2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第5章平面向量與復(fù)數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積

有關(guān)數(shù)量積的最值問題的四種解法一、目標(biāo)函數(shù)法已知扇形AOB的半徑為1，面積為eq\f(π,3)，P是eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))上的動點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值為－eq\f(3,2).[解析]因為扇形AOB的半徑為1，面積為eq\f(π,3)，設(shè)∠AOB＝α，所以eq\f(1,2)α＝eq\f(π,3)，所以α＝eq\f(2,3)π，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，設(shè)P(cosθ，sinθ)，0≤θ≤eq\f(2,3)π，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－cosθ，\f(\r(3),2)－sinθ))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－cosθ))cosθ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－sinθ))sinθ＝eq\f(\r(3),2)sinθ－eq\f(1,2)cosθ－1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))－1,0≤θ≤eq\f(2π,3)，所以－eq\f(π,6)≤θ－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(3,2)≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤0，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值為－eq\f(3,2).二、換元法設(shè)a，b，c是單位向量，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最小值為1－eq\r(2).[解析]依題意，設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(sinθ，cosθ)，則a－c＝(1－sinθ，－cosθ)，b－c＝(－sinθ，1－cosθ)，(a－c)·(b－c)＝－sinθ·(1－sinθ)－cosθ(1－cosθ)＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，則其最小值是1－eq\r(2).三、數(shù)形結(jié)合法已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1].[解析]以a和b分別為x軸和y軸正方向的單位向量建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則a＝(1,0)，b＝(0,1)，設(shè)c＝(x，y)，則c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.即(x，y)是以點(diǎn)M(1,1)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)，而|c|＝eq\r(x2＋y2).所以|c|可以理解為圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離，連接OM，由圓的性質(zhì)可知，|OM|－1≤|c|≤|OM|＋1，即|c|∈[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]．四、基本不等式法在△ABC中，BC＝2，A＝eq\f(2π,3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最小值為－eq\f(2,3).[解析]由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·coseq\f(2π,3)≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，即AB·AC≤eq\f(4,3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·coseq\f(2π,3)≥－eq\f(2,3)，即(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))min＝－eq\f(2,3)，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AC時取等號．【變式訓(xùn)練】(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是(B)A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1[分析]思路一：思路二：[解析]解法一：結(jié)合題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，連接AD，PE，PD，則有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2)．而eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，eq\o(PE,\s\up6(→))2有最小值0，故此時eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－2eq\o(EA,\s\up6(→))2＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2).解法二：如圖所示，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，eq\r(3))，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2eq\b\lc\(\rc\