2021-2022學(xué)年北京市密云區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京市密云區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題。（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個選項是

符合題意的。

1.（2分）如果4771=5〃（“W0）,那么下列比例式成立的是（）

Am=nRm—.n「m=4nm5

4554n54n

2.（2分）已知（DO的半徑為4,點P在。。外部，則OP需要滿足的條件是（）

A.OP>4B.OWOP<4C.OP>2D.OWOP<2

3.（2分）拋物線y=（x-1）2+2的對稱軸是（）

A.直線x=-1B.直線x=1C.直線尤=-2D.直線尤=2

4.（2分）在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,8C=4,則tanA的值為（）

A.3B.Ac.3D.A

5543

5.（2分）如圖，身高1.6米的小慧同學(xué)從一盞路燈下的8處向前走了8米到達點C處時,

發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE的長是2米，則路燈A8的高為（）

C.8米D.10米

6.（2分）如圖，在。。中，C、。為O。上兩點，AB是OO的直徑，已知NAOC=130°,

C.30°D.25°

7.（2分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,D,E,尸是網(wǎng)格線的交點，貝2ABC

的面積與的面積比為（

8.（2分）如圖，一個矩形的長比寬多3c〃z,矩形的面積是Sc”，.設(shè)矩形的寬為我加，當(dāng)無

在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

X

A.S=4x+6B.S=4x-6C.S=f+3xD.S=J?-3x

二、填空題。（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）如果c°sA=亨，那么銳角A的度數(shù)為.

10.（2分）點A（2,yi）,B（3,y2）是反比例函數(shù)y=圖象上的兩點，那么yi,y2

x

的大小關(guān)系是yiy2.（填或“=”）

11.（2分）如圖，正六邊形A3C。跖內(nèi)接于O。，若。。的周長為8n,則正六邊形的邊長

為.

12.（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0,-5）的拋物線的表達式.

13.（2分）已知扇形的圓心角為120。，其半徑為3,則該扇形的面積為.

14.（2分）如圖1是一種手機平板支架，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖.托板43固定在支撐板

頂端的點C處，托板可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板C?？衫@點。轉(zhuǎn)動.如圖2,若量得支

撐板長8=85，NC￡>E=60°,則點C到底座。E的距離為cm.（結(jié)果保留

根號）

B

DL---------E

圖1圖2

15.（2分）如圖，PA,依是O。的切線，A,B是切點.若/尸=50°,則NAOB=

16.（2分）如圖，拋物線y=-7+2.將該拋物線在x軸和無軸上方的部分記作G,將x

軸下方的部分沿X軸翻折后記作C2,C1和C2構(gòu)成的圖形記作C3.

關(guān)于圖形C3,給出如下四個結(jié)論：①圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱；②圖形C3有最小值，

且最小值為0;③當(dāng)尤＞0時，圖形C3的函數(shù)值都是隨著x的增大而增大的；④當(dāng)-2Wx

W2時，圖形C3恰好經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）.以上四個結(jié)論中，所

有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題。（共68分，其中17?22題每題5分，23?26題每題6分，27、28題每題7

分）

17.（5分）計算：我-（H-V2）0-2cos45°+|-4|.

18.（5分）下面是小墳同學(xué)設(shè)計的“作一個角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程.

已知：在△ABC中，AB=BC,平分NABC交AC于點D

求作：ZBPC,使NBPC=N8AC.

作法：①分別以點8和點C為圓心，大于a8C的長為半徑作弧，兩弧交于點E和點凡

2

連接EF交RD于點O；

②以點0為圓心，0B的長為半徑作O。；

③在劣弧A3上任取一點尸（不與點A、3重合），連接BP和CP.

所以NBPC=N3AC.

根據(jù)小墳設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接04、0C.

"：AB=BC,8。平分/ABC,

：.BD±ACS.AD=CD.

：.OA=OC.

,：EF是線段BC的垂直平分線，

：.OB=.

：.OB=OA.

為△ABC的外接圓.

:點尸在OO上，

：./BPC=NBAC（）（填推理的依據(jù)）.

19.（5分）已知二次函數(shù)-4尤+3.

（1）用配方法將其化為y=a（X-A）2+左的形式；

（2）在所給的平面直角坐標系xOy中，畫出它的圖象.

20.（5分）已知：如圖，在△ABC中，NABC=2/C,BD平分NABC.

求證：AABDs^ACB.

21.（5分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,sinA=3,。為AC上一點，ZBDC=45

CD=6.求的長.

22.（5分）如圖，在平面直角坐標系尤Oy中的第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4,

1）,點8（x,y）是該函數(shù)圖象上的一個動點.

（1）求反比例函數(shù)的表達式；

（2）當(dāng)>>1時，結(jié)合圖象直接寫出x的取值范圍.

23.（6分）在平行四邊形ABC。中，E為A8上一點，連接CE,尸為CE上一點，MZDFE

=ZA.

(1)求證：ADCFsACEB；

(2)若BC=4,CE=3爬,tanZCDF工，求線段8E的長.

2

一群野生亞洲象從云南西雙版納傣族自治州走出叢林，一

路北上，歷經(jīng)17個月遷徙逾500公里安全返回棲息地，引發(fā)國內(nèi)外一波“觀象熱潮”.象

群北移途經(jīng)峨山縣時，一頭亞洲象曾脫離象群.如圖，A,B,C分別表示峨山縣、象群

位置和獨象位置.經(jīng)測量，象群在峨山縣西北方向約12公里處，獨象位于象群的正東方

向和峨山縣北偏東30。方向的交匯處，請你計算此時獨象距離象群多少公里？（結(jié)果保

留根號）

B?

25.（6分）如圖，AB是。。的直徑，弦COLAB于點E,AM是△ACZ）的外角NZM尸的平

分線.

（1）求證：AM是。。的切線；

(2)連接CO并延長交AM于點N,若。。的半徑為2,ZANC=30°,求CD的長.

26.(6分)在平面直角坐標系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y=f-2ax+b與y軸相交于點(0,

-3).

(1)當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過點(1,-4)時，求該拋物線的表達式;

(2)求這個二次函數(shù)的對稱軸(用含。的式子表示);

(3)若拋物線上存在兩點A(xi,yi)和3(X2,>2),其中xi-yi=0,x2+y2=0.當(dāng)xi

<0,x2>0時，總有Xl+%2>0,求〃的取值范圍.

yA

6-

5-

4

3

2

1

IIIIII

-6-5-4-3-2一4123456%

27.(7分)如圖，在正方形ABC。中，點E是CD邊上一動點(點E與點C、。不重合)，

連接AE,過點A作AE的垂線交C8延長線于點R連接跖.

(1)依據(jù)題意，補全圖形；

(2)求NAE/的度數(shù)；

(3)連接AC交EP于點H,若F旦=a,用含a的等式表示線段CP和CE之間的數(shù)量關(guān)

EH

系，并說明理由.

28.(7分)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,0)和點8(5,0).對于線段和

直線AB外的一點C,給出如下定義:點C到線段AB兩個端點的連線所構(gòu)成的夾角ZACB

叫做線段AB關(guān)于點C的可視角，其中點。叫做線段AB的可視點.

(1)在點O(-2,2)>E(1,4)>F(3,-2)中，使得線段A3的可視角為45°的可

視點是;

(2)OP為經(jīng)過A,5兩點的圓，點M是。尸上線段48的一個可視點.

①當(dāng)為。尸的直徑時，線段A8的可視角NAM8為度；

②當(dāng)。。的半徑為4時，線段的可視角為度；

(3)已知點N為y軸上的一個動點，當(dāng)線段AB的可視角ZANB最大時，求點N的坐標.

九

yk

5-

5

44-

33-

22-

A1

1~B"AB

X1__l__l|>???

-5-4-3-2-49-12345*—3-2T?12345”

-2-2

-3

-3

-4

-5

備用圖備用圖

2021-2022學(xué)年北京市密云區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題。（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個選項是

符合題意的。

1.（2分）如果4加=5〃（〃WO）,那么下列比例式成立的是（）

Am—npm—nnm—5

4554n54n

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把每一個選項中的比例式轉(zhuǎn)化成等積式即可解答.

【解答】解：A.因為且=口，所以5根=4小故A不符合題意；

45

B.因為螞=匚，所以4H7=5%故2符合題意；

54

C.因為旦=2，所以5m=4"，故C不符合題意；

n5

D.因為螞=$,所以優(yōu)”=20,故。不符合題意；

4n

故選：B.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2分）已知。。的半徑為4,點尸在。。外部，則OP需要滿足的條件是（）

A.OP>4B.OWOP<4C.OP>2D.OWOP<2

【分析】當(dāng)點到圓心的距離大于半徑時，點在圓外.

【解答】解：???當(dāng)點到圓心的距離大于半徑時，點在圓外，

。尸>4,

故選：A.

【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握點與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)

。。的半徑為r,點尸到圓心的距離OP=d,則有：

①點尸在圓外Qd>廠

②點尸在圓上Qd=r

①點P在圓內(nèi)

3.（2分）拋物線y=（x-1）2+2的對稱軸是（）

A.直線x=-lB.直線x=lC.直線x=-2D.直線尤=2

【分析】由拋物線的頂點式y(tǒng)=（x-/7）2+左直接看出對稱軸是直線》=九

【解答】解：?.?拋物線的頂點式為y=（x-1）2+2,

，對稱軸是直線x=l.

故選：B.

【點評】要求熟練掌握拋物線解析式的各種形式的運用.

4.（2分）在RtZXABC中，NC=90°,AB=5,BC=4,則tanA的值為（）

A.2B.AC.2D.A

5543

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)正切的定義解答即可.

【解答】解：在RtzXABC中，/C=90°,AB=5,BC=4,

由勾股定理得，AC='AB2-BC2=,52-42=3,

則tanA=F2=9,

AC3

故選：D.

【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理的應(yīng)用，掌握銳角A的對邊。與

鄰邊b的比叫做NA的正切是解題的關(guān)鍵.

5.（2分）如圖，身高1.6米的小慧同學(xué)從一盞路燈下的8處向前走了8米到達點C處時，

發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE的長是2米，則路燈AB的高為（）

A.5米B.6.4米C.8米D.10米

【分析】根據(jù)cr>〃42,得出進而得出比例式求出即可.

【解答】解：由題意知，CE=2米，CZ）=1.6米，8C=8米，CD//AB,

則BE=BC+CE=10米,

'JCD//AB,

：.LECDsAEBA

?CD-CEpn1.6一2

ABBEAB10

解得AB=8,

即路燈的高A3為8米;

故選：c.

【點評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△ECQs^EBA是解決問題的關(guān)鍵.

6.（2分）如圖，在中,C、。為OO上兩點，AB是。。的直徑，已知/AOC=130°,

C.30°D.25

【分析】求出/8OC,根據(jù)圓周角定理得出乙BZ）C*/BOC,代入求出答案即可.

【解答】解：：/AOC=130°,

；./BOC=180°-NAOC=50°,

ZBDC=A/BOC=25°,

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理，能熟記一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一

半是解此題的關(guān)鍵.

7.（2分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,D,E,尸是網(wǎng)格線的交點，則AABC

的面積與的面積比為（）

【分析】通過證明AABCs可得S4ABC=（AB）2=_1,即可求解.

^ADEFDE4

【解答】解：由題意可得：AB=1,AC=V2,BC=V5,DE=2,EF=2五,DF=2后,

?DEDFEF_0

ABBCAC

...LABCsAEDF,

?SAABC_（AB、2_1

S/kDEFDE4

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

8.（2分）如圖，一個矩形的長比寬多3cm,矩形的面積是Scm2.設(shè)矩形的寬為XC",當(dāng)x

在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

A.S—4x+6B.S=4x-6C.S—^+^xD.S=/-3x

【分析】根據(jù)已知可得矩形的長為x+3,然后利用矩形的面積公式進行計算即可.

【解答】解：由題意得：

S=x（x+3）

=/+3無，

.?.S與x滿足的函數(shù)關(guān)系是：S=7+3尤，

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握矩形的面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題。（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）如果c°sA=亨，那么銳角4的度數(shù)為30。.

【分析】根據(jù)30°角的余弦值等于近解答.

2

【解答】解：???COSA=Y1,

2

銳角A的度數(shù)為30°.

故答案為：30°.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45。、60°的三角函數(shù)值是解題

的關(guān)鍵.

10.（2分）點A（2,yi）,B（3,”）是反比例函數(shù)y=圖象上的兩點，那么yi,yi

x

的大小關(guān)系是yi<一（填“>”，"V”或“=”）

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，把A點和3點坐標代入反比例函數(shù)解析

式可計算出yi,”，從而可判斷它們的大小.

【解答】解：:.點A(2,yi),B(3,”)是反比例函數(shù)y=-工圖象上的兩點，

X

；.yi=--1^-=-6,y2=--l^-=-4,

-23

.".yi<y2.

故答案為<.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式是解

題的關(guān)鍵.

11.(2分)如圖，正六邊形A8CDE/內(nèi)接于OO,若。。的周長為8冗，則正六邊形的邊長

為4.

【分析】由正六邊形ABC。所內(nèi)接于。。，由O。的直徑得出O。的半徑，再根據(jù)正六

邊形的半徑等于邊長即可得出結(jié)果.

【解答】解：連接。4,0B,

:正六邊形A8COEF內(nèi)接于O。，O。的周長為8it,

.??O。的半徑為4,

：/AOB=360°.=60。,

6

△AOB是等邊三角形，

：.AB=OA=4,

：.正六邊形ABCDEF的邊長為4,

故答案為：4.

【點評】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形

的邊長等于半徑.

12.（2分）請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0,-5）的拋物線的表達式y(tǒng)=

2?-尤-5（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)a決定拋物線的開口方向，c決定拋物線與y軸的交點即可解答.

【解答】解：???開口向上，

??.〃＞（）,

:與y軸交于點（0,-5）,

??c=-5，

一個開口向上，并且與y軸交于點（0,-5）的拋物線的表達式為：y=2x1-x-5,

故答案為：y=2x2-x-5（答案不唯一）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2分）已知扇形的圓心角為120°,其半徑為3,則該扇形的面積為3TT.

【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式進行計算即可.

【解答】解：???扇形的圓心角為120。，其半徑為3,

2

.c_,_120nx3_^

..3扇形-----------31T.

360

故答案為：31T.

【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

14.（2分）如圖1是一種手機平板支架，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖.托板48固定在支撐板

頂端的點C處，托板可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板可繞點。轉(zhuǎn)動.如圖2,若量得支

撐板長CD=8cmNCDE=60°,則點C到底座DE的距離為cm.（結(jié)果保留

根號）

【分析】作CHLOE于H,根據(jù)三角函數(shù)求出CH的長度即可.

【解答】解：作CHLDE于H,

B

DH-E

,:CD=3cm,ZCDE=60°,

CH=CD?sinZCDE=8Xsin60°=4?（cm）,

故答案為：4次.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握特殊角三角函數(shù)及其應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

15.（2分）如圖，PA,是。。的切線，A,B是切點.若/P=50°,則130°.

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NO4P=/。防=90。，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計算

ZAOB的度數(shù).

【解答】解：：幺，P8是。。的切線，A,8是切點，

C.OALPA,OBLPB,

：.ZOAP=ZOBP=9Q°,

VZOAP+ZAOB+ZOBP+ZP^360°,

：.ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案為為0°.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

16.（2分）如圖，拋物線y=-/+2.將該拋物線在x軸和無軸上方的部分記作Ci,將x

軸下方的部分沿X軸翻折后記作C2,C1和C2構(gòu)成的圖形記作C3.

關(guān)于圖形C3,給出如下四個結(jié)論：①圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱；②圖形C3有最小值，

且最小值為0;③當(dāng)尤＞0時，圖形C3的函數(shù)值都是隨著x的增大而增大的；④當(dāng)-2WX

W2時，圖形C3恰好經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）.以上四個結(jié)論中，所

有正確結(jié)論的序號是①②④.

【分析】畫出翻折后的C2,然后根據(jù)圖形即可判斷.

【解答】解：①由圖形可知，圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱，故正確；

②圖形C3有最小值，且最小值為0,故正確；

③當(dāng)x>0時，圖形C3的函數(shù)值先隨著尤的增大而減小，當(dāng)函數(shù)值為0后，再隨x的增

大而增大，故③錯誤；

④當(dāng)-2WxW2時，圖形C3恰好經(jīng)過（-2,2）,（-1,1）,（0,2）,（1,1）,（2,2）

共5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點），故④正確，

所以，①②④是正確的結(jié)論.

故答案為：①②④.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

三、解答題。（共68分，其中17?22題每題5分，23?26題每題6分，27、28題每題7

分）

17.（5分）計算：V8-（TT--/2）0-2cos45°+|-4|.

【分析】首先計算零指數(shù)塞、特殊角的三角函數(shù)值、開方和絕對值，然后計算乘法，最

后從左向右依次計算，求出算式的值即可.

【解答】解：V8-（7T-V2）°-2cos45°+1-41

=2&-1-2X亞+4

2

=2加-1-衣+4

=&+3.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，

和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有

括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.另外，有理數(shù)的運算

律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

18.（5分）下面是小墳同學(xué)設(shè)計的“作一個角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程.

已知：在△ABC中，AB=BC,8。平分/ABC交AC于點D

求作：ZBPC,使N2PC=NA4C.

作法：①分別以點8和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E和點足

2

連接跖交8。于點O；

②以點。為圓心，0B的長為半徑作O。；

③在劣弧A8上任取一點P（不與點A、8重合），連接和CP

所以/BPC=/BAC.

根據(jù)小墳設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接OA、OC.

\'AB^BC,BD平分/ABC,

：.BD±AC5.AD^CD.

：.OA^OC.

???EF是線段BC的垂直平分線，

/.OB=OC.

OB=OA.

.??O。為△ABC的外接圓.

:點尸在。。上，

:.NBPC=NBAC（同弧所對圓周角相等）（填推理的依據(jù)）.

【分析】（1）根據(jù)作圖過程即可補全圖形；

（2）根據(jù)同弧所對圓周角相等，即可完成證明.

【解答】解：（1）如圖，即為補全的圖形；

'：AB=BC,8。平分NA8C,

：.BD±AC^AD=CD.

J.OA^OC.

???EF是線段的垂直平分線，

：.OB=OC.

：.OB=OA.

為△ABC的外接圓.

:點尸在。。上，

:.NBPC=/BAC（同弧所對圓周角相等）.

故答案為：OC,同弧所對圓周角相等.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵

是掌握基本作圖方法.

19.（5分）已知二次函數(shù)-4尤+3.

（1）用配方法將其化為（x-h）2+左的形式；

（2）在所給的平面直角坐標系xOy中，畫出它的圖象.

x

【分析】（1）利用配方法把二次函數(shù)解析式化成頂點式即可;

（2）利用描點法畫出二次函數(shù)圖象即可.

【解答】解：（1）y=x1-4x+3

=J?-4x+22-22+3=（x-2）2-1；

⑵）（x-2）2-1,

頂點坐標為（2,-1）,對稱軸方程為尤=2.

:函數(shù)二次函數(shù)y=/-4x+3的開口向上，頂點坐標為（2,-1）,與x軸的交點為（3,

0）,（1,0）,

其圖象為:

【點評】本題考查了二次函數(shù)的配方法，用描點法畫二次函數(shù)的圖象，掌握配方法是解

答此題的關(guān)鍵.

20.（5分）已知：如圖，在△ABC中，NABC=2NC,平分NABC.

求證：AABDsAACB.

A

D

--------------------

【分析】根據(jù)/A8C=2/C,8。平分/ABC可以求出/A8O=NO8C=NC,然后證明:

△ABDsAACB.

【解答】證明：：NABC=2NC,2。平分NABC,

ZABD=ZDBC=ZC,

又：ZA=ZA,

AABD^/\ACB,

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，角平分線的定義，準確識圖比較重要，也

考查了學(xué)生的識圖能力.

21.（5分）如圖，在△ABC中，NC=90°,sinA=2,。為AC上一點，/BDC=45°,

5

CD=6.求的長.

【分析】根據(jù)已知條件求出BC=DC=6,再根據(jù)正弦的定義求出AB,再根據(jù)勾股定理

求出AC,最后根據(jù)AO=AC-OC求出的長

【解答】解：：/C=90°,ZBDC=45°,

：.ZDBC=45°,

C=6,

：.BC=6,

VsiiiA=—=^-,

5AB

：.AB=IO,

-'-AC=VAB2-BC2=V102-62=8)

：.AD=AC-DC=S-6=2.

【點評】此題考查了解直角三角形，用到的知識點是直角三角形的性質(zhì)、正弦的定義、

勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出AB的長.

22.(5分)如圖，在平面直角坐標系尤Oy中的第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(4,

1),點8(尤，y)是該函數(shù)圖象上的一個動點.

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)當(dāng)y>l時，結(jié)合圖象直接寫出尤的取值范圍.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；

(2)利用函數(shù)圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：(1)設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=K,

X

把A(4,1)代入得％=4X1=4,

所以反比例函數(shù)的解析式為

X

(2)當(dāng)y>l時，％的取值范圍為0VxV4.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=K(左

x

為常數(shù)，左W0),然后把一組對應(yīng)值代入求出上得到反比例函數(shù)解析式.也考查了反比例

函數(shù)的性質(zhì).

23.(6分)在平行四邊形A2CD中，E為AB上一點、,連接CE,尸為CE上一點，B.ZDFE

=ZA.

(1)求證：ADCFSACEB；

(2)若2C=4,CE=3遙,tmZCDF^X,求線段3E的長.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；

(2)過點E作E?LCB延長線于點H,結(jié)合(A)ADCFsACEB,可得/CDF=/ECB,

所以tanZCDF—tanZECB—^i=—,設(shè)EH—x,則CH—2x,利用勾股定理求出x的值,

CH2

進而可以解決問題.

【解答】(1)證明：???四邊形是平行四邊形,

AZA+ZB=180°,ZDCF=ZBEC.

VZDFC+ZZ)FE=180°,/DFE=/A,

：.ZDFC=ZB,

:.△DCFsNEB；

(2)如圖，過點E作即，CB延長線于點X,

X-----------------

Ar-.,由

F

/n

*：△DCFs^CEB,

：?/CDF=NECB,

tanZCDF=tanZECB=^.=A,

CH2

設(shè)即=x,則CH=2x,

?;CE=3疾,

...x=3,

:?EH=3,CH=6,

VBC=4,

:?BH=CH-BC=2,

BE=VEH2+BH2=VS2+22=^13.

【點評】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理

是解決此題關(guān)鍵.

24.（6分）從2020年3月開始，一群野生亞洲象從云南西雙版納傣族自治州走出叢林，一

路北上，歷經(jīng)17個月遷徙逾500公里安全返回棲息地，引發(fā)國內(nèi)外一波“觀象熱潮”.象

群北移途經(jīng)峨山縣時，一頭亞洲象曾脫離象群.如圖，A,B,C分別表示峨山縣、象群

位置和獨象位置.經(jīng)測量，象群在峨山縣西北方向約12公里處，獨象位于象群的正東方

向和峨山縣北偏東30。方向的交匯處，請你計算此時獨象距離象群多少公里？（結(jié)果保

留根號）

【分析】根據(jù)方向角的定義構(gòu)造直角三角形，在中求出A。、BD,在Rt^ACD

中求出CD,進而求出即可.

【解答】解：如圖，由于8C方向為東西方向，為南北方向，因此AOL8C,垂足為

D,

由方向角的定義可知，ZBAD=45°,ND4c=30°,A8=12公里,

在RtZXAB。中，ZBA￡>=45°,AB=12,

：.BD=AD^&AB=6近,

2

在RtZkACD中，ZCAD=30°,AD=65

:.CD=^-AD=2娓,

3

：.BC^BD+CD^（6衣+2遍）公里,

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的定義以及直角三角形的邊角關(guān)系

是解決問題的關(guān)鍵.

25.(6分)如圖，4?是。。的直徑，弦CZ)_LAB于點E,AM是△AC。的外角/D4F的平

分線.

(1)求證：AM是的切線；

(2)連接C。并延長交AM于點N,若O。的半徑為2,N4VC=30°,求CD的長.

B

【分析】(1)要證明AM是O。的切線，只要求出/。4M=90°即可；

(2)根據(jù)已知可得/AON=60°,AN=2A/§,然后再證明AN^AC,最后證明△ACD

是等邊三角形即可解答.

【解答】(1)證明：是。。的直徑，CDLAB,

AD=AC>

：.AD=AC,

"：AD=AC,ABLCD,

：.ZCAE=ZDAE=AzCAD,

2

是△ACO的外角/D4F的平分線,

ZDAM=^-ZDAF,

2

ZOAM^ZDAO+ZDAM

^^ZCAD+^ZDAF

22

=_lxi80°

2

=90°,

是圓。的半徑,

.?.AM是。。的切線;

(2)VZANC=30°，ZOAM=90°，

：.ZAON=90°-ZANC=60°,

：.AN=OAtan60°=2如,

*：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCA,

ZAON=ZOAC+ZOCA=60°,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

：.ZOCA=ZANC=30°,

:?AN=AC=ZM，

*：ZOAC=^ZCAD,

2

，NCAD=60°

*：AD=AC,

：.△AC。是等邊三角形，

：.CD=AC=2yf3-

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件

并結(jié)合圖形去分析是解題的關(guān)鍵.

26.（6分）在平面直角坐標系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)-2〃X+/?與y軸相交于點（0,

-3）.

（1）當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過點（1,-4）時，求該拋物線的表達式；

（2）求這個二次函數(shù)的對稱軸（用含。的式子表示）；

（3）若拋物線上存在兩點A（xi,yi）和8（x2,J2）,其中xi-yi=0,x2+y2=0.當(dāng)xi

<0,X2>O時，總有X1+X2>O,求a的取值范圍.

yA

6-

-6-5-4-3-2-423456力

【分析】（1）把（0,-3）和（1,-4）分別代入解析式，解答即可;

（2）根據(jù)對稱軸為直線x=-上計算即可；

（3）把坐標代入解析式后進行代換，保留XI,X2后進行作差，因式分解，解不等式求解.

【解答】解：（1）把（0,-3）和（1,-4）分別代入解析式y(tǒng)=/-2辦+6,

*7,解得產(chǎn)1,

Il_2a+b=0Ib=_3

二.拋物線的解析式為：y=7-2x-3.

（2）二次函數(shù)的對稱軸為直線：尤=--2a=a,

2X1

(3)A(xi,yi)和2(x2,>2)是二次函數(shù)-2辦+6上的兩點,

2-2axi+b,y2=x29-laxi+b,

Vxi-yi=0,X2+〉2=O,

?\xi=xi-2axi+b,-X2=X2-2ax2+b,

.".xi2-2axi-%1+。=0①，X22-2〃x2+x2+Z?=0②，

①~②得,xi2-X22-2axi+2ax2-xi-X2=O,

(XI-X2)(X1+X2)-2a(XI-X2)=X1+X2f

.X1+x2

??xi+X2.-2a-----,

xrx2

Vxi<0,X2>0,Xl+X2>0,

.'.XI-X2<0,

.*.xi+x2-2〃<0,

2

*.*Xl+X2>0,

【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式，對稱軸的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟練掌握待定

系數(shù)法，對稱軸的公式，靈活運用拋物線的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.(7分)如圖，在正方形中，點E是CD邊上一動點(點E與點C、。不重合)，

連接AE,過點A作AE的垂線交延長線于點「連接EE

(1)依據(jù)題意，補全圖形；

(2)求NAEB的度數(shù)；

(3)連接AC交于點若里=a,用含。的等式表示線段5和CE之間的數(shù)量關(guān)

EH

系，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)已知補全圖形即可;

(2)由四邊形45c。是正方形，得NABC=/Z)=/BAC=90°,AD=AB,rfffAE±AF,

可證明AAB尸名△&￡>￡(AAS),即得△AEF是等腰直角三角形，故/AEF=45°；

(3)過H作HG_LBC于G,過H作HM_LCD于根據(jù)四邊形ABCZ)是正方形，可

得△CGH是等腰直角三角形，從而HG=CG=HM,由理■=m可知膽=_J-=理，型

EHEFa+1CFEF

=^-=理，即得CF=(a+1)HM,CE=^kHG,故受=a.

a+1CEaCE

【解答】解：(1)補全圖形如下：

(2)???四邊形A5CI)是正方形，

AZABC=ZD=ZBAC=9G°,AD=AB,

：.ZD=ZABF=90°,

VAEXAF,

：.ZFAB=90°-ZBAE=ZEAD9

：.AABF^AADE(AAS),

：.AF=AEf

???AAEF是等腰直角三角形，

AZAEF=45°；

(3)過〃作〃G_L5C于G,過H作于如圖:

???四邊形A8CO是正方形，

AZACB=45°,

???ACGH是等腰直角三角形，

:?HG=CG,

VHGXBC,HM1CD,ZBCD=90°,

J四邊形HGCM是正方形，

：?HG=CG=HM,

\9HG//CE,HM//CF,

:.XEHMsXEFC,XFHGS叢FEC,

?=a,

-HE=1=HMFH=a=HG

??麗74CF,EF74CE)

；.CF=(a+1)HM,CE=^.HG,

a

而HM=HG,

...CE=SL,即空=a.

aCE

【點評】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)及判定，全等三角形的

性質(zhì)及判定，相似三角形的判定及性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)

化線段比.

28.(7分)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,0)和點8(5,0).對于線段AB和

直線外的一點C,給出如下定義:點C到線段A8兩個端點的連線所構(gòu)成的夾角/ACB

叫做線段AB關(guān)于點C的可視角，其中點C叫做線段的可視點.

(1)在點。(-2,2),E(1,4)>F(3,-2)中，使得線段A2的可視角為45°的可

視點是E；

(2)。尸為經(jīng)過A,5兩點的圓，點M是。尸上線