均值不等式及其應(yīng)用5種常見(jiàn)考法歸類

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用5種常見(jiàn)考法歸類1、均值不等式（1）算術(shù)平均值與幾何平均值給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值．多個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術(shù)平均值為eq\f(a＋b＋c,3)，幾何平均值為eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．均值不等式也稱為基本不等式，其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．(1)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b且僅當(dāng)a＝b時(shí)，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等號(hào)，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).(2)均值不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).2、均值不等式與最大(小)值已知x，y都是正數(shù)．(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值．可簡(jiǎn)記為“兩正數(shù)積定和最小，和定積最大”．利用均值不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各項(xiàng)必須都是正值，否則就容易得出錯(cuò)誤的答案．(2)“二定”，即含變量的各項(xiàng)的和或者積必須是常數(shù)，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號(hào)成立的條件，才能求得最大值或最小值．3、利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼湊法求解最值，就是先通過(guò)代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用均值不等式求解最值．(3)通過(guò)消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬(wàn)不要忽視等號(hào)成立的條件．4、利用均值不等式證明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)時(shí)，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)時(shí)要注意對(duì)所給代數(shù)式通過(guò)添項(xiàng)配湊，構(gòu)造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解題時(shí)還要注意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．5、利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問(wèn)題．用基本不等式解決此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫(xiě)出答案．考點(diǎn)一對(duì)均值不等式的理解考點(diǎn)二利用均值不等式求最值考點(diǎn)三利用均值不等式證明不等式考點(diǎn)四均值不等式的恒成立問(wèn)題考點(diǎn)五利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題考點(diǎn)一對(duì)均值不等式的理解1．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過(guò)比較線段OF與線段CF的長(zhǎng)度完成的無(wú)字證明為（）A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由圖形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結(jié)合CF≥OF即可得出.【詳解】解：由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故選：C.2．（2023秋·廣東江門(mén)·高一?？计谥校┤绻?，那么下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出，再結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由已知，利用基本不等式得出，因?yàn)?，則，，所以，，∴.故選：B3．【多選】（2023秋·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）下列不等式中正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】利用特殊值法可判斷AD選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷B選項(xiàng)；利用不等式的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，，則，D錯(cuò).故選：BC.4．【多選】（2023秋·廣東江門(mén)·高一新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．若，則的最小值是C．當(dāng)時(shí)，D．的最小值是【答案】BC【分析】對(duì)于A，舉反例即可判斷A錯(cuò)誤；對(duì)于B，利用基本不等式可得B正確；對(duì)于C，利用基本不等式可得C正確；對(duì)于D，不滿足基本不等式取等號(hào)的條件，判斷D錯(cuò)誤.【詳解】若，則，顯然不滿足，A錯(cuò)誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值是，B正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值是，C正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，顯然無(wú)解，故取不到最小值，D錯(cuò)誤.故選：BC.考點(diǎn)二利用均值不等式求最值5．【多選】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高一武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用重要不等式的合理變形可得，即可知A正確；由基本不等式和不等式性質(zhì)即可計(jì)算B正確；由即可求得C正確；根據(jù)不等式中“1”的妙用即可得出，即D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由可得，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，由可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即B正確；對(duì)于C，由可得，所以可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即C正確；對(duì)于D，易知，即；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得D錯(cuò)誤；故選：ABC6．【多選】（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式一一求解最值即可.【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，由A可得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC.7．（2023秋·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.8．（2023秋·吉林·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值是最小值為.故答案為：.9．（2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為15，故選:D．10．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，若，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用計(jì)算作答.【詳解】由，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：11．（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.12．（2023秋·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：D．13．（2023秋·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．【答案】(1)8(2)10【分析】（1）將化為，利用基本不等式即可求得答案；（2）化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是8．（2）由，得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合即時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值為10．14．（2023秋·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎龜?shù)x，y滿足，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)已知條件變形，結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】∵，∴，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值4.故答案為：4.15．（2023秋·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則的最小值為．【答案】【分析】連續(xù)使用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】由，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，解得：，所以的最小值為.故答案為：.考點(diǎn)三利用均值不等式證明不等式16．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）對(duì)任意三個(gè)正實(shí)數(shù)，，，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】運(yùn)用基本不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以由基本不等式，得，，，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)成立，把上述三個(gè)式子的兩邊分別相加，得，即．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．17．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)，為正數(shù)，證明下列不等式：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】運(yùn)用基本不等式對(duì)（1）（2）進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，均為正?shù)，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原不等式成立．（2）因?yàn)?，為正?shù)，所以，也為正數(shù)，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原不等式成立．18．（2023秋·河南焦作·高二博愛(ài)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且.(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.（2）由，兩邊同時(shí)平方，結(jié)合基本不等式求的最小值.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.（2）由，得，又由基本不等式可知當(dāng)a，b，c均為正數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述不等式等號(hào)均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.19．（2023秋·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）（1）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：若，則：（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）先對(duì)和平方化簡(jiǎn)，然后結(jié)合已知條件可證得結(jié)論，（2）利用基本不等式結(jié)合可證得結(jié)論【詳解】（1）因?yàn)?，又因?yàn)?，則為正數(shù)，所以，因此.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，又，故有.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).20．（2023秋·陜西西安·高二?？计谥校?）已知，求的最大值；（2）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：．【答案】（1）

（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)基本不等式求最值求解即可.（2）根據(jù)基本不等式，運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可證明；【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為；（2）證明：由，a，b，c均為正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，相加可得，即當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào).考點(diǎn)四均值不等式的恒成立問(wèn)題21．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．【答案】【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)榍?，若恒成立，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．22．（2023秋·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，因?yàn)楹愠闪?，可得，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.23．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C24．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式即可求解最值，進(jìn)而由即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，所以，整理得，解得，故正實(shí)數(shù)的最小值為9.故選:D.25．（2023秋·吉林四平·高一?？茧A段練習(xí)）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）由題意可得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值，（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，求出的最小值，而，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，（2）因?yàn)椋ǎ┖愠闪?，所以恒成立，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以，所以的最大值為.26．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二?？计谥校﹥蓚€(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】妙用“1”先求得的最小值為4，然后解不等式可得.【詳解】正實(shí)數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，不等式有解，，解得或，即．故選：C．考點(diǎn)五利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題27．（2023秋·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）層樓時(shí)，上下樓造成的不滿意度為層樓時(shí)，環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第樓，會(huì)有一個(gè)最佳滿意度.【答案】3【分析】先得到不滿意程度為，利用基本不等式可得取最小值即為最佳滿意度.【詳解】由題意可知，當(dāng)住層樓時(shí)，不滿意程度為，因，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)住樓時(shí)，不滿意程度最低，故答案為：328．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200元，在四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)角上鋪設(shè)草坪，造價(jià)為每平方米80元．(1)設(shè)AD長(zhǎng)為x米，總造價(jià)為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意，由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，且，則，則（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)米時(shí)，元.29．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國(guó)家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽(yáng)某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉(cāng)庫(kù)外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無(wú)需建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長(zhǎng)度均為．(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低?(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)