2025版高考數(shù)學一輪總復習知識梳理第1章集合常用邏輯用語不等式第2講常用邏輯用語

第二講常用邏輯用語知識梳理知識點一充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp知識點二全稱量詞與存在量詞1．命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．2．全稱量詞命題與存在量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．(2)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．3．全稱量詞命題和存在量詞命題的否定量詞命題量詞命題的否定結論?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題歸納拓展1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．2．充分條件與必要條件的兩個特征：(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”．(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．注意：不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題．3．含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結論”．4．對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定．5．命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號內打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命題．(×)(2)至少有一個三角形的內角和為π是全稱量詞命題．(×)(3)若命題p：?x∈R，eq\f(1,x－2)<0，則綈p：?x∈R，eq\f(1,x－2)≥0.(×)(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要條件．(×)(5)在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要條件．(√)[解析](4)當α＝β＝eq\f(π,2)時，tanα、tanβ都無意義．因此不能推出tanα＝tanβ，當tanα＝tanβ時，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要條件．(5)在△ABC中，由A>B，則a>b，由正弦定理sinA>sinB，反之也成立．題組二走進教材2．(多選題)(必修1P28練習T1改編)下列命題是全稱量詞命題且為真命題的是(AC)A．?x∈Z，－x2－1<0B．?m∈Z，nm＝mC．所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑D．存在實數(shù)x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4)[解析]?x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A選項是全稱量詞命題且為真命題；當m＝0時，nm＝m恒成立，故B選項是存在量詞命題且為真命題；任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C選項是全稱量詞命題且為真命題；因為x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4)，故D選項是存在量詞命題且為假命題．3．(必修1P22習題T2改編)“a>b”是“ac2>bc2”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]當a>b時，若c2＝0，則ac2＝bc2，所以a>bac2>bc2，當ac2>bc2時，c2≠0，則a>b，所以ac2>bc2?a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件．4．(必修1P23T5改編)使－2<x<2成立的一個充分條件是(B)A．x<2 B．0<x<2C．－2≤x≤2 D．x>0題組三走向高考5．(2023·天津，2,5分)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件[解析]由a2＝b2得|a|＝|b|；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，∴a＝b.a＝b?|a|＝|b|，而由|a|＝|b|不能推出a＝b.∴“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件，故選B.6．(2023·全國甲理，7,5分)設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則(B)A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件[解析]充分性：當sin2α＋sin2β＝1時，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cos2β，∴sinα＝±cosβ，即sinα＋cosβ＝0或sinα－cosβ＝0，所以充分性不成立；必要性：當sinα＋cosβ＝0時，sin2α＝cos2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以必要性成立．∴甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選B.7．(2016·浙江)命題“?x∈R，?n∈