考研數(shù)學一(隨機事件和概率)模擬試卷5(題后含答案及解析)

考研數(shù)學一（隨機事件和概率）模擬試卷5(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設A，B，C三個事件兩兩獨立，則A，B，C相互獨立的充分必要條件是()A．A與BC獨立。B．AB與A∪C獨立。C．AB與AC獨立。D．A∪B與A∪C獨立。正確答案：A解析：A，B，C相互獨立A，B，C兩兩獨立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。由題設條件已知A，B，C兩兩獨立，因此A，B，C相互獨立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。對于選項(A)，因為已知B與C相互獨立，所以A與BC獨立P(ABC)=P(A)P(BC)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故選(A)。知識模塊：隨機事件和概率2．假設事件A和B滿足P(B∣A)=1，則()A．A是必然事件。B．AB。C．AB。D．P(AB)=0。正確答案：D解析：由P(AB)=P(B∣A)P(A)及P(B∣A)=1可知P(AB)=P(A)，從而有P(A)=P(A)一P(AB)=0。故選(D)。知識模塊：隨機事件和概率3．以A表示事件“甲產(chǎn)品為合格品，乙產(chǎn)品為不合格品”，則其對立事件為()A．甲產(chǎn)品為不合格品，乙產(chǎn)品為合格品。B．甲、乙兩產(chǎn)品均為合格品。C．甲產(chǎn)品為不合格品或乙產(chǎn)品為合格品。D．甲、乙兩產(chǎn)品均為不合格品。正確答案：C解析：以B表示事件“甲產(chǎn)品為合格品”，以C表示事件“乙產(chǎn)品為合格品”，則A=B，得∪C，而∪C表示事件“甲產(chǎn)品為不合格品或乙產(chǎn)品為合格品”。故選(C)。知識模塊：隨機事件和概率4．在容量為11的盒子中放入10個螺母，其中含有i個銅螺母，i=0，1，2，…，10，今向盒中放入一個銅螺母，然后隨機從盒中取出一個螺母，則這個螺母為銅螺母的概率是()A．6/11。B．5/10。C．5/11。D．4/11。正確答案：A解析：設Ai=“盒中原有i個銅螺母”，i=0，1，…，10，現(xiàn)共有i+1個銅螺母，則此時取出的是銅螺母的概率是，設B=“取出的是銅螺母”，則P(B)=。故選(A)。知識模塊：隨機事件和概率5．設A，B為兩個事件且P(AB)=0，則()A．A與B互斥。B．AB是不可能事件。C．AB未必是不可能事件。D．P(A)=0或P(B)=0。正確答案：C解析：本題主要考查不可能事件、互不相容事件以及零概率事件的概念。三者關系應該是，事件A與B互不相容即AJE}是不可能事件，則必有P(AB)=0，但反之不然，如任何一個連續(xù)型隨機變量取任何實數(shù)值的概率均為零，但并非一定是不可能事件。故選(C)。除事件的獨立性外，一般情況下，由事件的概率不能推斷事件的特征，如由P(A)=1不能推斷事件A是必然事件。另外，一般情況下，P(AB)≠P(A)P(B)，故選項(D)不正確。知識模塊：隨機事件和概率6．連續(xù)拋擲一枚硬幣，第k次(k≤n)正面向上在第n次拋擲時出現(xiàn)的概率為()A．B．C．D．正確答案：D解析：此為獨立重復試驗中的伯努利概型?？偣矑仈Sn次，其中有k次出現(xiàn)正面，余下的為n—k次反面，且第n次必是正面向上，前n一1次中有n—k次反面，k一1次正面。根據(jù)伯努利概型概率公式，有故選(D)。知識模塊：隨機事件和概率7．盒中有6個正品4個次品，從中任取兩件產(chǎn)品，則至少有一個次品的概率為()A．2/3。B．3/5。C．2/5。D．1/3。正確答案：A解析：設事件A為至少有一個次品，則為兩件產(chǎn)品都是正品，于是所以P(A)=1一故選(A)。涉及知識點：隨機事件和概率8．將一枚勻稱的硬幣獨立地擲三次，記事件A=“正、反面都出現(xiàn)”，B=“正面最多出現(xiàn)一次”，C=“反面最多出現(xiàn)一次”，則下列結論中不正確的是()A．A與B獨立。B．B與C獨立。C．A與C獨立。D．B∪C與A獨立。正確答案：B解析：試驗的樣本空間有23=8個樣本點，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}，顯然B與C為對立事件，且由古典型概率公式有P(A)=，P(B)=P(C)=，P(AB)=P(AC)=，P(BC)=P()=0，P(B∪C)=P(Ω)=1。由于P(A)P(B)=，且P(AB)=，即P(AB)=P(A)P(B)，因此A與B獨立。類似地，A與C也獨立，又因必然事件與任何事件都獨立，因此B∪C與A也獨立。用排除法，故選(B)。知識模塊：隨機事件和概率9．設AB，P(B)＞0，則()A．P(A)＜P(A∣B)。B．P(A)≤P(A∣B)。C．P(A)＞P(A∣B)。D．P(A)≥P(A∣B)。正確答案：B解析：因為AB，所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A∣B)≤P(A∣B)。故選(B)。知識模塊：隨機事件和概率10．設A，B為隨機事件，P(A)＞0，則P(B∣A)=1不等價于()A．P(A—B)=0。B．P(B—A)=0。C．P(AB)=P(A}。D．P(A∪B)=P(B)。正確答案：B解析：P(B∣A)=P(AB)=P(A)，而P(B一A)=P(B)一P(AB)。故選(B)。容易驗證其余三個選項與已知條件是等價的，即有下述結論。選項(A)P(A—B)=P(A)一P(AB)=0P(AB)=P(A)。選項(C)P(AB)=P(A)P(B∣A)=1。選項(D)P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(B)P(A)=P(AB)。知識模塊：隨機事件和概率填空題11．設每次獨立試驗出現(xiàn)A及，且每次試驗中概率不變，設P(A)=p，且三次試驗中A至少出現(xiàn)一次的概率為，則P=___________。正確答案：解析：由已知得三次試驗中A至少出現(xiàn)一次的逆(對立)事件概率為P=C30P0(1－p)3=1一，解得p=。知識模塊：隨機事件和概率12．假設實驗室器皿中產(chǎn)生A類細菌與B類細菌的機會相等，且每個細菌的產(chǎn)生是相互獨立的，若某次試驗產(chǎn)生了n個細菌，則其中至少有一個A類細菌的概率是___________。正確答案：1一()n解析：n個細菌全部為B類細菌的概率P1為P1=()n，則至少有一個A類細菌的概率P2為P2=1一()n。知識模塊：隨機事件和概率13．從0，1，2，…，9十個數(shù)字中任選三個不同的數(shù)字，三個數(shù)字中不含0或5的概率為___________。正確答案：解析：設A=“三個數(shù)字不含0或5”，則=“三個數(shù)字既含0又含5”。方法一：1－。方法二：令B0=“三個數(shù)字中不含0”，B5=“三個數(shù)字中不含5”，則P(B0)=，P(B5)=，P(B0B5)=，于是P(A)=P(B0∪B5)=P(B0)+P(B5)一P(B0B5)=。知識模塊：隨機事件和概率14．設工廠A和工廠B的產(chǎn)品次品率分別為1％和2％，現(xiàn)從由A和B的產(chǎn)品分別占60％和40％的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬于A工廠的概率是___________。正確答案：解析：本題主要考察事件的設定和貝葉斯概率公式，題中有一個完備事件組：工廠A和工廠B的產(chǎn)品。設A={工廠A的產(chǎn)品}，B={工廠B的產(chǎn)品}，C={產(chǎn)品為次品}。則由已知P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C∣A)=0．01，P(C∣B)=0．02。由貝葉斯公式得P(A∣C)=知識模塊：隨機事件和概率15．袋中有4個白球，6個紅球，先從中任取出4個，然后再從剩下的6個球中任取一個，則它為白球的概率是___________。正確答案：解析：先取出的4個球是按照概率取的，故剩下的6個球中白球和紅球的比例仍為4：6，故從中取出白球的概率P=。知識模塊：隨機事件和概率16．設10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為___________。正確答案：解析：設A表示“兩件均為不合格品”，B表示“兩件中至少有一件是不合格品”，由于AB，因此P(A)=P(AB),從而P(A∣B)=知識模塊：隨機事件和概率17．某人向同一目標獨立重復射擊，每次擊中目標的概率為p，則此人第5次射擊恰好是第3次命中目標的概率為___________。正確答案：6p3(1一p)2解析：P{第5次射擊恰好是第3次命中}=P{第5次擊中目標且前4次恰好擊中2次}=P{第5次擊中目標}.P{前4次恰好擊中2次}=P.C42p2(1一p)2=6p3(1一p)2。知識模塊：隨機事件和概率18．設事件A，B滿足AB=，則P(A∪B)=___________，P(AB)=___________。正確答案：1；0解析：由條件AB=可得，AB=，即Ω=(A∪B)∪()=A∪B∪AB=A∪B,則P(A∪B)=1。另一方面AB==Ω一(A∪B)=，所以P(AB)=0。知識模塊：隨機事件和概率19．設事件A，B恰有一個發(fā)生的概率為0．3，且P(A)+P(B)=0．5，則A與B至少有一個發(fā)生的概率為___________。正確答案：0.4解析：由事件A，B恰有一個發(fā)生的概率為0．3可知，P()=0．3，即P(A)一P(AB)+P(B)一P(AB)=0．3。又由P(A)+P(B)=0．5，可得P(AB)=0．1，從而P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．4，即A與B至少有一個發(fā)生的概率為0．4。知識模塊：隨機事件和概率20．在區(qū)間(0，1)中隨機地取兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率為___________。正確答案：解析：設A表示兩數(shù)之和小于，x，y分別表示隨機取出的兩個數(shù)，則0＜x＜1，0＜y＜1，從而Ω={(x，y)∣0＜x＜1，0＜y＜1}，A={(x,y)∣x+y＜}，則由幾何型概率知(如圖1—10)P(A)=。知識模塊：隨機事件和概率解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。盒中放有10個乒乓球，其中3個是舊的，第一次比賽時從中任取兩個來用(比賽后就成舊的)，比賽后仍放回盒中，第二次比賽時再從盒中任取兩個。21．求第二次取出的球都是新球的概率；正確答案：以B表示事件“第二次取出的球都是新球”，Ai(i=0，1，2)表示事件“第一次比賽時用了i個新球”，則P(Ai)=,P(B∣Ai)=由全概率公式，有P(B)=P(Ai)P(B∣Ai)=。涉及知識點：隨機事件和概率22．已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率。正確答案：由貝葉斯公式，有P(A2∣B)=涉及知識點：隨機事件和概率在回答有a，b，c，d四個選項的選擇題時，由于題目較難，全班只有5％的學生能解答出答案，假設能解答出答案的學生回答正確的概率為99％，不能解答出答案的學生隨機猜測答案。求：23．學生回答正確的概率；正確答案：以B表示事件“學生回答正確”，A表示事件“學生能解答出答案”，則表示事件“學生不能解答出答案”，則由題設條件，得P(A)=0．05，P()=0．95，P(B∣A)=0．99，P(B∣)==0．25。由全概率公式，得P(B)=P(B∣A)P(A)+P(B∣)P()=0．99×0．05+0．25×0．95=0．287。涉及知識點：隨機事件和概率24．在學生回答不正確的情況下，他(她)是猜答案的概率。正確答案：由P(B∣A)=0．99及P(B∣)=0．25得，P(∣A)=0．01，P()=0．75，因此由貝葉斯公式，得≈0．9993。涉及知識點：隨機事件和概率25．某班有50名同學，其中正、副班長各1名，現(xiàn)從中任意選派5名同學參加假期社會實踐活動，試求正、副班長至少有一個被選派上的概率。正確答案：設A表示事件“正、副班長至少有一個被選上”，方法一：樣本空間含有總樣本點為C505個，事件A包含的事件數(shù)為C21C484+C22C483個，故P(A)=方法二：因為包含的總事件數(shù)為C485，于是P(A)=1—涉及知識點：隨機事件和概率26．設兩兩相互獨立的三個事件A，B，C滿足ABC=，P(A)=P(B)=．P(C)＜，并且P(A+B+C)=，求事件A的概率。正確答案：由公式得P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(BC)一P(CA)+P(ABC)，而由題設條件，有ABC=P(ABC)=0，A，B，C兩兩獨立，且P(A+B+C)=。若設P(A)=P(B)=P(C)=x，則有=3x一3x2(x＜)，故有P(A)=x=。涉及知識點：隨機事件和概率27．一本m頁的書，共有r個錯字，且每個錯字等可能地出現(xiàn)在每一頁上，試求在給定的一頁上至少有兩個錯字的概率。正確答案：設A表示事件“給定的一頁上至少有兩個錯字”，Pr(k)表示給定的一頁上有k個錯字的概率，則Pr(k)=,k=0，1，…，r。于是可得P(A)=1一P()=1一Pr(0)一Pr(1)=1一。涉及知識點：隨機事件和概率28．一架長機和兩架僚機一同飛往某目的地進行轟炸，但要到達目的地非有無線電導航不可，而只有長機具有此項設備，一旦到達目的地各機獨立地進行轟炸，且炸毀目標的概率均為0．3，在到達目的地之前，須經(jīng)過高射炮區(qū)，此時任一飛機被擊落的概率為0．2，求目標被擊毀的概率。正確答案：設Bi表示事件“三架飛機中有i架通過高射炮區(qū)，且i≥1時必有長機通過”，i=0，1，2，3，A表示事件“目標被擊毀”，則P(B0)=0．23=0．008，P(B1)=0．8×0．2×0．2=0．032，P(B2i)=0．8×0．8×0．2+0．8×0．2×0．8=0．256，P(B2)=0．8×0．8×0．8=0．512，P(A∣B0)=0，P(A∣B1)=0．3，P(A∣B2)=0．3+0．3—0．3×0．3=0．51，P(A∣B3)=3×0．3—3×0．32+0．33=0．657。故由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A∣Bi)=0．008×0+0．032×0．3+0．256×0．51+0．512×0．657=0．4765。涉及知識點：隨機事件和概率甲、乙兩人對同一目標進行射擊，命中率分別為0．6，0．5。試在下列兩種情形下，分別求“已知目標被命中，則甲射中”的概率：29．在甲、乙兩人中隨機地挑選一人，由他(她)射擊一次；正確答案：設A1={選中甲}，A2={選中乙}，B={命中目標}。由貝葉斯公式，得P(A1∣B)=涉及知識點：隨機事件和概率30．甲、乙兩人獨立地各射擊一次。正確答案：設A={甲射中}，B={乙射中}，且A，B相互獨立，則所求概率為P(A∣A∪B)=涉及知識點：隨機事件和概率