2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識梳理第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第1講函數(shù)的概念及其表示

第一講函數(shù)的概念及其表示知識梳理知識點一函數(shù)的概念及其表示1．函數(shù)的概念函數(shù)兩個集合A，B設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集對應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A2.函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．知識點二分段函數(shù)1．若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)．2．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.知識點三函數(shù)的定義域函數(shù)y＝f(x)的定義域1．求定義域的步驟(1)寫出使函數(shù)式有意義的不等式(組)；(2)解不等式(組)；(3)寫出函數(shù)定義域．(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)2．求函數(shù)定義域的主要依據(jù)(1)整式函數(shù)的定義域為R.(2)分式函數(shù)中分母不等于0.(3)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.(4)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(5)函數(shù)f(x)＝x0的定義域為{x|x≠0}.(6)指數(shù)函數(shù)的定義域為R.(7)對數(shù)函數(shù)的定義域為(0，＋∞).知識點四函數(shù)的值域基本初等函數(shù)的值域：1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當(dāng)a>0時，值域為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(y≥\f(4ac－b2,4a)))))；當(dāng)a<0時，值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤\f(4ac－b2,4a))))).3．y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}.4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞).5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.[延伸]6．y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的值域為(－∞，－2eq\r(a))∪(2eq\r(a)，＋∞)．7．y＝x－eq\f(a,x)(a>0)的值域為(－∞，＋∞)．8．y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad－bc≠0)的值域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(c,a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，＋∞)).歸納拓展1．判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致．2．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．3．與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點．4．定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．5．函數(shù)f(x)與f(x＋a)(a為常數(shù)a≠0)的值域相同．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.(×)(2)A＝N，B＝N，f：x→y＝|x－1|，表示從集合A到集合B的函數(shù)．(√)(3)已知f(x)＝m(x∈R)，則f(m3)＝m3.(×)(4)y＝lnx2與y＝2lnx表示同一函數(shù)．(×)(5)函數(shù)y＝eq\f(x,\r(x－1))定義域為x>1.(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修1P67T1改編)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(B)[解析]A中函數(shù)的定義域不是[－2,2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)的值域不是[0,2]．3．(必修1P67T2改編)已知奇函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3)，則f(x)的解析式可能為(D)A．f(x)＝2x B．f(x)＝－eq\f(3,x)C．f(x)＝3x2 D．f(x)＝3x3[解析]根據(jù)f(1)＝3以及函數(shù)的奇偶性確定正確答案．f(1)＝2≠3，A選項錯誤；f(1)＝－3≠3，B選項錯誤；f(x)＝3x2是偶函數(shù)，C選項錯誤；f(1)＝3，f(x)＝3x3為奇函數(shù)，符合題意．故選D.4．(必修1P73T11改編)(多選題)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則以下描述正確的是(BD)A．函數(shù)f(x)的定義域為[－4,4)B．函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)C．此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)D．對于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自變量x與之對應(yīng)[解析]由圖象得此函數(shù)定義域為[－4,0]∪[1,4)，值域為[0，＋∞)，在定義域內(nèi)不具備單調(diào)性，當(dāng)y∈(5，＋∞)時都有唯一的x與之對應(yīng)．因此，A、C不正確．故選BD.5．(必修1P67T2改編)由f(u)＝u2，u＝2＋x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)是y＝_(2＋x)2__.[解析]利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)直接求解．由f(u)＝u2，u＝2＋x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)是y＝(2＋x)2.題組三走向高考6．(2022·北京卷)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(1－x)的定義域是(－∞，0)∪(0,1].[解析]因為f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\r(1－x)，所以x≠0,1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0,1]．7．(2021·浙江，12,4分)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，x>2，,|x－3|＋a，