2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點突破第6章數(shù)列第3講等比數(shù)列及其前n項和考點2等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用角度1等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用1.(2023·洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則eq\f(a2a16,a9)的值為(B)A.－2 B．－eq\r(2)C.eq\r(2) D．－eq\r(2)或eq\r(2)[解析]設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝aeq\o\al(2,9)＝2，a3＋a15＝－6，又a3、a15同號，所以a3<0，a15<0，則a9＝－eq\r(2)，所以eq\f(a2a16,a9)＝eq\f(a\o\al(2,9),a9)＝a9＝－eq\r(2).故選B.2．(2023·洛陽統(tǒng)考)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a8a13＝64，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝50.[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a10a11＝a8a13，所以a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64，所以a10a11＝32，所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1·a2·a3·…·a20)＝log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝log2(a10·a11)10＝log23210＝50.[引申]在本例1中若將a3，a15改為a2，a16，其他不變，該題應(yīng)選(D)[解析]a2＋a16＝－6，a2a16＝2，又a2與a16同號，所以a2<0，a16<0，而a9符號不確定a9＝±eq\r(2)，因此eq\f(a2a16,a9)＝±eq\r(2).故選D.名師點撥：1．在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度.2．在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.角度2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1.已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝2.[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160))所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(－160,－80)＝2.[解析]解法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，顯然q≠1，又Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，∴eq\f(S9,S3)＝eq\f(1－q9,1－q3)＝q6＋q3＋1＝7.∴q3＝2或－3(舍去).又eq\f(S12,S3)＝eq\f(1－q12,1－q3)＝eq\f(1－q34,1－q3)＝15.∴S12＝15S3＝150.故選A.解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故選A.解法三：由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比數(shù)列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故選A.解法四：設(shè)等比數(shù)列前n項和為Sn＝A－Aqn，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1－q9＝70，,A1－q3＝10，))兩式相除得1＋q3＋q6＝7，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故選A.[引申]本例2中若去掉條件“各項都是正數(shù)”，結(jié)果如何？[解析]由本例解法一知q3＝2或－3，當(dāng)q3＝2時，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；當(dāng)q3＝－3時，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故選C.名師點撥：1．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)主要是：若Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列.2．利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以減少運算量，提高解題速度.解題時，根據(jù)題目條件，分析具體的變化特征，即可找到解決問題的突破口.3．注意等比數(shù)列前n項和公式的變形.當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1).4．S2n＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn(1＋qn＋q2n)，….【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2023·全國乙理，15,5分)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝－2.[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)得a4a5＝a3a6≠0，∵a2a4a5＝a3a6，∴a2＝1.又∵a9a10＝－8，∴a2q7·a2q8＝－8，∴aeq\o\al(2,2)q15＝－8，∴q15＝－8，∴(q5)3＝－8，∴q5＝－2，∴a7＝a2q5＝1×(－2)＝－2.2．(角度1)已知各項均不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝16.[解析]因為{an}為等差數(shù)列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化為4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}為等比數(shù)列，所以b6b8＝beq\o\al(2,7)＝aeq\o\al(2,7)＝16.3．(角度2)(2023·吉林統(tǒng)考)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，S12＝7S4，則eq\f(S8,S4)＝(C)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)或eq\f(1,2)C.3 D．3或－2[解析]解法一：不妨設(shè)S4＝1，則S12＝7，∵S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，∴(S8－1)2＝7－S8，解得S8＝3或－2，又S8＝(1＋q4)S4>0，∴S8＝3