，用它可求出頻率ω。令，將上式展開整理后得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙解得這兩個根都是實根，于是，可求得圓頻率的兩個值為例題13：圖示簡支梁，質(zhì)量集中在m1和m2上，m1=m2=m，EI=常數(shù)，求自振頻率。解：（1）計算結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)作、圖，由圖乘法得（2）將柔度系數(shù)帶入公式可得自振頻率如下：教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙例題14：圖示為一兩層剛架，柱高h，各柱EI=常數(shù)，設(shè)橫梁EI=∞，質(zhì)量集中在橫梁上，且m1=m2=m，求剛架水平振動時動自振頻率。解：用剛度法求解（1）計算結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)利用平衡條件求得：（2）求自振圓頻率將剛度系數(shù)帶入公式教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙令，則，，所以，有例15：圖示兩層剛架，其橫梁為無限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，第一、二層的質(zhì)量分別為m1、m2。層間位移剛度分別為k1、k2，即層間產(chǎn)生單位相對位移所施加的力。試求剛架的自振頻率和主振型。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙解：結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)為，，，代入得分兩種情況討論：1），時由此得兩個頻率為，由頻率方程可以求出振幅的比，兩個振型第一個主振型第二個主振型教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙2）當(dāng)，時由此得由頻率方程可以求出振幅的比，兩個振型主振型如n=90，，分析：當(dāng)上部質(zhì)量和剛度很小時，頂部位移很大。建筑結(jié)構(gòu)中，這種因頂部質(zhì)量和剛度突然變小，在振動中引起巨大反應(yīng)的現(xiàn)象，有時稱為鞭稍效應(yīng)。二、n個自由度的情況這里考慮無阻尼的情況(1)剛度法取各質(zhì)點為隔離體，質(zhì)點mi所受的力包括慣性力和彈性力，其平衡方程為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙彈性力為質(zhì)點與結(jié)構(gòu)之間的相互作用，圖b中是質(zhì)點所受的力，圖c中是結(jié)構(gòu)所受的力，二者方向彼此相反。結(jié)構(gòu)所受的力與結(jié)構(gòu)位移之間滿足，(i=1,2,,,n)為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，即使質(zhì)點j產(chǎn)生單位位移(其他個質(zhì)點位移為零)時在質(zhì)點i處所需要施加的力。可得自由振動微分方程為用矩陣表示為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙簡寫為分別為位移和加速度向量。，分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為對稱矩陣，在集中質(zhì)量的體系中，為對稱矩陣。設(shè)解答為如下形式這里為位移幅值向量，即代入，消去為了得到非零解，系數(shù)行列式為零即為多自由度體系的頻率方程，展開為展開可以得到關(guān)于的n次代數(shù)方程，n為體系的自由度數(shù)，進而可以得到n個自振頻率，把全部頻率從小到大排列成的向量稱為頻率向量，最小的一個頻率為基本頻率或第一頻率。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙令表示與頻率相應(yīng)的主振型向量代入，得令i=1，2，…n，可得n個向量方程，由此可以求出n個主振型向量，，…，。我們可以唯一地確定主振型的形狀，但不能唯一地確定它的振幅，為了使主振型也具有確定值，需要補充條件，這里得到的主振型稱為標(biāo)準(zhǔn)化主振型。進行標(biāo)準(zhǔn)化的方法很多，一種做法是規(guī)定主振型中的某個元素為某個給定值，如規(guī)定第一個或最大一個元素等于1.例：求圖示剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁的變形略去不計。第一、二、三層的層間剛度系數(shù)分別為。剛架得質(zhì)量都集中在樓板上，第一、二、三層樓板處的質(zhì)量分別為2m，m，m。解求自振頻率剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙，因此，，求三根，，，，，(2)求振型主振型由求解，在標(biāo)準(zhǔn)化主振型中，規(guī)定第三個元素，代入，代入，保留后兩方程，代入教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙，代入，(2)柔度法有兩種方法推導(dǎo)，一種是同兩自由度直接用柔度法推導(dǎo)；一種是利用剛度法間接推導(dǎo)。由剛度法知用乘上式，令教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙頻率方程，展開由此得到關(guān)于的n次方程，求出個根，求出n個頻率，最后求出與相應(yīng)的主振型，將和代入，令求出n個向量方程，求出n個主振型，，…，。例題：用柔度法求解上個例題。設(shè)第一層的層間柔度系數(shù)為，即單位層間力引起的層間位移；則第二三層的層間柔度系數(shù)為，，。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙解：(1)求自振頻率柔度矩陣，，頻率方程，展開，，，三頻率，，求主振型，由求代入得在標(biāo)準(zhǔn)化主振型中，令，保留前兩個方程，，其他振型同。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙例題教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙另外，可以利用對稱性求解，學(xué)生自己計算。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙§1-6多自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動1．剛度法仍以兩自由度體系為例，在動荷載作用下的振動方程為與自由振動相比，這里多了荷載項。如果荷載是簡諧荷載，即(a)則在平穩(wěn)振動階段，各質(zhì)點也做簡諧振動(b)(a)(b)代入，消去由此可得位移幅值，其中，將位移幅值回代到(b)得任一時刻的位移。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙與自由振動情況相比，行列式D具有相同的形式，只是D中的換成了D0中的。因此，如果何在頻率與任一個自振頻率重合，則D0=0，當(dāng)D1，D2不全為零時，位移幅值無窮大，即產(chǎn)生共振現(xiàn)象。例題：設(shè)圖示剛架在底層橫梁上作用簡諧荷載，試畫出第一、二層橫梁的振幅Y1，Y2與荷載頻率的關(guān)系曲線。設(shè)m1=m2=m，k1=k2=k解：剛度系數(shù)，，荷載位移幅值為，，代入，，，令m1=m2=m，k1=k2=k，得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙，整理得與自由振動的特征頻率，為方程的兩個根，所以則下圖為，與荷載頻率參數(shù)之間的關(guān)系曲線。從圖上可以看出當(dāng)，時Y1，Y2無窮大，產(chǎn)生共振。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙另外，當(dāng)時，，。這說明在圖示結(jié)構(gòu)上，附加以適當(dāng)?shù)膍2，k2系統(tǒng)，可以消除m1的振動，這就是動力吸振器的原理，設(shè)計吸振器時，可先根據(jù)m2的許可振幅選擇k2，再由確定m2的值。吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時才有必要設(shè)置。對于多自由度體系，振動方程為寫成矩陣如果荷載是簡諧荷載，即教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙則在平穩(wěn)振動階段，各質(zhì)點也作簡諧振動代入振動方程，消去公因子，得上式系數(shù)矩陣行列式用D0表示，即如果由可得振幅，可得任意時刻t各質(zhì)點的位移。如果則由自由振動的頻率方程13-45可知，如，則，此時位移振幅無窮大。即當(dāng)荷載頻率與體系的自振頻率中的任一個相等，就可能出現(xiàn)共振現(xiàn)象。對于具有n個自有度的體系來說，在n種情況下()都可能出現(xiàn)共振。2柔度法圖示兩自由度體系，受簡諧荷載作用，在任一時刻t，質(zhì)點1，2的位移y1，y2，可以由體系在慣性力、和動荷載作用下的位移，通過疊加原理得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙為荷載幅值在質(zhì)點1,2產(chǎn)生的靜力位移，也可以寫成設(shè)平穩(wěn)階段的解為代入消去，消去公因子，得由此可得位移幅值為，，D0與自由振動中的行列式D具有相同的形式，只是D中的換成了D0中的。當(dāng)荷載頻域與任一個自振頻率相等時，則。當(dāng)D1、D2不全為零時，位移幅值將趨于無窮大，出現(xiàn)共振。在求得位移幅值后，可得各質(zhì)點位移和慣性力位移：慣性力：因為位移、慣性力和荷載同時達到幅值，動內(nèi)力也在振幅位置達到幅值，動內(nèi)力幅值可以在各質(zhì)點的慣性力幅值及動荷載幅值共同作用下按靜力分析方法求得。如任一截面的彎矩幅值，可按下式求出式分別為質(zhì)點1,2的慣性力幅值。分別為單位慣性力教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙作用時，任一截面的彎矩值，MP為動荷載幅值靜力作用下同一截面的彎矩值。例題：試求圖示體系的動位移和動彎矩的幅值圖。已知m1=m2=m，EI=常數(shù)，。解：作圖，求出柔度系數(shù)和基本頻率為，，則，作圖，與圖乘，得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙，計算D0，D1，D2，計算位移幅值計算慣性力計算質(zhì)點1,2的動彎矩幅值體系所受動荷載及慣性力的幅值如圖b，據(jù)此可求出反力及彎矩幅值，圖d。計算質(zhì)點1的位移和彎矩動力系數(shù)、教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙由此可見，在兩自由度體系中，同一點的位移和彎矩的動力系數(shù)是不同的，即沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)，這是與單自由度體系不同的。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙第二章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算在材料力學(xué)中已經(jīng)對壓桿的穩(wěn)定問題作了初步討論，這里將對桿件結(jié)構(gòu)的各種穩(wěn)定問題作進一步討論。在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，應(yīng)當(dāng)對結(jié)構(gòu)進行強度和穩(wěn)定驗算，其中強度驗算是最基本的和必不可少的，而穩(wěn)定驗算則在某些情況下顯得很重要。如：薄壁結(jié)構(gòu)與厚壁結(jié)構(gòu)相比，高強度材料的結(jié)構(gòu)與低強度材料的結(jié)構(gòu)相比，主要受壓的結(jié)構(gòu)與受拉的結(jié)構(gòu)相比，前者比較容易失穩(wěn)，因而穩(wěn)定驗算更重要。需要注意的是，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計算與強度計算的最大不同是計算要在結(jié)構(gòu)變形后的幾何形狀和位置上進行，其方法已屬于幾何非線性范疇，疊加原理不再適用。首先要從變形開始，計算方法則靜力法和能量法并重，互為補充。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分靜力和動力穩(wěn)定兩大類，本課程只討論靜力穩(wěn)定問題?！?-1結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題概述結(jié)構(gòu)構(gòu)件荷載作用下將在某一位置保持平衡。從穩(wěn)定的角度考察平衡問題，其存在3種平衡狀態(tài)。1.穩(wěn)定平衡狀態(tài)如2.1(a)所示，體系處于某種平衡狀態(tài)，由于受微小干擾而偏離其平衡位置，在干擾消除后，仍能恢復(fù)至初始平衡位置，保持原有形式的平衡，則原始的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2.不穩(wěn)定平衡狀態(tài)如2.1(b)所示，撤除使體系偏離平衡位置的干擾后，體系不能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則原始的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。3.隨遇平衡狀態(tài)如2.1(c)所示，體系在任何位置均可保持平衡，故稱為隨遇平衡狀態(tài)。它可視為體系由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的中間狀態(tài)。圖2.1在材料力學(xué)中已討論過壓桿穩(wěn)定的問題，如2.示。當(dāng)時，撤除干擾力后，壓桿能夠恢復(fù)到原直線平衡位置，此時壓桿處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如2.2(a)所示。當(dāng)教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙時，撤除干擾力后，壓桿不能恢復(fù)到原來的平衡位置，而在任意微小的彎曲狀態(tài)下維持平衡，如圖2.2(b)所示，此時壓桿處于隨遇平衡狀態(tài)。當(dāng)時，撤除干擾力后，桿件無法回到原直線平衡位置，變形迅速增加，最后失去承載能力，此時壓桿進入了不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖2.2(c)所示。圖2.2通常，結(jié)構(gòu)隨荷載的增大，其原始平衡狀態(tài)由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡，此過程稱為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。由于結(jié)構(gòu)喪失穩(wěn)定時，變形迅速增大而具有突然性，常會給工程帶來嚴(yán)重的后果，因此，結(jié)構(gòu)設(shè)計除了需保證足夠的強度和剛度外，還需保證結(jié)構(gòu)具有必要的穩(wěn)定性。根據(jù)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后變形性質(zhì)是否改變，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)有兩種基本形式：分支點失穩(wěn)和極值點失穩(wěn)。1.分支點失穩(wěn)(第一類穩(wěn)定問題)圖2.3如2.3所示簡支的完善體系或理想體系：桿軸線是理想的直線，沒有初曲率，荷載FP是理想的中心受壓荷載，沒有偏心。隨著壓力FP逐漸增大的過程，我們考察壓力FP與中點撓度之間的關(guān)系曲線，成為FP—曲線或平衡路徑教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙當(dāng)，時，壓桿只單純受壓，不發(fā)生彎曲變形，，壓桿處于原始直線平衡狀態(tài)，是穩(wěn)定的，并且此時壓桿只有一種直線平衡形式，圖b中即FP—曲線的OAB，稱為原始平衡路徑(路徑Ⅰ)。如果壓桿收到輕微干擾或發(fā)生彎曲，偏離原始平衡狀態(tài)，則當(dāng)干擾消失后，壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)，當(dāng)時，原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，也就是說，在原始平衡路徑Ⅰ上，A點所對應(yīng)的平衡狀態(tài)時穩(wěn)定的，這時原始平衡形式是唯一的平衡形式。而當(dāng)時，原始的平衡狀態(tài)已轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，此時壓桿出現(xiàn)直線和彎曲兩種平衡形式。顯然，穩(wěn)定平衡狀態(tài)與不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的分界點，就是平衡形式的分支點。分支點處出現(xiàn)了平衡的二重性，即原始平衡狀態(tài)和新的平衡狀態(tài)。與此相應(yīng)，在圖b也有兩條不同的FP—曲線：原始平衡路徑Ⅰ(由直線BC表示)和第二平衡路徑Ⅱ(根據(jù)最大撓度理論，由曲線BD表示。如果采用小撓度理論進行近似計算，則曲線BD退化為水平直線BD′)。進一步還可以看出，這時原始平衡狀態(tài)(C點)是不穩(wěn)定的。如果壓桿受到干擾而彎曲，則當(dāng)干擾消失后，壓桿并不能回到C點對應(yīng)的原始平衡狀態(tài)，而繼續(xù)彎曲，知道圖中D點對應(yīng)的彎曲形式的平衡為止。因此，當(dāng)時，原始平衡路徑Ⅰ上，點C所對應(yīng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。兩條平衡路徑Ⅰ和Ⅱ的交點B稱為分支點，分支點B將原始平衡路徑Ⅰ分為兩段，前端OB上的點屬于穩(wěn)定平衡，后段BC上的點屬于不穩(wěn)定平衡。也就是說，在分支點B處，原始平衡路徑Ⅰ與新平衡路徑Ⅱ同時并存，分支點處出現(xiàn)了平衡的二重性，即原始平衡狀態(tài)和新的平衡狀態(tài)，原始平衡路徑Ⅰ由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡，出現(xiàn)了穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變具有這種特征的失穩(wěn)形式稱為分支點失穩(wěn)，或稱為喪失第一類穩(wěn)定性。分支點對應(yīng)的荷載為臨界荷載，其對應(yīng)的狀態(tài)為臨界狀態(tài)。除中心受壓直桿外，喪失第一類穩(wěn)定性的現(xiàn)象還可在其他結(jié)構(gòu)中發(fā)生。例如，如圖2.4(a)所示，承受靜水壓力作用的圓弧拱，當(dāng)水壓力q小于臨界值時，它維持穩(wěn)定的圓形平衡形式；而當(dāng)達到時，原來的平衡形式就成為不穩(wěn)定的，可能出現(xiàn)圖中實線所示的平衡形式。如2.4(b)所示的承受集中荷載F的剛架，當(dāng)時，僅處于軸向受壓狀態(tài)；當(dāng)教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙時，則可能出現(xiàn)如圖中實線所示的平衡形式。如(c)所示Ⅰ字梁，當(dāng)荷載未達到臨界值時，它僅在腹板平面內(nèi)彎曲；當(dāng)荷載達到臨界值時，梁將從腹板平面內(nèi)偏離出來，發(fā)生斜彎曲和扭轉(zhuǎn)。圖2.42.極值點失穩(wěn)(第二類穩(wěn)定問題)例如，如.5(a)所示的兩端鉸支偏心受壓桿，在開始承受壓力時就產(chǎn)生側(cè)向撓度，處于彎曲平衡狀態(tài)。如2.4(b)所示為壓桿的最大撓度隨壓力F的變化曲線，從圖中可看出，曲線具有明顯的極值點B。當(dāng)時，隨著F的增大，撓度不斷增加，它們之間呈非線性關(guān)系，彎曲平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當(dāng)時，曲線開始向下彎曲，此時荷載不增加，而撓度仍繼續(xù)增加，說明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。極值點處的荷載為臨界荷載。具有這種特征的失穩(wěn)形式稱為極值點失穩(wěn)，或稱喪失第二類穩(wěn)定性。第二類穩(wěn)定問題較為復(fù)雜，本章只限于討論在彈性范圍內(nèi)第一類穩(wěn)定性問題。圖2.5教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖2.5a、b分別為具有初曲率的壓桿和承受偏心荷載的壓桿，它們稱為壓桿的非完善體系。圖2.5a、b中的非完善壓桿從一開始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。按照小撓度理論，其FP—曲線如圖2.5c中的OA，在初始階段撓度增加較慢，以后逐漸變快，當(dāng)FP接近中心壓桿的歐拉臨荷載時，撓度趨于無限大。如果按照大撓度理論，其FP—曲線由曲線OBC表示。其FP—曲線B曲線具有明顯的極值點，B點為極值點，荷載達到極大值。當(dāng)時，隨著F的增大，撓度不斷增加，它們之間呈非線性關(guān)系，彎曲平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當(dāng)時，曲線開始向下彎曲，此時荷載不增加，而撓度仍繼續(xù)增加，說明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。即在極值點以前的曲線段OB，其平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，在極值點以后的曲線BC，其相應(yīng)的荷載值反而下降，平衡是不穩(wěn)定的。在極值點處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。具有這種特征的失穩(wěn)形式稱為極值點失穩(wěn)，或稱喪失第二類穩(wěn)定性。第二類穩(wěn)定問題較為復(fù)雜，本章只限于討論在彈性范圍內(nèi)第一類穩(wěn)定性問題。極值點處相應(yīng)的荷載為臨界荷載。第二類穩(wěn)定問題較為復(fù)雜，本章只限于討論在彈性范圍內(nèi)第一類穩(wěn)定性問題。一般來說，非完善體系的失穩(wěn)形式是極值點失穩(wěn)，其特征是平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象，而FP—曲線具有極值點。但扁拱式結(jié)構(gòu)失穩(wěn)可能伴隨有“跳躍”現(xiàn)象?！?-2兩類穩(wěn)定問題計算簡例與動力計算中自由度的概念類似，在穩(wěn)定計算中，一個體系產(chǎn)生彈性變形時，確定其變形狀態(tài)所需要的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目，稱為穩(wěn)定自由度。圖2.6所示受壓直桿分別為單自由度、兩自由度和無限自由度。圖2.6現(xiàn)以單自由度體系為例說明兩類失穩(wěn)問題的具體分析方法。先分析完善體系的分支點失穩(wěn)問題，然后分析非完善體系的極值點失穩(wěn)問題。先按大撓度理論得出精確結(jié)果，然后用小撓度理論得出近似結(jié)果。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙1．單自由度完善體系的分支點失穩(wěn)圖2.7a為一剛性壓桿，承受中心壓力FP，底端A為鉸支座，頂端B有水平彈簧支撐，其剛度系數(shù)為k，這是一個單自由度完善體系。(1)按大撓度理論分析圖2.7當(dāng)桿AB處于豎直位置時，圖a，顯然體系能維持平衡，這種平衡形式就是原始平衡形式?，F(xiàn)在考察圖b所示的傾斜位置是否還存在新的平衡形式，寫出平衡方程彈簧反力為，得第一個解，，即原始平衡狀態(tài)。在圖2.8的曲線由直線OAB表示，稱為原始平衡路徑Ⅰ。圖2.8教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙第二個解這是新的平衡形式。其中曲線為AC，即第二平衡路徑Ⅱ。兩個平衡路徑的交點為A點，分支點對應(yīng)的臨界荷載為分支點A將原始平衡路徑Ⅰ分為兩段，前段OA上的點屬于穩(wěn)定平衡，后段AB上的點屬于不穩(wěn)定平衡。對于第二個平衡路徑Ⅱ，當(dāng)傾角增大時，荷載反而減小。路徑Ⅱ上的點屬于不穩(wěn)定平衡。分支點A處的臨界平衡狀態(tài)也是不穩(wěn)定的。對于這類具有不穩(wěn)定分支點的完善體系，在進行穩(wěn)定驗算時要特別小心，一般應(yīng)考慮初始缺陷(初曲率、偏心)的影響，按非完善體系進行驗算。(2)按小撓度理論分析設(shè)，則簡化為其中第一個解仍為。第二個解為。圖2.9兩條平衡路徑ⅠⅡ如圖2.9，其中路徑Ⅱ簡化為水平直線，因而路徑Ⅱ教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙上的點對應(yīng)于隨遇平衡狀態(tài)。與大撓度理論的結(jié)果相比可以看出，小撓度理論能夠得出臨界荷載的正確結(jié)果，但未能反映當(dāng)較大時平衡路徑Ⅱ的下降趨勢；而平衡路徑Ⅱ?qū)?yīng)于隨遇平衡狀態(tài)的結(jié)論，則是由于采用簡化假定而帶來的一種假象。2．單自由度非完善體系的極值點失穩(wěn)圖2.10考察圖2.10所示的單自由度非完善體系，桿AB有初傾角，其余情況同前。(1)按大撓度理論分析加載開始，桿進一步傾斜，彈簧反力，平衡條件得對于不同的初始傾角(完善體系)，，，其曲線如圖2.11a。曲線具有極值點，令相應(yīng)的極值點荷載為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖2.11曲線如圖2.11b?？梢钥闯?，這個非完善體系的詩文形式是極值點失穩(wěn)，臨界荷載隨初傾角而變，越大，越小。(2)按小撓度理論分析設(shè)，，則簡化為，對于不同的初始傾角(完善體系)，，，其曲線如圖2.12。各條曲線都以水平直線為水平漸進線，得到相同的臨界荷載圖2.12教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙與大撓度理論結(jié)果相比，對于與非完善體系，小撓度理論未能得出隨著的增大會逐漸減小的結(jié)論。幾點認識：a、結(jié)構(gòu)失穩(wěn)存在兩種基本形式，一般來說，完善體系是分支點失穩(wěn)，非完善體系是極值點失穩(wěn)。b、分支點失穩(wěn)的特征是存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點處出現(xiàn)平衡形式的二重性。極值點失穩(wěn)形式的特征雖然只存在一個平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點。c、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題只有根據(jù)大撓度理論才能得出精確的結(jié)論，但從實用觀點看，小撓度也有其優(yōu)點，特別是在分支點失穩(wěn)問題中通常也能得出臨界荷載的正確值，但應(yīng)注意其局限性。以后只討論完善體系分支點失穩(wěn)問題，并根據(jù)小撓度理論求臨界荷載?！?-3有限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法和能量法結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的中心問題在于確定臨界荷載。確定臨界荷載的方法有兩類，一類是根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的方法，稱為靜力法；另一類根據(jù)臨界荷載的能量特征而提出的，稱為能量法。圖2.13圖2.13的單自由度體系，AB為剛性壓桿，底端A為彈性支承，轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)為k，用兩種方法求解。1．靜力法用靜力法確定臨界荷載，就是以結(jié)構(gòu)達到臨界狀態(tài)時平衡的二重性為依據(jù)，應(yīng)用靜力平衡條件，尋求結(jié)構(gòu)在新的形式下能維持平衡的荷載的最小值。靜力法用于有限自由度時，須對心的彎曲平衡形式建立n個獨立的平衡方程，它們是含有n個獨立位移參數(shù)的齊次線性代數(shù)方程。根據(jù)臨界狀態(tài)靜力特征，要求位移參數(shù)有非零解，所以應(yīng)使方程組的系數(shù)行列式教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙D=0，D=0即為穩(wěn)定方程。系數(shù)中包含荷載P，從穩(wěn)定方程中求出最小的根Pcr，得臨界荷載。對于圖2.13，AB桿處于豎直位置時是的平衡圖a，是原始平衡形式?，F(xiàn)在尋找桿件處于傾斜位置時新的平衡形式圖b。根據(jù)小撓度理論，由靜力平衡條件可得 由于為微量，有，則式為彈簧支座反彎矩經(jīng)整理有 這就是是以位移參數(shù)為未知量的齊次方程。顯然，當(dāng)時，對應(yīng)原始平衡路徑Ⅰ；非零解是新的平衡形式，對于新的平衡狀態(tài)，參數(shù)有非零解，因此齊次方程中系數(shù)應(yīng)為零。即或 上式即為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時外荷載所滿足的穩(wěn)定方程，也稱為特征方程。由特征方程知，第二平衡路徑Ⅱ為水平直線，由兩條路徑的交叉點得到分支點，分支點相應(yīng)的荷載為臨界荷載。由此特征方程求得臨界荷載為【例2-1】試求如圖2.14(b)所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。圖2.14解：將如圖2.14(a)所示結(jié)構(gòu)簡化為如圖2.14(b)所示帶有彈性約束的直桿穩(wěn)定問題，其中B端彈性支承的剛度系數(shù)k等于柱CD使C端產(chǎn)生單位水平位移所需的力，即。設(shè)一新的平衡位置如圖2.14(c)所示。由靜力平衡條件得即 其特征方程為結(jié)構(gòu)的臨界荷載為【例2-2】試求如圖2.15(a)所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。已知彈簧剛度為k。圖2.15解：如(a)所示結(jié)構(gòu)為兩個自由度體系。設(shè)一個新的平衡位置如(b)所示，B點水平位移為，C點水平位移為，和為兩個獨立的位移參數(shù)。取整體為隔離體，由得取段為隔離體，由得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙經(jīng)整理得由于臨界狀態(tài)和不全為零，則有展開上式，得特征方程解得取最小值為臨界荷載，即

2．能量法能量法確定臨界荷載是一種比較簡便的方法，適用于較復(fù)雜的情況。如果結(jié)構(gòu)沿軸線方向為變截面，則微分方程具有變系數(shù)而不能積分為有限形式；或邊界條件較為復(fù)雜，使穩(wěn)定方程為高階行列式，不易展開或求解，都宜采用能量法。能量法按臨界平衡狀態(tài)的二重特點，以不同平衡形式的能量特征為依據(jù)計算臨界荷載。常見和簡便的方法是應(yīng)用勢能駐值原理建立能量形式表示的平衡條件，由此組成穩(wěn)定方程，求解臨界荷載。勢能原理勢能駐值原理和余能原理是與位移法和力法對應(yīng)的兩個基本的能量原理。如果把問題限定為彈性結(jié)構(gòu)小位移的平衡問題(不包括彈性穩(wěn)定問題)，則能量的駐值實際上是極小值，此時稱為最小勢能原理和最小余能原理，簡稱勢能原理和余能原理。考慮結(jié)構(gòu)的幾個可能位移狀態(tài)，結(jié)構(gòu)在可能位移狀態(tài)下的勢能定義為兩部分能量之和：教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙其中，U是結(jié)構(gòu)在可能位移狀態(tài)下的應(yīng)變能，在線性彈性情況下對于薄桿，可忽略剪切變形，因，則對于剛架，通常只考慮彎曲應(yīng)變能，用撓度表示，則有UP是結(jié)構(gòu)的荷載勢能，即荷載FP在其相應(yīng)的廣義位移D上所作徐工總和的負值，即因此，結(jié)構(gòu)的勢能可用位移表示如下：勢能駐值原理可表述如下：在位移滿足幾何條件的前提下，如果與位移相應(yīng)的內(nèi)力(即根據(jù)物理條件由此求得的內(nèi)力)還滿足靜力條件，則該位移必使其勢能EP為駐值；反之，在位移滿足幾個條件的前提下，如果位移使勢能EP為駐值，則位移相應(yīng)的內(nèi)力比滿足靜力條件。如果結(jié)構(gòu)的位移既滿足幾何條件，其相應(yīng)的內(nèi)力又滿足靜力條件，則此位移使結(jié)構(gòu)的真實位移。因此，勢能原理又可表述為：在所有可能位移中，真實位移使勢能為駐值（可能極大、極小或者始終保持不變）；反之，使勢能為駐值的可能位移就是真實位移。由此得到的駐值條件等價于平衡條件。但是，其平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要判別平衡狀態(tài)究竟屬于哪一種，就必須對總勢能作進一步的研究（從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上說，也即是如果要研究結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)是否穩(wěn)定，不僅必須滿足總勢能的一階變分為零，即總勢能駐值的條件，而且還必須進一步考察總勢教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙能的二階變分情況）。對于有限自由度體系，結(jié)構(gòu)的位移和勢能均為有限參數(shù)的函數(shù)。設(shè)有限獨立參數(shù)為，則結(jié)構(gòu)勢能變分為由及的任意性，則有上式為的齊次線性方程組。由于不全為零，則此方程組系數(shù)行列式等于零，即得到結(jié)構(gòu)特征方程，從而可確定臨界荷載。與靜力法計算臨界荷載相比，僅是建立平衡方程的方法不同，而其他步驟相同。圖2.16對于圖2.16，把荷載FP看作重量，體系的勢能EP為彈簧應(yīng)變能U與勢能UP之和，彈簧勢能為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙荷載勢能為為B點的豎向位移：體系的勢能為應(yīng)用駐值條件，得上式與靜力法得到的結(jié)果一樣。由此可見，能量法和靜力法導(dǎo)出相同的方程。換句話說，勢能駐值條件等價于用位移表示的平衡方程。余下的步驟與靜力法相同。歸結(jié)起來，在分支點失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值，且位移有非零解。能量法是根據(jù)上述能量特征來求臨界荷載。圖2.17對EP的討論：勢能是位移的二次式，其關(guān)系是拋物線。如果，則關(guān)系曲線如圖2.17a，當(dāng)位移為任意非零值時，勢函數(shù)恒為正值，即勢能是正定的。當(dāng)體系處于平衡狀態(tài)時，勢能為極小，因而原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)。如果，則關(guān)系曲線如圖2.17c，當(dāng)位移為任意教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙非零值時，勢函數(shù)恒為負值，即勢能是負定的。當(dāng)體系處于平衡狀態(tài)時，勢能為極大，因而原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。如果，則關(guān)系曲線如圖2.17b，當(dāng)位移為任意非零值時，勢函數(shù)恒為零，體系處于中性平衡狀態(tài)，即臨界狀態(tài)，這是的荷載稱為臨界荷載，即。這個結(jié)果與靜力法所得的相同。因此臨界狀態(tài)的能量特征還可表述為：在荷載達到臨界值的前后，勢能由正定過度到非正定，對于單自由度體系，則由正定過度到負定。例題：圖示是一具有兩個變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸點B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k，體系在D端有壓力FP作用。試用兩種方法求其臨界荷載FPcr。圖2.18解：(1)靜力法設(shè)體系由原始平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)到任意變形狀態(tài)，圖b。設(shè)B點和C點的豎向位移分別為y1和y2，相應(yīng)的支座反力為，A點和D點的支座反力，，變形狀態(tài)的平衡條件教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙如果系數(shù)行列式不等于零，即則零解為齊次方程的唯一解。也就是說，原始平衡形式是體系唯一平衡形式。如果數(shù)行列式等于零，即則除零解外，方程還有非零解。也就是說，除原始平衡形式外，體系還有新的平衡形式。這樣平衡形式具有二重性，也就是體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征。方程即為穩(wěn)定問題的特征方程，或穩(wěn)定方程。展開得得其中最小的為臨街臨界荷載，即。將特征值回代到可以求出y1和y2的比值。這是y1和y2組成的向量稱為特征向量。如果將代回，得相應(yīng)的變形曲線如圖a。代回，得，如圖b。圖a為與臨界荷載對應(yīng)的失穩(wěn)變形形式。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖2.19(2)能量法D點的水平位移為彈性支座的應(yīng)變能荷載勢能體系勢能為應(yīng)用勢能駐值條件，得與靜力法得到的相同。能量法求多自由度體系臨界荷載的步驟如下：先寫出勢能表達式，建立勢能駐值條件，然后夠應(yīng)用位移有非零條件，得出特征方程，求出荷載的特征值（）。最后在中選取最小值，得到臨界荷載教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙。將勢能改寫為如果，則勢能正定，如果，則勢能半正定(時)，，則勢能是不定的，如果，則勢能半負定(時)，如果，則勢能負定的。可以看出，在具有兩個自由度的體系中，勢能隨荷載而變化的情況比單自由度要復(fù)雜一些，但臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達到臨界荷載前后，勢能由正定過渡到非正定。例題：試用能量法計算如圖2.20(a)所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：如圖2.20(a)所示為兩自由度結(jié)構(gòu)，假設(shè)新的平衡位置如圖2.20(b)所示。彈簧的彈性勢能為圖2.20外力勢能為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙結(jié)構(gòu)總勢能為由勢能駐值原理，則得，得，得由不全為零，得其特征方程為特征方程的解為由此得結(jié)構(gòu)的臨界荷載為§2-4無限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法前面討論有限自由度體系時，均假設(shè)壓桿為剛性的。實際結(jié)構(gòu)中，壓桿往往為彈性的，失穩(wěn)時壓桿為連續(xù)變化的曲線，所以體系是無限自由度體系。對于無限自由度體系，用靜力法計算臨界荷載的步驟與有限自由度體系相同。即先假設(shè)結(jié)構(gòu)處于一個新的平衡形式(彎曲變形狀態(tài))，建立其平衡方程。此時平衡方程不是代數(shù)方程，而是微分方程。求解此微分方程得到失穩(wěn)曲線的通解，然后利用邊界條件得到與積分常數(shù)數(shù)目相同的齊次線性方程。令方程組的系數(shù)行列式等于零，即得到特征方程。此特征方程為超越方程，它具有無限多個根，即對應(yīng)無窮多個特征荷載，其中最小值為臨界荷載。如圖2.21所示的等截面壓桿，下端固定，上端有水平支桿，現(xiàn)采用靜力法求其臨界荷載。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖2.21在臨界狀態(tài)，體系出現(xiàn)新的平衡形式，如圖中虛線。柱頂有未知水平反力FR，彈性曲線的微分方程為改寫成，方程的解為B和未知力FR由邊界條件確定得由于y(x)不恒為零，所以B和未知力FR不全為零。系數(shù)行列式為零，得展開得利用試算法或圖解法求解。采用圖解法，畫出函數(shù)和曲線，交點即為方程的根，有無窮多個特征荷載值，最小的一個即為臨界荷載。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖2.22，所以例題：計算圖2.23所示排架的臨界荷載和柱AB的計算長度。圖2.23解：計算簡圖如圖b。柱AB在B點具有彈性支座，它反映彈性柱CD對柱AB所起的支撐作用，彈性支座的剛度系數(shù)為。在臨界狀態(tài)下，桿AB的變形如圖c，柱頂作用未知力FR，彈性曲線的微分方程為改寫成，方程的解為B和未知力FR由邊界條件確定得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙由，上式變?yōu)橛捎趛(x)不恒為零，所以B和未知力FR不全為零。系數(shù)行列式為零，得(a)展開并考慮得為了求解超越方程，需事先給定k值。分三種情形討論(1)，則，此時(a)變?yōu)楫?dāng)EI1為有限值時，，所以方程最小根為此時為懸臂柱的情況，計算長度(1)，則，此時(a)變?yōu)榻谭ㄌ崾拘抨枎煼秾W(xué)院教案用紙方程最小根為此時為上端鉸支、下端固定的情況，計算長度（3)一般情況k在0～∞的范圍，在范圍變化。當(dāng)時，此時(a)變?yōu)楫?dāng)取定值后，試算的值。試算情況如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，方程最小根為當(dāng)時，計算長度例題：圖2.24所示體系的特征方程。圖2.24教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙解：假設(shè)一個新的平衡位置，并建立坐標(biāo)系，如圖。彈性曲線的微分方程為經(jīng)整理有其中方程的一般解為由壓桿的邊界條件，當(dāng)時，，求得。當(dāng)時，，則有。再由在處變形連續(xù)條件：和，可得由和不全為零，其特征方程為整理得這個特征方程只有當(dāng)給定和的比值才可求解。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙對于無限自由度體系的能量法：對于滿足位移邊界條件的任一可能位移狀態(tài)，求出勢能EP，由勢能駐值條件，可得到包含待定參數(shù)的齊次方程組，為了求非零解，齊次方程的行列式系數(shù)為零，求出荷載特征值，臨界荷載是所有特征值中的最小值。以圖2.25所示的壓桿為例進行說明。圖2.25設(shè)壓桿有任意可能為位移y(x).彎曲應(yīng)變能為再求出與FP相應(yīng)的位移。先取微段AB進行分析，彎曲前AB的長度為，彎曲后弧線的長度不變，即，由圖可知，微段兩端點豎向位移差值因此荷載勢能UP為體系的總勢能為此時描述撓曲線函數(shù)需要無限多個獨立參數(shù)，精確地應(yīng)用勢能駐值原理，需要變分計算，比較麻煩。為了計算方便，通常采用將無限自由度教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙體系轉(zhuǎn)化成有限自由度體系計算。具體的做法是，將撓曲線用有限個已知函數(shù)線性組合表示，一般形式為式中，為滿足邊界條件的已知函數(shù)；為未知參數(shù)。這樣就可用有限自由度的情況計算臨界荷載。所得到的結(jié)果為一個近似解。由此可得總勢能為由勢能駐值條件，即，（）得令，，寫成矩陣或上式為n個未知參數(shù)的n個線性方程。參數(shù)不能全為零，系數(shù)行列式為零，即展開式關(guān)于的n次代數(shù)方程，可以求出n個根，其中最小的即為臨界荷載。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙上面的方法有時稱為里茲法。這里將無限自由度體系近似為n次自由度體系，所得臨界荷載近似解為精確解的一個上限。解答的近似程度取決于所假設(shè)的撓曲線與真實撓曲線的接近程度。撓曲線函數(shù)僅取一項時，往往不能較好地近似真實撓曲線。為了提高解的精度，可取多項計算，一般取2～3項就能得到良好的結(jié)果。于假設(shè)的撓曲線相當(dāng)于真實撓曲線中引入了附加約束。因此用這種方法求得的臨界荷載的近似值，總比精確解大。為了方面，表2.1給出了幾種直桿的撓曲線函數(shù)形式(見李廉昆教材)表2.1滿足位移邊界條件的常用撓曲線函數(shù)例題：圖2.26所示兩端簡支的中心受壓柱，試用能量法求其臨界荷載。解：簡支壓桿的位移邊界條件為：x=0，x=l時，y=0。在滿足位移邊界條件的情況下，選擇3中不同的撓曲線形式進行分析討論。(1)假設(shè)撓曲線為正弦曲線教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖2.26則因而壓桿總勢能為由，則有而，故有則有這與靜力法所得的精確解相同。說明此正弦曲線正是簡支壓桿失穩(wěn)時教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙真實的撓曲線。（2)假設(shè)撓曲線為拋物線則有因而壓桿總勢能為由，得而，則有于是得此結(jié)果與精確解相比誤差為21.6%。(3) 設(shè)壓桿的撓曲線為滿足位移邊界條件的橫向均布荷載作用引起的撓曲線函數(shù)為則因而壓桿總勢能為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙由，且，得該值與精確解相比誤差為0.13%。討論：例題：試用能量法計算如圖2.27所示壓桿的臨界荷載。解：如示壓桿的位移邊界條件為：當(dāng)，時，；當(dāng)時，。設(shè)壓桿撓曲線滿足位移邊界條件的函數(shù)為圖2.27則此壓桿的總勢能為，由，，得教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙由，不全為零，則特征方程為整理，得求出特征方程最小正根，即臨界荷載為該值與精確解相比誤差.6%。當(dāng)僅取第一項時，臨界荷載為，誤差8.6%；當(dāng)僅取第二項時，臨界荷載為，誤差為177%。顯然隨著自由度的增加，計算精度會顯著提高。例題：圖2.28所示一等截面柱，下端固定，上端自由。試求在均勻荷載作用下的臨界荷載qcr。圖2.28教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙解：位移邊界條件為：x=0，y=0；x=l，y′=0。假設(shè)撓度曲線為應(yīng)變能求外力作的功。由于微段傾斜而使微段以上部分的荷載向下移動，下降距離由求出。這部分荷載所作的功為所有外力作的功為體系總勢能由，得與精確解相比，誤差為5.5%。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙習(xí)題練習(xí)題1：求圖示剛架的特征方程。解：由于AB桿上端鉸支，下端不能移動但可以轉(zhuǎn)動，但轉(zhuǎn)動受到BC桿的彈性約束，可以用一抗轉(zhuǎn)彈簧來表示?？罐D(zhuǎn)彈簧的剛度k1應(yīng)由試結(jié)果其余部分即BC的B端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時所需要的力矩來確定，如圖C?？傻谩Dv所示壓桿失穩(wěn)時，設(shè)下端轉(zhuǎn)角為，相應(yīng)的反力矩為，設(shè)上端反力為FS，由得壓桿的撓曲線平衡微分方程為簡化為其中，方程的解為教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙B和由邊界條件確定時，時，得B和不全為零，則展開得并考慮，得當(dāng)k1值給定時，可以由超越方程求出的最小正根，求出臨界荷載。特殊情況下，k1=0時，，即兩端鉸支的情況。，，即為一端固定一端鉸支的情形。題2教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙題3教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙第3章結(jié)構(gòu)的塑性分析與極限荷載§3-1概述前面各章所討論的結(jié)構(gòu)計算均是以線彈性結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的，即限定結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)工作。當(dāng)結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力達到材料的極限應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)將會破壞，故強度條件為式中，為結(jié)構(gòu)的最大工作應(yīng)力；為材料的許用應(yīng)力；為材料的極限應(yīng)力，對于脆性材料為其強度極限，對于塑性材料為其屈服極限；K為安全系數(shù)?；谶@種假定的結(jié)構(gòu)分析稱為彈性分析。從結(jié)構(gòu)強度角度來看，彈性分析具有一定的缺點。對于塑性材料的結(jié)構(gòu)，尤其是超靜定結(jié)構(gòu)，在某一截面的最大應(yīng)力達到屈服應(yīng)力，某一局部已進入塑性階段時，結(jié)構(gòu)并不破壞，還能承受更大的荷載繼續(xù)工作，因此按彈性分析設(shè)計是不夠經(jīng)濟合理的。另外，彈性分析無法考慮材料超過屈服極限以后，結(jié)構(gòu)的這一部分的承載能力。塑性分析方法就是為了彌補彈性分析的不足而提出和發(fā)展起來的。它充分地考慮了材料的塑性性質(zhì)，以結(jié)構(gòu)完全喪失承載能力時的極限狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)破壞的標(biāo)志。此時的荷載是結(jié)構(gòu)所能承受荷載的極限，稱為極限荷載，記為。結(jié)構(gòu)的強度條件可表示為式中F為結(jié)構(gòu)工作荷載，K為安全系數(shù)。顯然，塑比彈際。塑性分析方法只適用于延展性較好的塑性材料的結(jié)構(gòu)，對于脆性材料的結(jié)構(gòu)或?qū)ψ冃斡休^大限制的結(jié)構(gòu)應(yīng)慎用這種方法。對結(jié)構(gòu)進行塑性分析時，平衡條件和幾何條件與彈性分析時相同，如平截面假設(shè)仍然成立，所不同的是物理條件。為了簡化計算，對于所用的材料，常用如示的應(yīng)力—應(yīng)變曲線。當(dāng)應(yīng)力達到屈服極限以前，材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即；當(dāng)應(yīng)力達到屈服極限時，材料開始進入塑性變形階段，應(yīng)力保持不變，應(yīng)變可無限增加，如圖中AB段所示；如果塑性流動達到C點后卸載，則應(yīng)變的減小值與教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙的減小值成正比，即，材料恢復(fù)彈性但存在殘余變形。凡符合這種應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的材料，稱為理想彈塑性材料。實際鋼結(jié)構(gòu)一般可視為理想彈塑性材料。對于鋼筋混凝土受彎構(gòu)件，在混凝土受拉區(qū)出現(xiàn)裂縫后，拉力完全由鋼筋承受，故也可采用這種簡化的應(yīng)力—應(yīng)變曲線進行塑性分析。圖3.1可以看出，材料在加載和卸載時的情形不同：加載時時彈塑性的，卸載時時彈性的；在經(jīng)歷彈塑性變形后，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在單值對應(yīng)關(guān)系，同一個應(yīng)力值可對應(yīng)不同的應(yīng)變值，同一個應(yīng)變值可對應(yīng)不同的應(yīng)力值。§3-2極限彎矩、塑性鉸和極限狀態(tài)圖3.2下面研究靜定梁在彈塑性階段的受力和變形特點，并介紹與極限荷載計算有關(guān)的一些基本概念。理想彈塑性材料的矩形截面梁，承受純彎曲的作用如圖3.2所示。隨著荷載M逐漸增加，梁的變形可分為3個階段：彈性階段、彈塑性階段和塑性階段。實驗表明，無論在哪一個階段，梁彎曲變形時的平面假定都是成立的，各階段的變形過程如圖3.3教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖3.3(1) 彈性階段：這個階段的標(biāo)志是最外纖維處的應(yīng)力達到屈服極限。當(dāng)荷載較小時，截面上所有正應(yīng)力都小于屈服極限，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，梁處于彈性階段。這一階段直至截面邊緣處的正應(yīng)力達到屈服極限為止(圖3.3(b)。這時，截面上的彎矩稱為彈性極限彎矩或屈服彎矩，記為，此梁屈服彎矩為(2) 彈塑性階段：當(dāng)荷載繼續(xù)增加時，從邊緣開始有一部分材料進入塑性流動狀態(tài)，它們應(yīng)力都保持的值。而截面中部的材料仍處于彈性狀態(tài)(圖3.3(c))，其應(yīng)力分布為。(3) 塑性階段：隨著荷載的繼續(xù)增加，塑性區(qū)域?qū)⒂赏庀蚶飻U展到整個截面，并且截面上所有正應(yīng)力都達到屈服極限，其應(yīng)力分布如(d)所示。此時，截面上的彎矩已達到結(jié)構(gòu)所能承擔(dān)的極限值，稱為極限彎矩，記為。可見，對于矩形截面，極限彎矩為彈性極限彎矩的1.5倍。這表明對于矩形截面來說，按塑性計算比按彈性計算承載能力提高50%。在塑性階段，截面的極限彎矩值保持不變，變形仍可繼續(xù)發(fā)展，則兩個無限靠近的相鄰截面沿極限彎矩方向發(fā)生有限的相對轉(zhuǎn)動，相當(dāng)于在該截面處形成一個鉸，這樣的截面稱為塑性鉸。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙如果加載至彈塑性階段或塑性流動階段后再行減載，由于減載時應(yīng)力增量與應(yīng)變增量仍保持直線關(guān)系，截面仍恢復(fù)其彈性性質(zhì)。由此可得塑性鉸的一個重要性質(zhì)，塑性鉸只能沿彎矩增大方向發(fā)生有限的相對轉(zhuǎn)角；如果沿相反方向變形，則截面立即恢復(fù)其彈性剛度不在具有鉸的性質(zhì)。因此塑性鉸是單向鉸。塑性鉸與普通鉸的差別在于：普通鉸是雙向的，鉸的兩側(cè)截面可相對自由轉(zhuǎn)動，而塑性鉸是單向的，其兩側(cè)截面只能沿極限彎矩方向發(fā)生相對轉(zhuǎn)動；普通鉸不能傳遞彎矩，而塑性鉸能傳遞極限彎矩；普通鉸的位置是固定的，而塑性鉸隨卸載而消失或隨荷載不同而變化。圖3.4極限彎矩是一個截面所能承受的最大彎矩，與外力無關(guān)，僅與材料的物理性質(zhì)及截面的幾何形狀和尺寸有關(guān)。截面的極限彎矩可根據(jù)該截面處于塑性流動狀態(tài)時的正應(yīng)力分布圖形來確定。在彈性階段，應(yīng)力為直線分布，中性軸通過截面的形心，如圖3.4b；在彈塑性階段，中性軸的位置將隨彎矩的大小而變化，如圖3.4c。在塑性流動階段，設(shè)其受壓和受拉部分的面積為A1和A2，由于梁在荷載作用時軸力為零，則式中，A為梁的橫截面面積。這表明受拉區(qū)和受壓區(qū)的面積相等，即這時中性軸為等分截面軸。截面上受壓部分上的合力與受拉部分上的合力數(shù)值相等，方向相反，構(gòu)成一個力偶，該力偶矩就是該截面的極限彎矩，即有其中a1和a2分別為面積A1和A2的形心到等分截面軸的距離；S1和S2分別為A1和A2對該軸的靜矩(圖3.4(e))。教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙若令Ws稱為塑性截面系數(shù)，則極限彎矩為對于梁在橫向荷載作用下的彎曲問題，材料仍假設(shè)為理想彈塑性材料，通常，剪力對梁的承載力的影響很小，可以忽略不計，因而前面討論純彎曲時導(dǎo)出的關(guān)于截面的屈服彎矩和極限彎矩的結(jié)果在橫向彎曲中仍可采用。對于橫向彎曲，在加載初期，各個截面的彎矩均不超過彈性極限彎矩，再繼續(xù)加載，直到某個截面的彎矩首先達到時，彈性階段宣告結(jié)束，此時的荷載稱為彈性極限荷載。當(dāng)荷載超過，在梁中形成塑性區(qū)。隨著荷載的增大，塑性區(qū)逐漸擴大，最后在某截面處，彎矩首先達到極值，形成塑性鉸。對靜定梁來說，此時結(jié)構(gòu)已經(jīng)變?yōu)闄C構(gòu)，撓度可以任意增大，承載力已無法增大。這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)，此時的荷載稱為極限荷載，以表示。靜定結(jié)構(gòu)無多余約束，只要出現(xiàn)一個塑性鉸則成為破壞機構(gòu)。塑性鉸的位置可根據(jù)結(jié)構(gòu)彈性彎矩圖及各桿截面情況分析得到。對于各桿均為等截面的結(jié)構(gòu)，塑性鉸必出現(xiàn)在彎矩絕對值最大的截面，即處。對于各桿截面不同的結(jié)構(gòu)，塑性鉸出現(xiàn)在所受彎矩與極限彎矩之比絕對值最大的截面，即處。在塑性鉸的位置確定后，令塑性鉸處的彎矩等于極限彎矩，利用平衡條件即可求出結(jié)構(gòu)的極限荷載。例題：設(shè)有矩形截面簡支梁在跨中承受集中荷載作用，如圖3.5，試求極限荷載。圖3.5教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙解：該等截面梁的塑性鉸將出現(xiàn)在彎矩值最大的截面上，即在跨中荷載F的作用處。該處出現(xiàn)塑性鉸時，梁將成為破壞機構(gòu)((b)，黑小圓點表示塑性鉸)，此時該截面彎矩達到極限彎矩。根據(jù)靜力平衡方程作出極限狀態(tài)時的彎矩圖，如圖11.3(c)所示，由則求出極限荷載為上面利用靜力平衡方程求得極限荷載的方法稱為靜力法(極限平衡法)。此外，還可以根據(jù)虛位移原理，由虛功方程(平衡條件的另一種形式)確定極限彎矩，即為機動法。設(shè)如.3(d)所示機構(gòu)沿荷載正方向產(chǎn)生任意微小的虛位移，由虛位移原理，求出虛功方程為由虛位移的任意性，則有§3-3超靜定梁的極限荷載在靜定梁中，只要有一個界面出現(xiàn)塑性鉸，梁就成為機構(gòu)，從而喪失承載力以致破壞。超靜定梁由于有多余聯(lián)系，當(dāng)出現(xiàn)一個塑性鉸時，梁仍是幾何不變的，并不會破壞，還能承受更大的荷載。只有相繼出現(xiàn)更多的塑性鉸而使梁變成幾何可變或瞬變體系，即成為破壞機構(gòu)時，才喪失承載力。以圖3.6所示的超靜定梁為例說明超靜定梁由彈性階段到彈塑性階段，直到極限狀態(tài)的過程。如(a)所示的一端固定一端鉸支的等截面梁，跨中承受集中荷載FP的作用，當(dāng)，時，由彈性分析的彎矩圖(3.6b)可知，最大彎矩發(fā)生在固定端A處，當(dāng)荷載增大到一定值時，截面A首先出現(xiàn)塑性鉸，此時，梁已成為在A端作用極限彎矩，并且跨中承受荷載FP的簡支梁。若繼續(xù)增加荷載，A端彎矩不變，而跨中截面B的彎矩達到極限值，在該截面形成塑性鉸。此時，梁已出現(xiàn)兩個塑性鉸，即梁喪失了承載教法提示信陽師范學(xué)院教案用紙圖3.6能力(圖3.6(e))。對于單跨超靜定梁，如果能根據(jù)其受力情況和桿件截面特征，直接確定破壞機構(gòu)的形式，就無需考慮結(jié)構(gòu)的彈塑性變形的發(fā)展過程，而可直接采用3.3節(jié)所述的靜力法(極限平衡法)或機動法求出梁的極限荷載。如圖3.6(a)所示超靜定梁的極