2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第6講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第六講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1．對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)幾種常見對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a>0，且a≠1)logaN常用對(duì)數(shù)底數(shù)為10lgN自然對(duì)數(shù)底數(shù)為elnN2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①loga1＝0；②logaa＝1(其中a>0且a≠1)；③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)．(2)對(duì)數(shù)恒等式alogaN＝N(其中a>0且a≠1，N>0)．(3)對(duì)數(shù)的換底公式logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1，N>0)．(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y<0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)2.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．歸納拓展1．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化2．換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論①logab＝eq\f(1,logba)；②logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R且m≠0.3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN(a>0，a≠1)．(×)(2)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(3)log2x2＝2log2x.(×)(4)2lg3≠3lg2.(×)(5)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．(×)(6)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一函數(shù)．(√)[解析](4)設(shè)2lg3＝M,3lg2＝N，則lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.題組二走進(jìn)教材2．(必修1P127T3改編)寫出下列各式的值：(1)log2eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(1,2)；(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝0；(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝－1；(4)(log29)·(log34)＝4.[解析](1)log2eq\f(\r(2),2)＝log22－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝log51＝0.(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lgeq\f(5,2)＋lg4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lg10－2＝－1.(4)解法一：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.解法二：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.3．(多選題)(必修1P127T2改編)下列各式正確的是(BD)A.eq\f(loga6,loga3)＝loga2 B．lg2＋lg5＝1C．(lnx)2＝2lnx D．lgeq\r(5,x3)＝eq\f(3,5)lgx[解析]A選項(xiàng)，由換底公式，可得eq\f(loga6,loga3)＝log36＝1＋log32，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，lg2＋lg5＝lg(2×5)＝1，故B正確；C選項(xiàng)，(lnx)2＝lnx×lnx≠2lnx，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，lgeq\r(5,x3)＝lgxeq\f(3,5)＝eq\f(3,5)lgx，故D正確．4．(必修1P131T1改編)函數(shù)f(x)＝eq\r(lnx－1)的定義域是(D)A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)[解析]要使函數(shù)f(x)＝eq\r(lnx－1)有意義，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－1≥0，,x－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥1，,x－1>0，))解得x≥2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2，＋∞)．5．(必修1P140T4改編)若b>a>1，則函數(shù)y＝loga(x＋b)的圖象不經(jīng)過(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]函數(shù)y＝loga(x＋b)的圖象是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移b個(gè)單位長(zhǎng)度得到，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象即可求解．∵b>a>1，∴函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，圖象過第一、四象限，又∵函數(shù)y＝loga(x＋b)的圖象是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移b個(gè)單位長(zhǎng)度得到，而b>1，∴函數(shù)y＝loga(x＋b)的圖象不經(jīng)過第四象限，故選D.6．(必修1P127T5改編)函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點(diǎn)是(2,2).[解析]當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值為2，所以圖象恒過定點(diǎn)(2,2)．題組三走向高考7．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝(C)A．25 B．5C.eq\f(25,9) D．eq\f(5,3)[解析]由2a＝5兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，得a＝log25.又b＝log83＝eq\f(log23,log28)＝eq\f(1,3)log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2eq\f(5,3)＝eq\f(log4\f(5,3),log42)＝2log4eq\f(5,3)＝log4eq\f(25,9)，所以4a－3b＝4log4eq\f(25,9)＝eq\f(25,9)，故選C.8．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函數(shù)y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，＋∞)，選D.9．(