2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)

二次函數(shù)恒成立問題二次函數(shù)的恒成立問題是高考命題的熱點(diǎn)，此類問題的處理方法較為靈活，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．[解析](1)由題意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2,1]．(2)因?yàn)閷?duì)于?x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝－a.當(dāng)－a≤－1，即a≥1時(shí)，f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增，則f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.當(dāng)－1<－a<1，即－1<a<1時(shí)，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2.解－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1<a<1.當(dāng)－a≥1，即a≤－1時(shí)，f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，則f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．(3)?x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，則f(x)max≥0，x∈[－1,1]．函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝－a.當(dāng)－a≤0，即a≥0時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.當(dāng)－a>0，即a<0時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是R.(4)因?yàn)閷?duì)于?a∈[－1,1]，f(x)>0，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，則g(a)>0在[－1,1]上恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x2－2x＋3>0，,g1＝x2＋2x＋1>0，))解得x≠－1，故實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|x≠－1}．[探究]本題的幾個(gè)小題表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件．名師點(diǎn)撥：恒成立問題的解法1．解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(1)(2)(3)x是變量，(4)a是變量．2．對(duì)于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對(duì)第一種情況恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方；對(duì)第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分類討論(也可采用分離參數(shù)的方法)．【變式訓(xùn)練】1．(2023·北京101中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(－∞，－1)__.[解析]解法一：f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．解法二：f(x)>2x＋m等價(jià)于m<x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，其圖象的對(duì)稱軸x＝eq\f(3,2)>1，所以g(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，則g(x)在區(qū)間[－1,1]上的最小值為g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．2．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，對(duì)任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).[解析]當(dāng)x0∈[－1,2]時(shí)，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1,3]．因?yàn)閷?duì)任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gx1min≥fx0min，,gx1max≤fx0max，))即當(dāng)x1∈[－1,2]時(shí)，g(x1)∈[－1,3]．所以當(dāng)a>0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\