江蘇省蘇州市外國語學校高三數(shù)學文知識點試題含解析

江蘇省蘇州市外國語學校高三數(shù)學文知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列結(jié)論正確的是(

)A.若向量，則存在唯一的實數(shù)使得B.已知向量為非零向量，則“的夾角為鈍角”的充要條件是“＜0”C.命題：若，則或的逆否命題為：若且，則D.若命題，則參考答案：C【知識點】命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件A2若向量，，則存在唯一的實數(shù)λ使，故A不正確；

已知向量,為非零向量，則“,的夾角為鈍角”的充要條件是“?＜0，且向量,不共線”，故不正確；條件否定，結(jié)論否定，逆命題，可知C正確；

若命題p：?x∈R，x2-x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2-x+1≤0，故D不正確．【思路點撥】根據(jù)向量共線定理判斷A，向量,為非零向量，則“,的夾角為鈍角”的充要條件是“＜0，且向量,不共線”，可判斷B，條件否定，結(jié)論否定，逆命題可判斷C；命題p：?x∈R，x2-x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2-x+1≤0，可判斷D．2.設(shè)等比數(shù)列中，前n項和為,已知，則A.

B.

C.

D.參考答案：A略3.設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線只有一個公共點，則雙曲線的離心率為

A.

B.

C.

D.參考答案：D4.設(shè)集合M={x|x2+3x+2<0},集合,則M∪N=（

）A．{x|x-2} B．{x|x>-1} C．{x|x<-1} D．{x|x-2}

參考答案：A【知識點】集合及其運算A1∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|-2＜x＜-1}，集合N={x|()x≤4}={x|2-x≤22}={x|-x≤2}={x|x≥-2}，∴M∪N={x|x≥-2}，【思路點撥】根據(jù)題意先求出集合M和集合N，再求M∪N．5.若正數(shù)a，b滿足，則的值為（

）A. B. C. D.1參考答案：D【分析】引入新元x，將a用x表示，b用x表示，a+b用x表示帶入求出結(jié)果【詳解】設(shè)，則【點睛】本題主要考查對數(shù)與對數(shù)函數(shù)。不能直接將a表示成b的關(guān)系式，因此考慮引入新元x.6.若向量與的夾角為120°，且，則有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.△ABC是邊長為1的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】可作圖，取BC邊的中點D，并連接AD，從而可以得出，，從而有，這樣即可求出和的值，從而便可找出錯誤的結(jié)論．【解答】解：A．如圖，設(shè)邊BC的中點為D，則：，；∴，∴該選項正確；B．∵，∴，∴該選項正確；C.；∴，∴該選項錯誤；D．AD⊥BC，由前面，∴，即，∴該選項正確．故選：C．【點評】考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運算，以及數(shù)量積的計算公式，余弦函數(shù)的定義，向量數(shù)乘的幾何意義，向量垂直的概念．8.已知復(fù)數(shù)z滿足，則=

（

）

A．-2i

B．-2

C．2i

D．2參考答案：A9.如圖，動點在正方體的對角線上．過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是

參考答案：B10.函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為題f′（x）若函數(shù)在區(qū)間f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)無極值點，則f'（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)無零點．命題P的逆命題，否命題，逆否命題中，正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點】四種命題．【分析】可先判斷出原命題與其逆命題的真假，根據(jù)四種命題的等價關(guān)系即可判斷出真命題的個數(shù)．【解答】解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）若函數(shù)在區(qū)間f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)無極值點，則f'（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)無零點，故原命題為真正確，則逆否命題為真命題，其逆命題為：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），若f'（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)無零點，則函數(shù)在區(qū)間f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)無極值點，逆命題也是真命題，由此可知命題的否命題也是真命題，因為原命題的逆命題與否命題是等價命題．綜上可知：命題p的逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數(shù)是3．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a2a4=16，則a7=．參考答案：64【考點】等比數(shù)列的通項公式．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知求得a3=4，進一步求得公比，再代入等比數(shù)列的通項公式求得a7．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，由a2a4=16，得，則a3=4（與a1同號），則，∴．故答案為：64．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題．12.觀察下列等式:…照此規(guī)律,第n個等式可為

.

參考答案：12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）觀察上式等號左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左邊的項數(shù)一次加1，故第n個等式左邊有n項，每項所含的底數(shù)的絕對值也增加1，一次為1,2,3…n，指數(shù)都是2，符號成正負交替出現(xiàn)可以用（－1）n+1表示，等式的右邊數(shù)的絕對值是左邊項的底數(shù)的和，故等式的右邊可以表示為（－1）n·，所以第n個式子可為12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）[考點與方法]本題考查觀察和歸納的推理能力，屬于中等題。解題的關(guān)鍵在于：1.通過四個已知等式的比較發(fā)現(xiàn)隱藏在等式中的規(guī)律；2.符號成正負交替出現(xiàn)可以用（－1）n+1表示；3.表達完整性，不要遺漏了n∈13.向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，設(shè)向量=﹣λ，若⊥，則實數(shù)λ=

．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】由向量垂直的條件得到（﹣λ）?=0，求出向量AB，AC的坐標和模，再由數(shù)量積的坐標公式，即可求出實數(shù)λ的值．【解答】解：∵向量=﹣λ，⊥，∴=0，即（﹣λ）?=0，∴=λ∵，，∴=6，||=2，∴λ=．故答案為：．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示、向量垂直的條件、向量的模，考查基本的運算能力，是一道基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若g(x)＝f(x＋1)＋5，g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，對?x∈R，總有g(shù)′(x)>2x，則g(x)<x2＋4的解集為________.參考答案：(－∞，－1)因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于原點對稱.又g(x)＝f(x＋1)＋5，故g(x)的圖象關(guān)于點(－1，5)對稱，令h(x)＝g(x)－x2－4，∴h′(x)＝g′(x)－2x，∵對?x∈R，g′(x)>2x，∴h(x)在R上是增函數(shù).又h(－1)＝g(－1)－(－1)2－4＝0，∴g(x)<x2＋4的解集是(－∞，－1).

15.在極坐標系中,設(shè)曲線與的交點分別為、,則

.參考答案：16.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段，記第i段的重量為ai（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48ai=5M，則i=．參考答案：6【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意知由細到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an}且設(shè)公差為d，由條件和等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出a1和d值，由等差數(shù)列的前n項和公式求出該金杖的總重量M，代入已知的式子化簡求出i的值．【解答】解：由題意知由細到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，則，解得a1=，d=，所以該金杖的總重量M==15，因為48ai=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案為：6．17.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是________．參考答案：復(fù)數(shù),其共軛復(fù)數(shù)為,故填.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1上的一點．（1）求證：BC⊥AM；（2）若N是AB的中點，求證CN∥平面AB1M．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）通過證明BC⊥C1C，BC⊥AC，推出BC⊥平面ACC1A1，然后證明BC⊥AM．（2）取AB1的中點P，連接MP，NP，證明NP∥BB1，推出NP∥CM，然后證明CN∥平面AB1M．【解答】（1）證明：∵ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C，又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM．…（2）證明：取AB1的中點P，連接MP，NP，∵P為AB1中點，N為AB中點，∴NP為△ABB1的中位線，∴NP∥BB1，又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，∴MC∥B1B，∴NP∥CM，∴NPCM共面，∴CN∥平面AB1M…（14分）【點評】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．19.某城市交通規(guī)劃中，擬在以點O為圓心，半徑為50m的高架圓形車道外側(cè)P處開一個出口，以與圓形道相切的方式，引申一條直道連接到距圓形道圓心O正北250m的道路上C處（如圖），以O(shè)為原點，OC為y軸建立如圖所示的直角坐標系，求直道PC所在的直線方程，并計算出口P的坐標．參考答案：考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：由題意可得圓形道的方程為x2+y2=502，點C的坐標為（0，250）．根據(jù)CP與圓O相切求得CP的斜率k的值，再根據(jù)兩條直線垂直的性質(zhì)求得OP的斜率，可得OP的方程，再根據(jù)CP、OP的方程，求得P點坐標．解答：解：由題意可得圓形道的方程為x2+y2=502，引伸道與北向道路的交接點C的坐標為（0，250）．設(shè)CP的方程為y=kx+250，由圖可知k＜0．又CP與圓O相切，∴O到CP距離=50，解得k=﹣7，∴CP的方程為y=﹣7x+250①．又OP⊥CP，∴KOP?KCP=﹣1，∴KOP=﹣=．則OP的方程是：y=x②．由①②解得P點坐標為（35，5），∴引伸道所在的直線方程為7x+y﹣250=0，出口P的坐標是（35，5）．點評：本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．20.（本小題12分）已知函數(shù)，設(shè)

（1）是否存在唯一實數(shù)，使得，若存在，求正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由。（2）當時，恒成立，求正整數(shù)n的最大值。參考答案：解：（1）由得

則因此在內(nèi)單調(diào)遞增?！?分因為，，即存在唯一的根，于是

……………6分（2）由得，且恒成立，由第（1）題知存在唯一的實數(shù)，使得，且當時，，；當時，，因此當時，取得最小值

……………9分由，得

即

于是

又由，得，從而，故正整數(shù)n的最大值為3。………12分21.某智能共享單車備有A，B兩種車型，采用分段計費的方式營用A型單車每30分鐘收費0.5元（不足30分鐘的部分按30分鐘計算），B型單車每30分鐘收費1元（不足30分鐘的部分按30分鐘計算），現(xiàn)有甲乙丙三人，分別相互獨立第到租車點租車騎行（各租一車一次），設(shè)甲乙丙不超過30分鐘還車的概率分別為，并且三個人每人租車都不會超過60分鐘，甲乙均租用A型單車，丙租用B型單車.（1）求甲乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；（2）設(shè)甲乙丙三人所付費用之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.參考答案：解：（1）由題意，甲乙丙在分鐘以上且不超過分鐘還車的概率分別為，設(shè)“甲乙兩人所付費用之和等于丙所付費用”為事件,則；（2）隨機變量所有可能取值有，則，，所以甲乙丙三人所付費用之和的分別為所以22.（本小題滿分10分）選修4-4：極坐標系與參