高中物理競賽-話題16：多個物體的平衡問題

PAGEPAGE9話題16：多個物體的平衡問題1、如圖所示，屋架由同在豎直面內(nèi)的多根無重桿絞接而成，各絞接點依次為、，其中絞接點、、、、位于同一水平直線上，且可以無摩擦地水平滑動。各絞接點間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點承受有豎直向下的壓力，點承受有豎直向下的壓力，求絞接點和間桿的內(nèi)力。解：由于點可沿水平方向無摩擦滑動，故屋架在點處所受外力只可能沿豎直方向，設(shè)為。由于屋架所受外力、和均沿豎直方向，則屋架在點所受的外力也只可能沿豎直方向，設(shè)其為。以整個屋架為對象，列各外力對支點的力矩平衡方程，有所以的方向豎直向上。又由整個屋架的受力平衡關(guān)系應(yīng)有所以的方向豎直向上。假設(shè)將絞接點、、、這部分從整個屋架中隔離出來，則這部分受到桿、桿、桿的作用力，這幾個作用力均沿與桿平行的方向，設(shè)其以一個力表示，則這個力也必與桿方向平行。此外，這部分還受到桿的作用，設(shè)其為，顯然的方向應(yīng)沿水平方向；這部分還受到支持力的作用。這樣，這部分就等效為受、和三個力的作用而平衡。則表示此三力的矢量構(gòu)成一個封閉三角形，由前述此三力的方向關(guān)系可以確定，這一三角形只能是如圖所示的三角形，由此三角形可見，桿對點的作用力方向水平向左，可見桿中的內(nèi)力為張力。又假設(shè)取絞接點為研究對象，它受到支持力和桿對它的作用力和桿對它的作用力，由于此三力平衡，則與的合力必沿桿的方向，可見應(yīng)有且的方向應(yīng)水平向右，即桿的內(nèi)力為張力。再假設(shè)取絞接點為研究對象，由以上分析知，其左、右兩水平桿對它的作用力均為拉力，其大小分別為和。而另外只有桿能對點提供水平方向的分力，則為使點在水平方向受力平衡，桿作用于點的力必沿由指向點的方向，進而為使點在豎直方向上受力平衡，則桿對點的作用力必沿豎直向下的方向。綜合上述可得點的受力如圖所示。由圖知故得即桿中的內(nèi)力為張力，其大小為最后以點為研究對象，它受到與之相連的三根桿的三個力的作用。此三力應(yīng)互相平衡?，F(xiàn)以、、表示這三個力，由于的方向是確定的（桿的內(nèi)力為張力，則必沿由點指向點的方向），而、又只能沿對應(yīng)桿的方向，則此三力只可能取如圖所示的方向。由點在水平方向的受力平衡，應(yīng)有所以由點在豎直方向的平衡，應(yīng)有即桿中的內(nèi)力為張力，大小為。3、一空心圓環(huán)形圓管沿一條直徑截成兩部分，一半豎立在鉛垂平面內(nèi)，如圖所示，兩管口處在一水平線上?，F(xiàn)向管內(nèi)注入與管壁相切的小鋼珠，左、右側(cè)第一個鋼珠都與圓管截面相切。已知每個鋼珠重，共個。求從左邊起第個和第個鋼珠之間相互作用壓力。假設(shè)系統(tǒng)中處處無摩擦。分析與解:利用特殊值，求解一般性問題，特殊值是指物理量在某一特殊情況下的取值．物理量在一般情況下的量值之間必然與特殊值之間存在一定的聯(lián)系．若能確定某一特殊值，則往往可以借助數(shù)學技巧來求出一般情況下該物理量的量值．研究一般性問題——分析第個鋼珠的受力情況，此鋼珠受四個力的作用：重力，管壁對它的彈力，第個鋼珠對它的壓力及第個鋼珠對它的壓力．由于的量值未知，且不為本題所求，故選取如圖所示的與方向共線的軸作為軸建立直角坐標系．由平衡條件知軸方向的合力為零，得由幾何知識，得（其中），

，故．

根據(jù)式，如何求得？對第個鋼珠進行受力分析，如圖所示，得到一特殊值，即

，

故可對式進行遞推，得，，將上面所列等式左、右兩邊分別相加，得，

把式代入，得．而

又

故4、如圖所示，一輕質(zhì)木板長為，端用鉸鏈固定在鉛直墻面上，另一端用水平輕繩拉住。木板上依次放著個圓柱體，半徑均為，每個圓柱體重量均為，木板與墻的夾角為，一切摩擦都可略去，求繩上的張力。分析與解:以個圓柱體組成的整體為研究對象,整體受到重力、木板的支持力和墻對整體的支持力，其中重力的方向豎直向下，如圖所示，合重力經(jīng)過圓柱的軸心，墻的支持力垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱的軸心，木板給的支持力垂直于木板。由于整體處于平衡狀態(tài)，此三力不平行必共點，即木板給的支持力必然過重力和墻的支持力的交點。根據(jù)三力平衡條件可得:因為木板是輕質(zhì)的,以木板為研究對象.處于平衡狀態(tài).以端為轉(zhuǎn)軸,它受兩個力一個力為垂直于木板向下,另一個是繩上的張力.設(shè)端到的垂直距離為.到之間的距離為.到之間的距離為.到之間的距離為.到之間的距離為.到之間的距離為.到之間的距離為.到之間的距離為.端到的垂直距離為.端到的垂直距離為.根據(jù)力矩平衡條件可知:而的求法,由以上兩式可得5、如圖所示，用塊質(zhì)量均勻分布相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊迭一塊地搭成單孔橋。已知每一稱木塊的長度為，橫截面是邊長為的正方形。要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬），試計算跨度與橋孔高度的比值。分析:從上往下分別將磚命名為、、、,找出伸出長度的通式。解：伸長最大長度時第一塊磚的重力作用力恰好通過第二塊邊緣，故第一塊最多伸出第一、二塊磚的重力作用力恰好通過第三塊邊緣，故第二塊最多伸出第一、二、三塊磚的重力作用力恰好通過第四塊邊緣，故第三塊最多伸出以此類推，第塊磚伸長塊的組成的橋孔高度.跨度當時、則6、一吊橋由六對鋼桿懸吊著，六對鋼桿在橋面分列兩排，其上端掛在兩根鋼纜上，如圖所示為其一截面圖，已知圖中相鄰兩鋼桿間的距離為，靠橋面中心的鋼桿長度為（即），，，又已知兩端鋼纜與水平方向成角。若鋼桿及鋼纜的自重均不計，為使每根鋼桿承受的負荷相同，試求每根鋼桿的長度應(yīng)各為多少？解、如圖所示，設(shè)每根鋼桿承受的拉力均為由整體法可得解得在處：設(shè)鋼纜承受的拉力為，由平衡條件可知豎直方向上滿足水平方向上滿足由以上各式解得在處：設(shè)鋼纜承受的拉力為，由平衡條件可知豎直方向上滿足水平方向上滿足由以上各式解得故即，7、如圖所示，個質(zhì)量為的完全相同的物塊疊放在一起，所有接觸面的動摩擦因數(shù)均為，滑輪摩擦不計，當為____________時，所有物塊恰好相對滑動。解、如答圖所示，對物塊：水平方向受到左邊滑輪上的繩水平向左的拉力、物塊對物塊水平向右的摩擦力，據(jù)平衡條件有對物塊：水平方向受到右邊滑輪繩上的水平向右的拉力、物塊和物塊水平向左的摩擦力和、左邊滑輪繩上的水平向左的拉力，據(jù)平衡條件有同理可分析得出，對物塊：據(jù)平衡條件有對物塊：據(jù)平衡條件有故8、如圖所示，兩本書和，逐頁交叉后疊放在一起，平放在光滑的水平桌面上。設(shè)書的每張紙質(zhì)量為，每本書均為張紙，紙與紙之間的動摩擦因數(shù)。問至少需用多大的水平力，才能將它命拉開？分析：由于書的第一頁在最上面，故書每頁受到的彈力小于書相應(yīng)的頁碼受到的彈力，滑動摩擦力也就小些。求出從上至下每頁所受