山東專升本高等數(shù)學歷年真題總結_第1頁
山東專升本高等數(shù)學歷年真題總結_第2頁
山東專升本高等數(shù)學歷年真題總結_第3頁
山東專升本高等數(shù)學歷年真題總結_第4頁
山東專升本高等數(shù)學歷年真題總結_第5頁
已閱讀5頁,還剩38頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

*************************]0年專升本高等數(shù)學真題************************

10年,填空⑥⑦2?2=4分選擇①1分計算鹿④5分共計10分

*****************************************************************************“

填空10211022

f—2x+1Y<I

1021.若在x=l處連續(xù),則—.

(x-aA,】§

答案:2.

解析:;=lim(-2x+1)=-1;lim/(.v)||lim(.r-<i)-1-a

AT*-?IJT-WII*->r

;連續(xù),1-a=-I,a=2

1022.x-0是函數(shù)f(x)=xcos—的第___類間斷點

X

答案一.解析:??,cos1=0.,.▲?二()是第一類間斷點,

fx

選界1011

函數(shù)y=Vl-x2-arc8S±J的定義域是()

(A)[-3,1](B)[-3,-1](C)[-3,-1)(D)[-1,1]

答案:A.

A.1一一20

解析:??,《x-1???〈A.A?.?1?????-34x41,定義域為卜3,1]

I2V.W-2"+lW2

I2

年專升本高等數(shù)學真題************************

填空③⑦2?2=4分選擇④⑥2*1=2分

計算愿④1?5=5分共計11分

*******************************************************************************

09210924

中|<1

,

0921f(x)=jo,|.r|=l,J?(x)=c,則g[/(In2)]=—.

答案:e.

解析:/(In2)=l,g[/(ln2)]=^(l)=e=eO

O924.y=sin-.r-0處是第___類間斷點.

X

答案:第一類間斷點.

09110912

0911.lim",11-=()

xxn

(A)1(B)0(C)8(D)不存在

1.答案:A。

1

JI產(chǎn)..(-If

1--------------

X-W.X-Mfcni+u

婢析-=lim---------J

KXn1liml

.v-l,x<0

0912.若/(.t)=0,x=0,則

x+1,x>0

lim/(x)=()

上Toe

(A>1(B)0(C)1(D)不存在

2.答窠:D.

A1,x<0

的折:/(M=10,x=0,則limf(x)=lim(.x-D=O-l=-l

x*"x-xr

A+l,.t>0巧

limf(x)=lim(A?1)=0>1=1,不存在

她0931.

銅:lim(—---------^-)=lim[—....................-|=liml+x^x~3

J1一刀1-x一工(l-.r)(l+x+.r))XTI(1一工川+T+工2)

..jr+x?-2..x+21+2

hni---------------------「hm----------------------

”"(l-.tXl+.v+x)—(17)0+工+工)l+.V+X2l+l+l2

********—****—**08真************************

填空黑①②④共計"4=12分

選擇題④⑤共計3,2=6分而

**********************************尺%*****************************************

081108120813

1.函數(shù))'=mx+aRsinx的定義域為.

I、分析初等函數(shù)的定義域,就是是函數(shù)去達式杳意義的那些點的全體.

W由[_;:[]知,定義域為{M)YX41}。

2.設數(shù)列“有界,且Hmx=O.則limx?x=.

的由極限的性質(zhì)如limFL=0.

R-Mt.

3.函數(shù),二行"的反圖數(shù)為.

翼由丫="仃Wx=y,-1,所求反誼數(shù)為:y=xy-\

還現(xiàn)06220826

/(x)=xsin-,WJlim/(1)等F

2.設工…()

(A)0(B)小存在(C>8(D)I

.1

.sin-

答案D,分析先變豚再利用第一個重要極RL肝:limf")二lim.tsin——lim—盧-1.故選D,

?Cf*''Jf4fC

十%.當XT°時,3工2是比sin,X()

(A)同階無窮?。˙)同階無窮小,但小等價

<C)低階無力?。―)等價無窮小

分析根據(jù)無窮小等階的定義,只需求出兩齊之比的極限。制因1而三」-31im1」一|-3,故選

*vsinx…八sin*J

*************************07高等數(shù)學真j^************************

填空屋①④共計2*4=8分

選擇屋⑤共計產(chǎn)4=4分

*******************************************************************************

07110712

y-arusm-----

I.函數(shù)?3的定義域為°

答案:【/,21解析:arcsinu中JWaWL所以

2r-1

-1W—~—41,;.-342x-1W3.「?-2W2KW4-14x42

x-l山

hm(----)

2.一工-.

答案:解析:用兩個重要極限之一!叫(1-:)

選鼻:0722

2.當XT0時,lan2x是

(A)比?n3x高階無窮小舊)比sin3K低階無窮小

(O與sin3x同階無窮?。―)與4n3x等價無窮小

2、七「2..tan2.r..2x2①八]宜口■公[人]

答案:3解4析r:hm-----=hm—所以是同階無窮小.

”?sin3K73工3

*??**?*??***?**?**?*?*???06^^專*升*本高等數(shù)學真|^,**********************

填空息⑥共計1*人2分

選擇題③共計1*2=2分

************************************???*********&}

填空,0621

1-2.V

/(-<)1+/

0<l.vl<

2x-a

I.若函數(shù)2在x=0處連續(xù),則"=

答案e-5解析:

1-2?-3.r

lim.------=lim1+在x=0處連續(xù),則必有

一也1l+.rF7.1

3

lim(2x-a)=-a-ef即一a-e".

選擇?0611

xMO

=sinX.虱x)=x>。則)

N?”

(B)cosx(C)-sinx(D)-cosx

答案C的析:當時,/[8(.()]=sin(x;r)==sinx。當▲>0時,=sin(.t?^)=-sin.v:

即/[g(x)]=-sinx

*************************05■升本高等數(shù)學真j^**—*—*************

選擇fl!④⑤共計2?3=6分05110512

***********************************************************************“**?***

1.設lim。-"憂尸=則次=()

?-?0

(A)--(B>2(C)-2(D)-

2?,2

C解析:lim(lmx);令/=-mx啊(1+/)#"'=ef=e‘,/n=-2

2.設y=e-是無窮大.則/J變化過程是()

(A)XTO*(B)XTO(C)(D>KT-8

」11

B解析:y=e,是無窮大,所以一士是正無窮大,A負無窮小,則x負無窮大.

XX

****************c、常見考點精講,1申**********************

一、基本概念

定義域值域嘉函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)

反三角函數(shù)反函數(shù)極限無窮小連續(xù)間斷點

二、考點精講

]、求定義************************

xa(-、6log:

X

sinxcosxtanxcotx

arcsinxarccosxarcLinxarccot-v

***********************

⑴求反函數(shù)的一般步驟分三步,一桿、二換、三注明

⑵反函數(shù)的定義域由原來函數(shù)的值域得到,而不能由反曲數(shù)的解析式行列.

3、震合函錄***********************

女合函數(shù)就是:把一個次數(shù)中的白火曾加助一個函心所得的新函數(shù)

例如:f(x)=3x+5,g(x)=x2+1;復,合函數(shù)f(g(x))即把f(x)里面/x換成g(x),

f(g(x))-3g(x)+5-3(x2+1)+5-3x2+8.

簡而言之,所謂更分函數(shù)就是由一典初等法數(shù)更合而成的函數(shù).

4、求極限***********************

■.函數(shù)極限存在的充分必要條件

/?-/。£./??士―/?-4

之/WTo二/?-*/⑸7

b.極限運算法則

設lim/a)及l(fā)imK(X)都存在,則

(I)lim[/(.v)±.g(A)]-linif(x]±limg(.v):

*—%,x-?.q

(2)lim[/(.r)x(x)]=lim/(x)lim?(x).

K—5工—qJ-4Xt

lim[(7(x)^CIini/(x)(C為任意常數(shù));

⑶lim-lim(lim《(x)*0).

1[“g(Aj—a,g(K)'->??

《?兩個亶要極限

*Ia

(I)lim"inA=1,(2)lim(l+X)1-e.<22)『二e,

月T<Jvr-H>.cT?x

d.幾個常用極限

limVa=1limVw=1lime'=0lime*=8limxA—1

It-M?ft工―.(->0*

久”

limarctanx=-limarctanx=-----limarccotx=0limarccotx

?IT..24TY2?-W*

£、常用三角公式*****8**

(1)sin2n=2sinncosn;(2)cos2?a1=12siJca-J。

這呼泠式必須死記

以下公W理解即可

a+夕a-P

sin(tz±/7)=sinacosP±cosasinflsinafsinp=2sin

-2-2

cos(a±P)-cosacos夕¥sinasin"

..萬ra+夕.a-B

sina-sinp-2cos-^-sin---

爾(a土夕)=

1彳次

口-a+0a-/5

cosa+cos"=2cos---cos——

i小ctga-ctgBT]

圖9z3誨訴

cosa-cosB-2sin,+2sin———

i22

6、無窮小?”??“?布?????””?”??”

,、無窮小的比較

設口、戶是某一極限過程中的兩個無窮小,若

lim—=c(c為常數(shù))

a

則(I)當…時,稱在此極限過程中力與。是同階無窮小;

<2>當r=0時,稱在此極限過程中廣是a的高階無窮小,記作A-“a)(讀作小歐a);

(3)當c=l時,稱在此極限過程中6與a是等價無窮小,記作萬?。.

庭:同斷不一定等價,融L定同階.

澗:

lim如受■=5.則當X-0時,sin5K與K為Im)的無窮小:記作:sin5xr

x_

lim-in1_1,x-*0sinx~x:

i°J

lim*^——*=1,故當x-0時,ln(l+x)?乂;

…x

lim——一0,故當x-*0時,x?是sinx的面肝無窮小,

?-*0sin.t

b.無窮小非的性質(zhì)

(1)有成門無窮小品代數(shù)和仍是無窮小fit.

(2)有眼個無窮小胡之積仍是無窮小量.

(3)方界■和與無窮小量之H為無窮小量.

c、無窮大的比較

定義2設Y、Z是同一極限過程中的兩個無窮大星,

I)如果lim一—c#0,則稱Y。/讓同階無窮大垃:

2)如果lim(=-時,則稱Z是Y的高階無窮大量;

d、常用等價無窮小量代換(必演是因子代換)

當AT0時,tanx-x?sinx~x2x-sin2x-tan2xI-cosx—x2,

2

ln(l+x)?x(1+x)。-1~ov(a是實常數(shù))

e、無窮小的階數(shù)

]加綽=,(c為常數(shù))則6(.6稱為X的k階無窮小

I

河"|打斷下列式子為X的兒階無窮小

Vl+(anx-1

3?~;-----1O'uanx-A

..Vl+tanx1;73?-3

lim----------------=lim―—--=

解:/?-*0X*X、/

所以k=1,所以把同?無窮小。

7、南敷旌陵的定義及性質(zhì)

lim/(x)=/(.%)或lim/(x)=limf(x)=/(x)

*-*A?x-??nl/J0

[E分段函數(shù)在其分段點處連線性的判斷方法:函等杳分段力左、右根閘恰況

它的另一等價定義是:設函數(shù)y=f(x)在點現(xiàn)的某?鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)/(x)當xtX。時的極

限存在.且等了它在點端處的函數(shù)值/(.%),即./(x)=/(.%),那么就稱函數(shù)y=/(x)在點與連續(xù).

下面給出左連續(xù)及右連續(xù)的慨念.

如果lim/(.。=/(%-0)存在目等「/(凡),即/(凡-0)=/(x?),就說函數(shù)/"(.、)在點凡左連續(xù).

?I一月.一0

如果lim/(x)=/(x0+0)存在且等丁/(.%),即,(與+0)=/(%),就說函數(shù)/(另在點與右連續(xù)。

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間

包括端點,那么歷數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù),在左端點連續(xù)是指右連續(xù),

連續(xù)曲數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.

8、間斷點*******************************

a.基?知iR",**8*

函數(shù)八萬)在點^函數(shù)f(x)在點3不蜀道:

《1》函數(shù)/(處在點/雷T義,

<1*>函數(shù)y=/(.r)在點x“腰W|,定<

(2)lim/Q)題<2*)lim/(工)尿存田

1%

⑶存在“麗lim〃*=〃”)(3*)極限存在,m1到lim/(x)w/(汽)

一>"***"**?#T.q

b.基本分類********

EZ)左、右極限都存在的何斯點稱第一類間斷點(包括可去向防點和跳躍間斷點兩種)

(D若“X。0)=/(.ro+0),即lim/(*存在,此類間新點稼為可去間斷點.

函數(shù)”x)在點%無定義,函數(shù)/(.V)在點有定義,但lim,f(x),/(A,,).

I"

(2)若0?#/(xo-0),即lim/(x)不存在,此類間斷點稱為跳躍間斯點.

叵「左右微限至少有一個不存在的間斷點稱為第二類間■點(包括無窮間斷點,振蕃間斷點,以及國

它何斷點).

|M1.|/1(.t)=c"『0是/|(x)的第二類間斷點.因此《(0+0)=+8,/,(0-0)=0,所以E不是

第一類間斷點,也小是無窮間斷點.

fr|2.是人(x)的第二類(無窮)間斷點

(雖然在r-0仃,TO及限):

我們來結合下述幾個弱數(shù)的曲線在x=I點的情況,給出間斷點的分類:

在x=l連續(xù).在x=l間斷,X-M極限為2.

在1二1間斷Jim--------ooc

IN-1

在x=0間斷,xtO極限小存在。

像②③④這樣在/點左右極限都存在的間斷,稱為第一類間斷.其中極限存在的②電稱作第一類間斷

與的可去間斷點,此時乂耍令y(1)=2,則在x=l函數(shù)就變成連續(xù)的了:④被稱作第一類間斷點的跳躍間

所點.⑤⑥被稱作第光間斷,其中⑤也稱作無窮間斷,而⑥稱作表晶間斷.

就般情況而言,通常把間斷點分成兩類:如果/是誨數(shù)/(x)的間斷點,但左極限/(%-0)及右極

S!f(.%+0)都存在,那么4稱為函數(shù)/("的第一類間斷點.小是第一光間斷點的任何間斷點,稱為第二

類同斷點.在第一類阿斯皮中,左、右極限相等者稱為可去問慚點,不相等界稱為跳躍間斷點.無窮間斷

點和振滿間斷點顯然是第二類間斷點.

C.經(jīng)典總縝*****

情一羯”陸點(左石械國存在,臼前I.可去和2跳躍

懂二勵]斷點(左右極限鼠〃f不存卸包括3.E窮和4?點偏

⑩lim〃x)=A7/(.r0)..r?為阿去|間斷點:17~|.y-竺」

-3X

JT+2r>0

:

{x-2x<Q

慟lim/(A)=8,x為目測一斷點:—3t/(x)=

fx

,臥lim/(x);R薄小存在,.r?為號炯斷點:jHT].y=sin:

四、??碱}型精粹

題型I求定義域攜型2求反由教題型3求復合函數(shù)題型4求極限

題型5無窮小及其比較這型6函數(shù)連續(xù)性淺型7間斷點及其類型

四、??碱}型精粹■

愚型1求定義城********************,**********

gh]■?曲數(shù)/(0='--+:+6的定義域是.

b.函數(shù)/(A)=五三N的定義域為

1*1-5

國分母不能為零M板式的性質(zhì)

15

陋a.函數(shù)六Jk)g:(2x-1)的定義域為.

b.函數(shù)/(.t)=log,x的定義域是.

@真數(shù)的性質(zhì)B板式的性質(zhì)

甌口南數(shù)y=的定義域是

[土分母不能為零b.根式的性質(zhì)

?a?t(x)-iog.l±£的定義域為..

g其數(shù)的性質(zhì)E分母不能為零

3x-

函數(shù)/(x)=方=+lg(3x+1”新義城是,

臼真數(shù)的性質(zhì)b.分母不能為零

總集,I[敏的性質(zhì)分母不能為零根式的性版三角函

類,寓,I求下列的數(shù)定義戰(zhàn)

1.y=v2-x+log,(l+x)2.>=V4-2'3.y=lg(1-4x-2l)

9.若函數(shù)+1)的定義域為[-2,1),則函數(shù)/(*)的定義域為.

2求反函數(shù)"—********"**************,

求下列函數(shù)的反函數(shù):

(Dy=3x-l(.reR):②y=.d+l(.r€R);

③y=V7+1(.TN0);④y_-'7(.TW

x-1

v+]

解①由y=3x-l解得X=K

;.函數(shù)y=3.r-l(xe/?媽反法數(shù)足),=與。eR),

②由y=/+1(A€0解用x=^/y-l,

二函數(shù)y=P+l(xwR)的反曲數(shù)是y=U7=I。eR)

③由尸J7+1解用x=(y-1)J

Vx>0,Ay>l.

A函數(shù)y=J7+l(.rN0)的反函數(shù)是x=(y-1)2(x21);

.2x+3“皿y+3

?由y-----解田x=-~~-

x-1y-2

VxfxeRx#I}..*.ye(yeR|y*2}

二函數(shù)y=2」(xwK.n/h1)的反函數(shù)是y=-(.reRxh2)

刀一】x-2

眄加

⑴求反函數(shù)的一般步驟分步,一解、X》、三注明

⑵反函數(shù)的定義域由原來函數(shù)的值域卅到,而不能由反或數(shù)的解析式祀到.

⑶步反函數(shù)前先判斷一下決定這個話數(shù)是令有反感數(shù),即判斯映射是古是一一映射.

求下列函數(shù)的反函數(shù)

(l)y=1-J1<x>I>

答案-y=x'-2x+2(xe(-8,i1)

⑵y=Ix-]I(xWI)

答案.y=1—x(xW[0,+8))

(3)y=x7-2x+3(xe(1,+<?))

答窠?y=1-J,-2(xe(2.+?>))

(4)y=xIxI4-2x

JVi+7-1(D

答案:y=〔-Jl-x+l(XYO)

(x40)

心0)

-岳(x<l)

-x-1(x>2)

答案f(X)=12

[J)求復合函Hr*——umF

例已知:f(x)=——(xGR且g(x)=.t?+2(xeR).

(1)求:f<2),g<2)的值,(2)求:f[g⑵]的值i

(3)求3f的解析式

求發(fā)合函數(shù)表達式

1.已知函數(shù)/3=2K-1.JC€(-1.2].g(x)=3x2+2x.xe[2*5],求/(g(x)].

1

2.已知fU)=x+X,g(x)=x2-2,求和gUlx))的解析式。

3.設f(x)=2x-3g(x)=xJ+2求%(x)J,或.

4.」知:f(x)-x-x+3求:f^-)f(x+l)

X

a.利用極限存在的充分必要條件求接限

Ml.求下列函數(shù)的極限:

\x-2|

(I)hm-!-;--,

(2)/(x)=fSln7+fl,A<°'當a為何值時,f(x)在x=0的極限存在.

[-2X>0,

解⑴忸品2-x

=lim

T(x2RX+2)

lx—21x-2]

lim-^-L=lim——:----------二

?-*2*x-4*-*2*(J-2X-V+2)4

因為左極限小等「6極限,所以極限令存在.

(2)由丁函數(shù)在分段點i-0處,兩邊的表達式小同,因此般要考慮在分段點x-0處的左極限與

右極限.丁是,有

limf(x)-lim(.rsin—+?)-lim(.vsin-)+lim?-?.

AfOXJC-MTXr-?0'

limf(x)-lim(1+.d)=I,

az,

為使lim存在,必須有l(wèi)im/(x)=lim/(.v),

c-M>H**?-kO

因此,當。1時.lim/(.T)存在且limf(x]1.

■-40?-4o

小結對丁?求含有絕對值的函數(shù)及分段法數(shù)分界點處的極限,要用左右極限來求.只有左右極限存在

且相等時極限才存在.占則.糙限不存在.d

5/21xi0一〃X)

,問常數(shù)k為何值時,番同存在?

■'x>0

解析”上1〃力=>iF,二仙?工組?武

要仗>(才存在,只需二:*£./(x).A2k-1.故/■:時,二存在?

網(wǎng)3.求函數(shù)/GO?1?區(qū)空在X-1處左九極限,「說明在X-1處花杏布極限?

…善"誓.°

?;...Mx)在x-1處極限小存在.

b.利用極限運算法則求函數(shù)的極限

例:求下列函數(shù)的極限:

2x2-3r2-Q

(l)lim—~~-(2)lim—~—.

fx+】fx-5X-F6

,…而-I

(4)hm-/.

一4+2

lim(2xa-3)1

I__________

lim(.r+l)2

Kf

(2)當XT3時,分子、分母極限均為零,呈現(xiàn)9型,八能直接用商的極限法剜,可先分解因式,約

0

去使分子分母為零的公因子,再用確的運算法;』.

x-9..(x-3)(x4-3)x+3,

原式=lim一_—hm--------1----------lim--------6.

?-3x23+67(K-3Xx-2)-JK-2

(3)當XT1時,="T,」一的極限均不存在,式二」一呈現(xiàn)8-8型,小能直接用“手的

I-X1—X1-X1-X

極限等丁極限的差”的運和法則,可先進fj通分化簡,再用畫的運算法則.即

匕+1/21、!-2-0+X)

藤式?hm(---r-----)=hm-----;-2

]_*71-X

=lin)---。--一-----與-lini)---1-=_—1.

i(D(1+x)3+x2

(4)當XT+8時,分子分母均無極限,呈現(xiàn)方形式.普分子分母同時除以五,將無

8

窮大的4約去,利用法則求

小結(I)應用極限運算法眥求極限時?必須注意每玲極限部存在(對了除法.分均極限小為零)才

能適用.

g求函.限時,鮮常出釁己—8等情況,都榷直接運用極限運算法則,必須對原式進

行恒等變換、化簡,然后再求極限.猾使用的有以下幾種方法.

(I)對丁8-8型,往往君要先通分,化簡.再求極限,

(ii)對丁無理分式,分子.分母有理化,消去公因式,再分極限,

<iii>對分子、分司進行因式分解,再求極限.

□0

(iv)對丁當XT8時的一型,可將分子分母同時除以分母的最高次第,然后再求極限.

00

c,利用函數(shù)的連續(xù)性求極限:limJ(x)=/(.%)=limf(x).

■(IJTR0

例L求下列函數(shù)的極限

.、.v2+sinx…...r~i.

(I)hm---/,(2)limarcsinz(vx+kt).

7eWl+-—

2

解(1)因為';sm、是初等的數(shù),/IA二*1與"定義,

c'Vl+x2

x2+sin.v4+sin2

所以Hm

e2Vl+x2~74T-

(2)的數(shù)urcsin(J—+x.r)而成由y=sinw,xi=VA-2+XX史合而成,利用分子有理化

lim+-x)=lim/_---=1.

A-^torf*Vx2+X+X2

然后利用更合函數(shù)求極限的法則來逅并

limarcsinCvA^+x-x)=limarcsin=arcsinlim

*T+a

1n

=arcsin-=—.

26

小結利用“函數(shù)迨續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)法教的極限。在一定條夕I下復合函數(shù)的極限,

極限符號與函數(shù)希號可交換次庠.

例2,求卜列函數(shù)極限

.co?K-?nx

解析.

…*-3120—72S*3Xa-e

f-1”4-1Til-

d.利用兩個重要極限求函數(shù)的極限

例求F列函數(shù)的極限:

八、「cosxcos3x,、、1,11、,

(1)lim---------:-------,(2)lim(l......-).

K)f^c二

M(1)分子先用和茶化積公式變形,然后再用市要極限公式求極限

「2sin.vsin2x..sinx...sing,..

原式=hm--------;--------=lim--------lim(4z?--\力-1x4=4?

TTOJ,fXtTi2x

(2)解一原式=lim(l+,)'(l-L)'=lim(l+,)JlimKI-L)Tr=ee,=1,

—XX—*KiX

l>

解二原式=lim[(l--!r)i,'T=e=l.

1rX

小結I)種Ulim把三二1求極匕-nt滿是lim把31的形式,Jfl'z/G)

-°x0n0w(x)

為同一變量:

<II>用lim(l+L)‘求極限時.函數(shù)的特點「型對指函數(shù),其形式為[l+a(x)忘型,

1X

a(x)為無窮小量,血指數(shù)為無窮大,網(wǎng)齊恰好互為例數(shù):

(in)用兩個歪:要極限公式求極限時,往往用三角公式或代數(shù)公式進行恒等變形或作

變量代換,使之成為垂耍極限的標準形式。

C利用無窮小的性質(zhì)求極限?????[和0?卜卜****

M求下列函數(shù)的極限

,..x2+1、..xsinx

(1)hm--------.(2)hm

iix-1I-Ji+p

tf<1)因為Iim(K-l)=O而lim(.d+1)/0,求該式的極限需用無窮小與無窮大關系定理解決.因

4T47

為lim二0.所以“ixfI時,二三1是無窮小fit,因而它的倒數(shù)是無窮大量,ll|llim=i=8.

TX+1X+1巧T工一】

<2)小能直接運用極限運算法則,因為當x-?+8時分子,極限外存在,但.sinx是有界函數(shù),即

卜inx|4l而limJV-lim-0,因此當x-?+oo時,/=為無窮小鼠.根據(jù)有界函數(shù)

1-n~,ViTT7

與無窮小乘積仍為無窮小定理,即有

xsmx

lim=0.

(-?**Jl+/

小結利用無窮小與無窮大的美系,可求一類函數(shù)的極限(分母極限為零,而分子極限存在的膜數(shù)極

做);利用有界函數(shù)與無窮小的乘枳仍為無力小定理可行一類函數(shù)的極限(有界量與無窮小之積的球數(shù)極

陽).

jag

lim(Zc-l)

例1.求f

lim(Zv-1)=lim2A-lim1=2lim,v-l=2-i-1=l

.r-?ljr->iJ?-?1.c-?l

lim4T-

例2.求一“r-5x+3.

..I

<-?2iim(.v2-5x+3)

_if/.、一?

J217

lim./-51imx*lim3limA-1=

!-??I??-?212"22-104-3-3

O例3.求7*2-9.

litn11

e?Jr-3..r-3|=’7=一

Iini—;~~-Iini-----~~■——=lini--6

.T-*3*-9工~?3(.T-3)(.K+3)x-?3X+3,

xf+4=H=o

2x-321-3

根據(jù)無窮大與無窮小的關系得tx二5.「4r.

提問:如下寫法是否正確?

..Zr-3Jim(2x-3)

liin------------------------------------叮)

22

A?ix-5x+4lim(x-5x+4)0

it

討坨:

有理函數(shù)的極限1%仍、)

提示

VmPM=PM

當。(<08。時,a4)Q.q)

l.im.-P---M--=oo

當Q(?°)=0且P(*O)KO時,,r,Qx)

當Q(xO)=P(xO)W)時,先將分子分母的公因式(x-xO)的去.

..3xi+4t£+2

例5求—7x3+5.H-3.

解:先用x'去除分子及分母,然后取極限:

.空卓=lim與,

x-*?7xs*5x--3i-xr74.A__£_7

,=7.<f)

求理".

例6

先用x'去除分子及分母,筋后取極限:

lim

2x-

lim2.1—7

例7.求一3/-2AT

解:因為!上貂去。,所以

lim3—15

3.H-2Z'

討論:

?

有理函數(shù)的極限…*Mv*+..+%

提示

0n</ft

而十/=%

1MW+…n=nt

t?好廣++…+配%

n>m

lim到更

例8.求x—X

解:當X+oW,分子及分母的極限都不存在,故關于商的極限的運算法則不能應用.

-----sinx

因為XX,是無窮小與有界西敷的乘積,

lim血=0

所以.

lim-i2IlA-|im則UL—!—.hm"土lim」一?1

解:q-MIxXCOSJC4-WIX<-^ocosx

例]0求t短

=3區(qū)?)4p4日

“5無i小及凝函

1.用新無窮小的階

例1"ix-0的,卜列無窮小量是*的幾階無力小lim-~311=I求K即可

一9

①x-3—+x5②situagx

解:①因為當x-0時,在x3/?/中3/與f部是4的高階無窮小,由恒等式(i)

所以,當4~0時?.<3?+/罡i的面無窮小

②因為當x-*0時,sinx~x,IRx~x,由恒等式(ii)可知sinx〔gX=P(X2).即lim加'=I

?-H>r*

所以,當x-*0時,sinxtgxx的二二階無窮小

注,先將原式交形,再判斷階數(shù)

例2當x-0時,卜列無窮小陵是x的兒階無窮小

①Jl+X-Jl-X②幅x-sinx

W:4通過分子仃理化將原式變形

引-后=LL

由此否?出,當x-0時,Jl+x-jl-x是x的一階無窮小.小實上

..2x_

1

I。,v(Vl+X+Jl-x)

②通過-ft]函數(shù)的公式將原式變形

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論