高中物理競(jìng)賽-話題10：運(yùn)動(dòng)模型-平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)

高中物理競(jìng)賽_話題10：運(yùn)動(dòng)模型——平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)話題10：運(yùn)動(dòng)模型——平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)將質(zhì)點(diǎn)以和水平方向成某一角度θ的初速度0v投射出去，在不考慮空氣阻力的情況下，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是拋體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)090θ=時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在豎直線上做直線運(yùn)動(dòng)，可利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)求解；當(dāng)00θ=時(shí)，質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)0090θ<<時(shí)，質(zhì)點(diǎn)做斜拋運(yùn)動(dòng)。其中平拋運(yùn)動(dòng)與斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡均為拋物線。這里我們討論的拋體運(yùn)動(dòng)就是指平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)。一、平拋運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)可看成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成，落地時(shí)間由豎直方向分運(yùn)動(dòng)決定。二、斜拋運(yùn)動(dòng)斜拋運(yùn)動(dòng)分斜上拋和斜下拋(由初速度方向確定)兩種，下面以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例討論。1．特點(diǎn)：加速度ag=，方向豎直向下，初速度方向與水平方向成一夾角θ斜向上，090θ=為豎直上拋或豎直下拋，00θ=為平拋運(yùn)動(dòng)。2．常見(jiàn)的處理方法：(1)分解為水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻變速運(yùn)動(dòng)。以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，初速度0v的水平投影方向?yàn)閤軸正方向，豎直向上為y軸正方向，則有位移方程：020(cos)1(sin)2xvtyvtgtθθ=??=-??速度方程：00cossinxyvvvvgtθθ=???=-??分析斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí)還常用到下列結(jié)論：A．斜向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間與斜向下運(yùn)動(dòng)時(shí)間(從最高點(diǎn)回到與拋出點(diǎn)等高位置的時(shí)間)相等，均為0sinvtgθ=，斜上拋運(yùn)動(dòng)回到與拋出點(diǎn)等高位置總時(shí)間為02sinvtgθ=。B．斜上拋運(yùn)動(dòng)的水平射程為20sin2vXgθ=，故當(dāng)拋射角為045時(shí)水平射程最遠(yuǎn)。C．斜上拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為2220tan2cosgXYXvθθ==，由此方程可知，其軌跡為拋物線，該拋物線頂點(diǎn)為22200sin2sin(,)22vvggθθ。(2)將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，再用矢量合成的方法求解。(3)將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿某一斜面(傾斜直線，與運(yùn)動(dòng)軌跡在同一平面內(nèi))方向和垂直于該斜面方向的兩個(gè)勻變速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)須將初速度和加速度都進(jìn)行正交分解，再分別用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解。以上處理斜上拋運(yùn)動(dòng)的方法，也同樣適用于平拋和斜下拋運(yùn)動(dòng)，還可進(jìn)一步推廣到其它恒力作用下(加速度恒定)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)的情形。不難看出，任何質(zhì)點(diǎn)在恒力作用下的運(yùn)動(dòng)可分為兩種情形：A.若加速度與初速度方向在同一直線上，則質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，B.若加速度與初速度方向不在同一直線上，則質(zhì)點(diǎn)做類似拋體運(yùn)動(dòng)，其軌跡一定是拋物線。這種運(yùn)動(dòng)的求解通常是分解為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)，即與斜拋處理方法類似。三、拋體運(yùn)動(dòng)中的對(duì)稱性例1：從高H處的一點(diǎn)O先后平拋兩個(gè)小球1和2，球1恰好直接過(guò)豎直擋板CD落到水平地面上的B點(diǎn)，球2則與地面碰撞一次后也恰好越過(guò)豎直擋板，然后也落B點(diǎn).如圖所示.設(shè)球2與地面的碰撞類似光的反射，且反彈前后的速度大小相同.求豎直擋板的高度h.若球2與地碰n次后恰好越過(guò)檔板也落于B點(diǎn)，則h的高度又如何？解析：這是一個(gè)典型的拋體問(wèn)題.在拋體中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對(duì)稱性，可得巧解.球1的落地時(shí)間1t=，而球2應(yīng)為13t，故球1的初速度應(yīng)為球2的3倍.若球1達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t，則球2達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)為3t.當(dāng)球1達(dá)C點(diǎn)時(shí)，球2達(dá)與C點(diǎn)等高的1C點(diǎn)，而O1C點(diǎn)至A與A至C點(diǎn)由對(duì)稱性可知應(yīng)相等.設(shè)所需時(shí)間為t'，則3tttt''++=，得tt'=.于是可以看出1C應(yīng)為球1在第一次落地前的中點(diǎn)時(shí)刻，故豎直高度應(yīng)被1C分成1:3兩部分，所以擋板高34hH=.例2．如圖所示，一小球以初速05/vms=從高H端水平射出，在距墻為d處，有一長(zhǎng)4Lm=行，板的下端地高1hm=d為多大?已知：A點(diǎn)與墻角O點(diǎn)的距離1sm=墻和板的碰撞中能量均不損失.2(10/)gms=解1ts==,()a則N為偶數(shù)，取2(Nnn==有2Lnds-=小球在第(21)n-即4d≥01(21)2ndgv?-???21n+由式(1)、(2)可得221nn>+，即4.24n<=。故n可取1,2，3,4，即d可取值：2m,1m,23m,12m。()b若小球最后一次是與板發(fā)生碰撞，則N為奇數(shù)，取21(1,2,)Nnn=-=???,有(21)Lndds--=-，即3dmn=。(3)為使小球最后一次能與板發(fā)生碰撞，則必須201(21)2ndglv??-≤??，即d≤(4)由式(3)、(4)可得3n≤1.96n≤，故n可取1，即d只能取3m一個(gè)值。綜合情況()a、()b，可知d共可取以下5個(gè)值：3m，2m,1m,23m,12m。四、勻加速直線運(yùn)動(dòng)+斜拋運(yùn)動(dòng)例3：有5條邊長(zhǎng)為1m的正方形薄板做成一個(gè)小屋，如圖()a所示.已知水滴沿屋頂從A點(diǎn)流到B點(diǎn)所需的時(shí)間為從B點(diǎn)流到C點(diǎn)所需的時(shí)間的2倍.假定水滴從A點(diǎn)以初速為零開(kāi)始流下，試求水滴從A點(diǎn)流到C點(diǎn)所需的時(shí)間.解析：水滴從AB→做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，BC→做斜下拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向的分運(yùn)動(dòng)是豎直下拋運(yùn)動(dòng).由圖()b中的陰影三角形BDE可得xBEED===hlx=-=設(shè)水滴從B到C的時(shí)間為t，水滴沿AB的加速度為a，則水滴經(jīng)過(guò)AB距離的時(shí)間為2t=,212hvtgt=+上式v為B點(diǎn)末速度，0cos45Bvv==經(jīng)整理，可求得水滴經(jīng)h所需時(shí)間t=加在一起，水滴經(jīng)AC距離所需時(shí)間為3t.五、拋體運(yùn)動(dòng)中的極值問(wèn)題例4：在擲鉛球時(shí)，鉛球出手時(shí)距地面的高度為h，若出手時(shí)的速度為0v，求以何角度擲球時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？解析：本題既可通過(guò)建立直角從標(biāo)系，列出軌跡方程后求得極值，也可用位移矢量關(guān)系或速度矢量關(guān)系求，這里選擇位移矢量圖解法，其它方法可自行處理。將鉛球的運(yùn)動(dòng)分解為沿初速0v方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直向下的自由落體運(yùn)動(dòng)，其位移分別為0vt和212gt，由圖可得：222202422201()()2()4xvtgthgtvghth=--=-++-當(dāng)222222vghbtag+=-=時(shí)，2x有極值，即x有極值：max0max(cos)xvtα==。再將t的數(shù)值代入，2201sin2hvtgtα-=-，α=注：上式表示，最佳投擲角不僅與0v有關(guān)，還與h有關(guān)，且總是小于045，一般003842α=。同學(xué)們還可想一想，在什么條件下，當(dāng)045α=時(shí)，斜上拋運(yùn)動(dòng)的水平射程最大。而若0h=時(shí)，則當(dāng)045α=，物體的水平射程最大。例5：一倉(cāng)庫(kù)高20m、寬40m，在倉(cāng)庫(kù)前某處A點(diǎn)拋一石塊過(guò)屋頂，試問(wèn)A距倉(cāng)庫(kù)前多遠(yuǎn)時(shí)，所需初速度0v最小？為多少？(210/gms=)解析：此題是初速與射程問(wèn)題，但要求過(guò)一平頂障礙物，如圖所示建立坐標(biāo)系.要使0v最小，則要求石塊擦B，C兩點(diǎn)而過(guò)；而過(guò)BC段，可用通常的有關(guān)射程問(wèn)題的方法解決.如圖，以BC兩點(diǎn)之間作射程，有2sin2BBCvsgα=。所以2sin2BCBsgvα=可見(jiàn)當(dāng)045α=時(shí)，Bv有最小值，為min/20/BBvvsms====設(shè)此斜下拋的時(shí)間為t，由位移公式212Byhvtgt=+有2120102t=+??，整理得2240t+-=求得有效根為ts=由此得到l值為14.6Bxlvtmm'===再求0v：0/xBxvvs==，0/yByvvgts=+=028.2/vms==00tanyxvvθ==060θ=，即0v與水平線夾角.例6：一個(gè)噴水池的噴頭以相同的速率噴出大量水射流，這些水射流以與地面成0090的所有角噴出，如圖所示.豎直射流可高達(dá)2.0m，取210/gms=，計(jì)算射流在水池中落點(diǎn)所覆蓋的圓的半徑.解析：題中所求實(shí)際上是水射流在0090范圍內(nèi)噴出中，以多大角度噴出的水射流的射程最遠(yuǎn).先求射流的出口速率u.考慮豎直射流，它在加速度為g-的情況下升高2.0m.則2222uvgsgs=+=.若一射流的初速度為(,)xyuu，則所經(jīng)過(guò)的豎直位移的大小為2102yutgt=-.射流飛行時(shí)間為2yutg=.飛行的水平距離為222sincosxyxuuurutggθθ===.上式可知，與045角對(duì)應(yīng)的射流落地處，噴流最遠(yuǎn)，其最大半徑為24.0urmg===.即射流落點(diǎn)所覆蓋的圓的半徑是4.0m.例7：在仰角6πα=的雪坡上舉行跳臺(tái)滑雪比賽(如圖).運(yùn)動(dòng)員從坡上方A點(diǎn)開(kāi)始下滑.到起跳點(diǎn)O時(shí)借助設(shè)備和技巧，保持在該點(diǎn)的速率而以與水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上B點(diǎn)，坡上OB兩點(diǎn)距離L為此項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的記錄.已知A點(diǎn)高于O點(diǎn)50hm=.忽略各種阻力和摩擦，求最遠(yuǎn)可跳多少米？此時(shí)起跳角為多少？解析：運(yùn)動(dòng)員起跳后落到坡上前做拋體運(yùn)動(dòng)，據(jù)此找到坡上OB兩點(diǎn)虎離L與起跳角θ的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出其極值來(lái).建立坐標(biāo)系如圖.運(yùn)動(dòng)員在0t=時(shí)，從O點(diǎn)以速度v起跳，v的大小可由機(jī)械能守恒定律求得212mvmgh=.起跳后做斜返回運(yùn)動(dòng)，設(shè)t時(shí)刻落到坡面B處，則此時(shí)坐標(biāo)為cosxvtθ=21sin2yvtgtθ=-.它們須滿足坡面方程tanyxα=-?.由以上三方程解得12(tancossin)02vgttgαθθ???+-=????.0t=不合題意故知落地時(shí)刻為2(tancossin)2sin()cosvvtggαθθαθα++==.而著地點(diǎn)B的x坐標(biāo)為22cossin()cosvxgθαθα+=.坡面OB距離與起跳角θ的關(guān)系為[]2222sin(2)sin2cossin()()coscoscosvxvLggθααθαθθααα+++===.由上可知，當(dāng)22πθα+=，即226παπθ-==時(shí)，L有最大值，2max221250(1)(1sin)2(1sin)22003coscos4vhLmmgαααα+++====即最佳起跳角為6πθ=，最高記錄可達(dá)200m.六、多次碰撞的拋體運(yùn)動(dòng)例8：彈性小球從高h(yuǎn)處自由落下，落到與水平面成θ角的長(zhǎng)斜面上，碰撞后以同樣大的速度反彈回來(lái)．(1)求每個(gè)彈回點(diǎn)[第一點(diǎn)和第二點(diǎn)，第二點(diǎn)和第三點(diǎn)，…，第n點(diǎn)和第1n+點(diǎn)]間的距離1x，2x，3x,???,nx.(2)求當(dāng)斜面以勻速度u沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的1x的數(shù)值.解(1)坐標(biāo)系選擇如圖所示，小球第一次碰斜面時(shí)速度大小0v=不變，其方向與y軸為對(duì)稱的夾θ角方向，在x、y方向有00sinsinxxxvvatvgtθθ=+=+00coscosyyyvvatvgtθθ=+=-2012xxxvtat=+2012yyyvtat=+令0y=，得第一、第二次相碰時(shí)間間隔為012vtg==代人后可求得2014sin8sinvxhgθθ=?=第二次碰撞瞬間2002sinsin3sinxvvvgvgθθθ=+?=02002coscoscosyvvvgvgθθθ=-?=-碰后2xv不變化,20yyvv=,可見(jiàn)每相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔均為1tt=，則有20020223sinsin()28sinvvxvghggθθθ=?+?=?第n次碰后反彈時(shí)0(21)sinnxvnvθ=-0cosnyvvθ=由此得8sinnxnhθ=?(2)當(dāng)斜面以勻速度u沿豎直方向向上運(yùn)動(dòng)時(shí),則球相對(duì)斜面速度大小為vu+,用vu+代替0v代入1x1x=例9．傾角為α的一個(gè)光滑斜面，由斜面上一點(diǎn)O通過(guò)斜面最大斜率的豎直平面內(nèi)斜上拋一個(gè)小球，初速為v，拋出方向與斜面交β角2παβ+<，。(1)若小球與斜面的每次碰撞不消耗機(jī)械能，并且小球在第n次與斜面相碰時(shí)正好回到拋射點(diǎn)O。試求α、β、n滿足的關(guān)系式。(2)若小球與斜面每次碰撞后，與斜面垂直的速度分量滿足：碰后的值是碰前值的e倍，01e<<。并且小球在第n次與斜面相碰時(shí)正好回到拋射點(diǎn)O。試求α、β、n和e滿足的關(guān)系式。(3)由(2)，若其中第r次與斜面相碰時(shí)，小球正好與斜面垂直相碰，試證明此時(shí)滿足關(guān)系式:210nree-+=解(1)畫(huà)出圖，并在圖中取定x、y軸。斜上拋小球，小球在斜面上多次碰撞，形成多條拋物線。小球在y方向作多次來(lái)回運(yùn)動(dòng)，而在x方向只有一次：x由近到遠(yuǎn)，再回到原點(diǎn)O。因此，y方向可逐條拋物線討論，而x方向可以統(tǒng)一討論。設(shè)kA為小球第k次與斜面相碰的點(diǎn)，ku、kv是小球第k次與斜面相碰后速度的x、y分量。加速度的x、y分量為sinxagα=-,cosyagα=-。所以由kA到1kA+所經(jīng)歷的時(shí)間1kt+滿足21110(cos)2kkkvtgtα++=-取合理解，得到12coskkvtgα+=由此式可以得到小球從O點(diǎn)拋出開(kāi)始，直到抵達(dá)kA所經(jīng)歷的時(shí)間為011122()coskkkvvvTtttgα-++???+=++???+=因?yàn)樾∏蚺c